专题03 抽象函数与函数性质综合（赋值、构造与图象联动）（期中专项训练·冲刺版）高一数学上学期人教A版

专题03 抽象函数与函数性质综合（赋值、构造与图象联动） 题型1 抽象函数的定义域 题型7 抽象函数的单调性与奇偶性综合（难点） 题型2 抽象函数的值域 题型8 抽象函数的奇偶性、周期性、对称性综合（难点） 题型3 抽象函数的单调性 题型9 赋值法求函数值问题（重点） 题型4 抽象函数的奇偶性（重点） 题型10 抽象函数与构造函数问题 题型5 抽象函数的周期性（常考点） 题型11 抽象函数与图像联动问题 题型6 抽象函数的对称性 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 抽象函数的定义域（共4小题） 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东湛江·期中）若函数的定义域是，则的定义域是__________. 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 题型二 抽象函数的值域（共4小题） 5．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知满足，且，则的值域为_____ 8．（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 题型三 抽象函数的单调性（共3小题） 9．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 10．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 11．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数对任意实数x，y恒有，当时，． (1)证明：函数在上单调递减； (2)若，求不等式的解集． 题型四 抽象函数的奇偶性（共3小题） 12．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 13．（25-26高一上·江苏徐州·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 14．（25-26高一上·广东珠海·期中）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 题型五 抽象函数的周期性（共4小题） 15．（25-26高一上·山东日照·期中）若的定义域为，且，，则（     ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）已知奇函数的周期为8，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·湖北十堰·期中）已知，，则的值为______． 18．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知是周期为4的函数，对任意，恒成立，则______． 题型六 抽象函数的对称性（共4小题） 19．（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 22．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数、的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，，则__________，__________. 题型七 抽象函数的单调性与奇偶性综合（共4小题） 23．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 26．（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 题型八 抽象函数的奇偶性、周期性、对称性综合（共5小题） 27．（25-26高一下·广东广州·期中）已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 29．（25-26高一上·山东泰山·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 30．（25-26高二下·湖南长沙·期中）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 31．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 题型九 赋值法求函数值问题（共3小题） 32．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数对任意都有，且，则________　. 34．（25-26高一上·江西上饶·期中）定义在R上的函数满足，且，则____________． 题型十 抽象函数与构造函数问题（共4小题） 35．（25-26高一上·江苏南通·期中）写出一个满足的函数解析式__________. 36．（25-26高一上·福建宁德·期中）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 37．（25-26高一上·福建宁德·期中）设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 38．（25-26高一上·山西运城·期中）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数________． 题型十一 抽象函数与图像联动问题（共3小题） 39．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 40．（25-26高一上·上海金山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，分别给出它们在上的图像，则的解集是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知是定义在上的奇函数，图像关于直线对称，且在区间内的图像如图所示，下列说法正确的是（    ）    A． B． C．直线是函数的一条对称轴 D．点为函数的一个对称中心 $专题03 抽象函数与函数性质综合（赋值、构造与图象联动） 题型1 抽象函数的定义域 题型7 抽象函数的单调性与奇偶性综合（难点） 题型2 抽象函数的值域 题型8 抽象函数的奇偶性、周期性、对称性综合（难点） 题型3 抽象函数的单调性 题型9 赋值法求函数值问题（重点） 题型4 抽象函数的奇偶性（重点） 题型10 抽象函数与构造函数问题 题型5 抽象函数的周期性（常考点） 题型11 抽象函数与图像联动问题 题型6 抽象函数的对称性 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 抽象函数的定义域（共4小题） 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，令，求得不等式的解集，即可得到函数的定义域. 【详解】由函数的定义域是，令，即， 解得，所以函数的定义域是. 故选：B. 3．（25-26高一上·广东湛江·期中）若函数的定义域是，则的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解. 【详解】由，得，所以的定义域是. 由，得，所以的定义域是. 故答案为： 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即函数的定义域为，则由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型二 抽象函数的值域（共4小题） 5．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域. 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 7．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知满足，且，则的值域为_____ 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 8．（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 【答案】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 题型三 抽象函数的单调性（共3小题） 9．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 10．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1) 根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. (2) 任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数对任意实数x，y恒有，当时，． (1)证明：函数在上单调递减； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，结合已知条件判断的大小关系即可证结论. （2）根据关系式易得且，由已知可得，再将题设不等式转化为，根据其单调性求解即可. 【详解】（1）令，则，， ∵当时，． ∴，即. ∴在上单调递减，得证. （2）令，易得， 令，则，即. ∴，即， ∴题设不等式可转化为，即， 由（1）知：，即，解得或. ∴不等式解集为. 题型四 抽象函数的奇偶性（共3小题） 12．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1)0 (2) 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 【分析】（1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. 【详解】（1）令，则. （2）略 13．（25-26高一上·江苏徐州·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数， 因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）略 14．（25-26高一上·广东珠海·期中）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）略 题型五 抽象函数的周期性（共4小题） 15．（25-26高一上·山东日照·期中）若的定义域为，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值法，得到抽象函数的周期性与对称性，再结合，，得到. 【详解】令，则，又因为，所以. 令，可得. 令，则，即. 两式相加可知，即 又因为，所以，即的周期为. 所以结合以及，可得 . 16．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）已知奇函数的周期为8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为的周期为8，所以， 又为奇函数，所以，则， 所以. 无法确定. 17．（25-26高一上·湖北十堰·期中）已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据已知条件求出函数的周期，利用周期性对所求函数值进行化简，最后求值即可. 【详解】已知，则， ，显然函数的一个周期为6， 故有． 18．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知是周期为4的函数，对任意，恒成立，则______． 【答案】0 【详解】当时，，解得， 由是周期为4的函数，可得. 题型六 抽象函数的对称性（共4小题） 19．（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的奇偶性定义推得关于直线对称，得到，再由函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 关于直线对称，则， 又因为在上单调递增，所以. 20．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 21．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 22．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数、的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，，则__________，__________. 【答案】 【分析】推导出，令，可求得的值；在等式中，令，可求得的值，推导出，令，可求出的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 可得，所以，函数的图象关于点对称， 则， 令可得，故， 因为，则， 因为函数为偶函数，则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 所以，，令，可得，则. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求函数值，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 题型七 抽象函数的单调性与奇偶性综合（共4小题） 23．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据的性质作出示意图，再根据分情况讨论求解即可. 因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 24．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 易知，函数在上单调递增， 当时，为增函数，且 则当时，为减函数，且， 所以当时，， 当时，， 则不等式等价于 或 ， 解得或或 或 ， 解得或或． 25．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【答案】(1)1 (2)因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解． 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）略. （3）不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 26．（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，证明： 令，则， 所以，所以是奇函数. (2) 在上单调递增. 证明：设，且，所以， 又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）用特值法可求出的值，再利用奇函数的概念即可证明； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）题设不等式恒成立可化简为对任意的恒成立，再利用换元法求出函数的单调性和最值，利用二次函数的图象的单调性结合定义域即可求解. 【详解】（1）因为函数满足任意的实数，，都有， 令，则，所以. （2）略 （3）关于的不等式对任意的恒成立，即关于的不等式对任意的恒成立， 由（2）可知在上单调递增， 令，，所以，， 令，， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围是. 题型八 抽象函数的奇偶性、周期性、对称性综合（共5小题） 27．（25-26高一下·广东广州·期中）已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇偶函数的性质找到函数的周期，再根据求和的表达式找出数列的周期，从而求出数列前2026项的和. 【详解】设，因为是奇函数， 所以，即， 因为是偶函数， 所以，即， 令，则，所以， 即， 因此以4为周期， 因为是奇函数，所以，即， 因为，是偶函数， 所以， 因此，， ，， 设，则，， 因为以4为周期， 所以，即数列每8项重复一次， 当时，前8项之和为，即每8项的和都是0， 因为， 所以前2024项正好是253个完整周期，和为0，剩下两项的和为， 所以，故选项D正确. 28．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【分析】对于A，令，即可判断；对于B，求出，再令，即可判断；对于C，令，取，即可判断；对于D，先证明，再取，取，即可判断. 【详解】对于A，令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则，得， 令，则， 又，所以，故B错误； 对于C，令，取，则， 即，又， 故不恒为0，所以， 且定义域为，定义域关于原点对称， 所以函数为奇函数，故C正确； 对于D，令取，，得， 则， 令取，取，得， 所以，则，故D正确. 29．（25-26高一上·山东泰山·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 【答案】BD 【分析】由已知可得，，联立即可求得函数的周期，对称性，逐项判断即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以， 可知的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由，所以， 又，所以，即， 故函数的周期为4，故C错误； 对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 30．（25-26高二下·湖南长沙·期中）定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于成中心对称 D． 【答案】BCD 【分析】先根据为偶函数，可得到的图象关于直线对称，再根据可得到的图象关于直线对称，进而可得到的周期，再判断各个选项的正确性. 【详解】为偶函数，， 即，的图象关于直线对称， 即函数的图象关于直线对称，故A错误； 又，， 故函数关于中心对称，故C正确； 而函数有对称轴，有对称中心点，由对称性可得函数关于直线对称，故B正确； 又，， 所以函数为周期函数，周期是，故D正确． 31．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 题型九 赋值法求函数值问题（共3小题） 32．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， 令，得，，故A，C错误； 令，得，故B正确； 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 33．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数对任意都有，且，则________　. 【答案】 【分析】结合条件采用赋值法即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以，即. 34．（25-26高一上·江西上饶·期中）定义在R上的函数满足，且，则____________． 【答案】 【分析】根据已知关系式，运用赋值法求解即可. 【详解】令，则，得， 令，，则，即， 所以. 故答案为：. 题型十 抽象函数与构造函数问题（共4小题） 35．（25-26高一上·江苏南通·期中）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 36．（25-26高一上·福建宁德·期中）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【分析】设，根据条件探究满足的条件即可. 【详解】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 37．（25-26高一上·福建宁德·期中）设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【分析】利用赋值法，令，即可求出解析式. 【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 38．（25-26高一上·山西运城·期中）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数________． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 题型十一 抽象函数与图像联动问题（共3小题） 39．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】D 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 40．（25-26高一上·上海金山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，分别给出它们在上的图像，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象及函数的奇偶性，分类讨论易得结果. 【详解】由图象可知，时，； 时，； 又函数是定义在上的奇函数， ∴时，； 时，； 由图象可知，时，； 时，； 又是定义在上的偶函数， ∴时，； 时，； 或， ∴ 故选：C 41．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知是定义在上的奇函数，图像关于直线对称，且在区间内的图像如图所示，下列说法正确的是（    ）    A． B． C．直线是函数的一条对称轴 D．点为函数的一个对称中心 【答案】ACD 【分析】先求出的周期，再根据的周期性逐项分析. 【详解】由题意，的对称点是，对称轴是，， ，所以的周期； ，A正确； 如果，则有，则的周期为5，与前面的分析矛盾，B错误； 由于是对称轴，周期为4，所以也是对称轴，C正确； 由于是对称点，所以也是对称点，D正确； 故选：ACD. $