专题01 集合与逻辑新定义问题的压轴突破（期中专项训练·冲刺版）高一数学上学期人教A版

专题01 集合与逻辑新定义问题的压轴突破 题型1 定义集合的新运算问题（重点） 题型4定义集合的新背景问题 题型2定义集合的新性质问题（难点） 题型5集合新定义综合压轴（常考点） 题型3定义集合的新概念问题 题型6 集合新定义问题中充分性与必要性的证明 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 定义集合的新运算问题（共5小题） 1．（25-26高一上·北京西城·期中）有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【详解】由题意，得集合，故， 又，或， 由题意可知，为关于的方程的一根， 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时方程无实数根，则满足条件， 当时，则方程有三个实根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； 综上，的可能的取值为. 2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（     ） A．45 B．49 C．53 D．62 【答案】A 【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，数形结合可求中元素的个数. 【详解】设，故， 所以，故该不等式组表示的平面区域为以为中心的正方形区域， 当取遍中的每一个点时， 即为如图所示的线段所围成的平面区域内或边界上的整点的集合， 所以集合中共（个）． 3．（25-26高一上·四川凉山·期中）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 4．（26-27高一上·北京东城·期中）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 5．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知非空数集，定义集合的“差值集”为． (1)若集合，求，并求出的所有子集的个数． (2)若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． (3)若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 【答案】(1)，128 (2)证明：对于集合， 枚举所有的差值：．共7个差值， 将它们从小到大排列，可知最小，最大，0在正中间，，夹在和0之间，夹在0和之间， 因为有且仅有5个元素，所以上述7个差值必有2个差值与另外5个差值中的2个相同，按照上面从小到大的排列规律，所以且，故． (3)，． 【分析】（1）先列举集合中所有元素两两作差，再利用集合元素的互异性剔除重复差值，得到差值集，最后根据集合元素个数，利用子集个数公式求出结果； （2）先写出三元集合所有两两差值，结合大小关系判断差值原本最多有7个；题目仅有5个元素，说明存在差值重复，通过分析相反数结构，唯一能产生重复的条件是相邻差值相等，由此推出三个元素成等差数列，证得结论； （3）先有序排列集合整数元素，求最大值时，让所有差值尽可能互不重复，统计最多不同差值个数；求最小值时，利用等差数列差值种类最少的规律，统计最少不同差值个数，最终得到差值集元素个数的最值范围. 【详解】（1）∵ ∴， ∴该集合共有7个元素，子集个数为． （2）略 （3）设． 当集合中的元素从小到大排列后，从第二项开始，后一项与它的前一项之差为非0的定值时， 根据“差值集”的定义，此时不同的差值最少， 所有差值分别为， 此时中元素的个数最小，即． 当集合中的元素从小到大排列后，任意两个不同元素的差值均不相等时，不同差值的个数最多， 总共有组，其中的差值恒为0（只能算一个元素）， 剩余个非零差值两两成对且互为相反数，它们无重复时元素最多， ∴． 题型二 定义集合的新性质问题（共5小题） 6．（25-26高一上·江苏南通·期中）设集合是有限集，，，且，都有，则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若集合具有性质，证明：． 【答案】(1)集合具有性质． (2) (3)证明：因为集合具有性质，且， 所以，即， 同理，…，， 根据不等式的同号相加性，将上面5个不等式相加得， 所以． 【分析】（1）对分别两两组合进行上述性质的运算看是否满足即可. （2）分别进行性质并通过求解不等式计算取值范围. （3）利用性质得到不等式，并通过累加证明不等式. 【详解】（1）因为，，， 所以对任意，，当时，都有， 所以集合具有性质． （2）因为集合具有性质，所以， 解第一个不等式得， 第二个不等式可化为，即， 所以， 当时，成立， 所以实数的取值范围． （3）略 7．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质．如当时，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合中的元素及其元素个数，并判断是否具有性质． (2)证明：不存在A，B具有性质，且，使． (3)若存在A，B具有性质，且，使，求n的最大值． 【答案】(1)中的元素个数分别为9，不具有性质． (2)证明：假设存在，具有性质，且，使．其中， 因为，所以， 不妨设．因为，所以，， 同理，，，因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质，且，使. (3)14 【分析】（1）由已知条件能求出集合中的元素个数，并判断出不具有性质． （2）假设存在，具有性质，且，使．其中，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使. （3）当时，不存在，具有性质，且，使，当，根据、、分类讨论，能求出的最大值为. 【详解】（1）因为对于任意的，记集合，， 当时，； 所以集合中的元素个数为9， 因为集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质， 因为，，，，不符合题意， 所以不具有性质. （2）略； （3）因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使， 若，当时，， 取，， 则，具有性质，且，使. 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为， 令，， 则，具有性质，且，使． 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合， 令，， 则，具有性质，且，使． 集合中的数均为无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则，且， 综上，所求的最大值为. 9．（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知至少含两个元素的集合是的子集，若对于中的任意两个元素，都有（是正整数），则称集合具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由． (2)若集合，证明：不可能具有性质． (3)若集合，且具有性质和，求中元素个数的最大值． 【答案】(1) 对于集合，因为，所以集合不具有性质. 对于集合，因为，所以集合具有性质. (2) 将集合中的元素分为如下9个集合：，. 从集合中取10个元素，则前8个集合至少要选9个元素， 所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，即存在2个元素，其差的绝对值为3，所以不可能具有性质. (3)115. 【分析】（1）根据定义判断、是否具有性质即可； （2）将集合中的元素分为9个集合，进行求解即可； （3）先说明连续13项中集合A中最多选取6项，然后求出集合A中共有115个元素，即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）先说明连续13项中集合中元素的个数最多选取6项，以为例，构造集合. ①6，7，8都选上，因为具有性质和，所以选6则不选1和11，选7则不选2和12，选8则不选3和13，另外4，9不能同时取，5，10不能同时取，所以选取的集合中的元素为4，5，6，7，8，故中属于集合中的元素个数为5. ②6，7，8中选2个，若只选6，7，则1，2，11，12，8不可取，5，13中只能取1个，4，9不能同时取，5，10不能同时取，比如取3，4，6，7，10，13，故中属于集合中的元素不超过6个． 若只选7，8，则2，3，12，13，6不可取，1，9中只能取1个，4，9不能同时取，5，10不能同时取，比如取1，4，5，7，8，11，故中属于集合中的元素不超过6个． 若只选6，8，同理，比如取2，5，6，8，9，12，故中属于集合中的元素不超过6个. ③6，7，8中只选1个，又5个集合中每个集合至多选1个元素，所以中属于集合中的元素不超过6个. 由①②③可知，连续13项正整数中属于集合中的元素至多只有6个，比如取1，4，5，7，8，11． 因为，所以把每13个连续正整数分组，前19组每组至多选取6项，给出如下选取方法：从中选取1，4，5，7，8，11，然后在这6个数的基础上每次累加13，构造19次，此时集合中的元素为，．共个元素．经检验可得该集合符合要求，故集合中元素个数的最大值为115. 10．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. (1)集合具有性质，求的最小值； (2)若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； (3)已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】(1) (2) 由题设，且， 所以， 所以，得证. (3)，理由如下： 由（2）知：， 同（2）证明得且，故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，故， 当，则，即. 综上，集合中元素个数的最大值为. 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【详解】（1）由性质定义知：，且， 所以的最小值为6. （2）略 （3）略 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面入手： 第一问，根据性质定义列不等式组求参数范围； 第二问，根据定义得为关键，并用累加法计算即可； 第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 题型三 定义集合的新概念问题（共4小题） 11．（25-26高一上·河南周口·期中）定义：对于两个非空集合 ,，若 ，则称容纳.已知集合，集合(). (1)当 时，判断是否容纳，并说明理由； (2)若集合 容纳集合，求实数 的取值范围； (3)若“集合容纳 ”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)定义：若非空，且，则称容纳.,(). 当时，容纳. 时，.，显然非空， 中的元素都在中，即 ，所以容纳. (2). (3). 【分析】新定义“容纳”需要满足两个条件，非空，.根据设问，逐一检验这两个条件即可. 【详解】（1）当时，容纳，理由如下. 时，.，显然非空， 中的元素都在中，即 ，所以容纳. （2）集合 容纳集合，则,解得.,解得.所以的取值范围是. （3）集合容纳 ，则，解得. “集合容纳 ”是“”的充分不必要条件,则是的真子集，，即实数的取值范围是. 12．（25-26高一上·山西大同·期中）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． (1)判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； (2)证明：是一个“乘法封闭集”； (3)判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【答案】(1) 是＂乘法封闭集＂； 中的所有完美元素为－1 和1. (2)证明 是＂乘法封闭集＂任取 ，根据集合 的定义，可设： 则 因为 均为整数, 所以： 因此 可以表示为 的形式（其中 ，故 . 由乘法封闭集的定义可知，是一个＂乘法封闭集＂. (3) 是集合 的完美元素. 【详解】（1）对 中任意两个元素作乘积： 故 中任意两元素之积仍属于 ， 是乘法封闭集. 又因为： 所以－1 和 1 均为 的完美元素. （2）略 （3）首先， （取 ，均为整数）. 接下来验证其倒数是否也属于 ： 因为 ，所以 . 即： ，且它的倒数 ，满足完美元素的定义. 因此， 是集合 的完美元素. 13．（25-26高一上·北京东城·期中）设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分： ①对； ②对，若，均有． (1)若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； (2)若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 【答案】(1)（i），（答案不唯一）， （ii）假设集合存在3维伴随拆分，由于， 所以只能取1或． 不妨设， 其中． 若，则，而，不合题意； 若，则，而，不合题意； 若或，则，而，不合题意． 所以假设不成立．所以集合不存在3维伴随拆分． (2). 【分析】（1）（i）根据新定义求解即可；（ii）利用反证法进行证明得到矛盾从而得到证明； （2）不妨设中元素最少的集合为，由条件（2）得，再分和讨论即可. 【详解】（1）（i）若，则存在非空集合，满足， 且满足条件:①对；②对，若，均有. 取，， 满足，，，， ，，，， 不存在的情况，故满足条件①②， 故一个集合的2维伴随拆分为，. （ii）略 （2）不妨设中元素最少的集合为， 且. 记，由，可得． 由条件（2）知，对，得． 于是 当时，有，则，所以． 当时，． 综上，． 当， 时，． 所以的最小值为50． 14．（25-26高一上·广东广州·期中）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”. (1)若集合，，请判断集合、是否为1的“理想集”，并说明理由； (2)记集合，若集合为的“理想集”，则实数的最大值； (3)记集合，若集合是的“理想集”，求实数的取值范围. 【答案】(1)集合不是1的“理想集”， 集合是1的“理想集”，理由如下： 因为，即. 因为，此时，则， 构造，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 则在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 因为集合不是的子集， 即存在，使得无解，所以集合不是1的“理想集”； 因为集合是的子集， 即对任意，使得有解，所以集合是1的“理想集”. (2)20 (3) 【分析】（1）构造，，可得在内的值域为，结合题意分析判断即可； （2）构造，，可得在内的值域为，可得，列式求解即可； （3）由题意可知关于b的方程在内有解，取或，解方程并结合零点存在性定理分析求解. 【详解】（1）略 （2）因为，此时，， 构造，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，则在内的值域为， 若集合为的“理想集”，则， 则，解得， 所以实数的最大值为20. （3）若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或， 所以； 若，即， 构建，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则， 且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则， 且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 题型四 定义集合的新背景问题（共4小题） 15．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 16．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 【答案】(1)是； (2) 以为根的一个一元二次方程可为， 是两个不同的正数，且是“和积平衡集”， ， 又和为的两个不同的正根， ， 又，则， 若都小于等于2，则，矛盾， 所以至少有一个大于2； (3). 【分析】（1）根据“和积平衡集”的定义，进行判断即可； （2）根据“和积平衡集”的定义，结合一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设A中的 ，进行分类讨论求解. 【详解】（1）， 又， 满足 集合是“和积平衡集”； （2）略 （3）设中的，且， 由， 当时，由， 而且都为正整数，明显等式不可能成立， 所以，故， 所以， 当时，，所以只能有， 由，得，此时的“和积平衡集”为， 当时， 又，即， 即，与矛盾，所以不满足条件， 所以符合条件的“和积平衡集”有且只有，此时的“和积平衡集”为． 17．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 【答案】(1)是封闭集；集合不是封闭集，理由为： 是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． (2)命题..是真命题，理由为： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． 【分析】（1）根据封闭集的定义结合元素特征进行检验即可判断； （2）先推充分性，由可任取，推即得；再推必要性，由是封闭集易得，故为真命题； 【详解】（1）略 （2）略 18．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)、 (2)是，理由为： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍， 所以中的最小元素为， 同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是， 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是“完美自相加集合”； (3) 【分析】（1）结合定义计算即可得； （2）由定义可知，集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍，计算即可得； （3）解出不等式后，设出集合，结合定义可得，，再利用交集与并集定义可得、，解出可得，再证明可取即可得. 【详解】（1）由、、，故； 由，，故； （2）略 （3）由，解得， 则， 设，其中， 且， 则有， 即可得， 且有，即可得， 又，故， 又集合中最大元素为，最小元素为，则， 则有，即有，解得， 即； 下证可取： 当时，， 此时，， 故满足题意，故可取； 综上可得，的最大值为. 题型五 集合新定义综合压轴（共4小题） 19．（25-26高一上·湖北咸宁·期中）在人工智能时代，机器人系统的规划与控制需要处理大量计算．利用直积和满射等数学工具对机器人的状态空间与决策空间进行建模，可以为核心任务提供结构化的数学框架，从而优化计算过程，提升运算效率．对于给定的集合，它们的直积（或称笛卡尔积）为．定义在映射中对于中的每一个元素，中都存在中的元素使得，则称映射为满射． (1)设集合，，． ①求集合，并写出的所有元素． ②定义映射（为自然数集），，求的取值集合，判断是否为满射． (2)判断对于任意的集合，是否都有成立？请给出证明． 【答案】(1)①集合，的所有元素为：，，共个； ②不是满射． (2) 集合为任意集合，令， ， ， ， ， ， ，即等式不成立； 证明：根据直积的定义，， ， 假设成立，则对于任意，都有， 但当时，，但，与假设矛盾， ，故等式不成立， 对于任意的集合，不都成立． 【分析】（1）先解不等式求出集合，进而求出集合，再根据直积的定义求出的所有元素，进而求出，并判断是否为满射； （2）利用直积和并集的定义及运算规则，用反证法证明等式不恒成立． 【详解】（1）， ①或②， 解①得：或， 解②得：或， 不等式的解集为， ， 集合， ， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，， 集合， ，，， 的所有元素为：， ，共个； ，， 的所有有序对的值： ， ， ， ， ， 所有值：， 的取值集合为． 中存在元素(如3，6)，在中没有对应的使得等于这些数， 不是满射． （2）略 20．（25-26高一上·新疆塔城·期中）设非空数集M，对于任意x，，如果满足：①属于M；②属于M；③xy属于M；④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1) 自然数集不是数环， 整数集Z是数环，不是数域， 有理数集Q是数环也是数域. (2) 若，且M是一个数环，则，即； 若，，且S是一个数域，则，即 (3) 设，，则，，（，，，）， 则， 因为，，，，所以，， 所以，满足条件①. ，因为，，，， 所以，，所以，满足条件②. ，因为，，，， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，，，，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 【分析】（1）通过举例判断不是数环，整数集Z是数环，不是数域，有理数集Q是数环也是数域； （2）直接由数环、数域的定义证明可得； （3）根据数域的定义证明A中的元素满足①②③④即可. 【详解】（1）自然数集不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集、复数集C是数环也是数域. （2）略 （3）略 21．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知集合 ，其中 . 定义:若对任意的 ， 必有 ，则称集合 具有性质 . 由 中元素可构成两个点集 和 ， ，其中 中有 个元素， 中有 个元素. (1)若集合 ，判断 是否具有性质 并写出 对应的集合 和集合 ； (2)若集合 ，求对应集合 的元素个数:一般地，若集合 具有性质 ，且有 个元素，猜测对应的集合 的元素最大个数，并说明理由; (3)若集合 具有性质 ，证明: . 【答案】(1)具有性质，对应集合，对应集合 (2)45，猜测个数为，理由如下： ， 则对应集合Q中的元素为： ， ， ， ， ， 共有个元素，即对应集合Q的元素个数45； 集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的最大个数为. 理由如下： 由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴， 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素最大个数为个， (3) 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合； （2）直接根据定义写出中的元素，得出元素个数，再根据定义，探讨出与的关系式； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案. 【详解】（1）因为，都不属于集合， 所以集合具有性质，对应集合，对应集合 （2）略 （3）略 22．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知非空集合满足如下三个性质，则称集合满足性质： ① ； ② ，； ③ ，； (1)判断下列集合是否满足性质? ; .（只需写出结论） (2)若集合满足性质，且存在，使得，求证：，，都有； (3)若集合满足性质，且，，，求所有的符合题意的集合. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质． (2) 因为， 所以，， 所以对，有，， 若，则； 若，则当时，，当时，， 当时，，，则； 若，由，，又，， 则； 综上，，，都有； (3)或． 【分析】（1）结合定义逐项验证三个性质即可得； （2）结合定义可推导出，则对，有，，再分、与讨论即可得； （3）由题意推导可得对，，，再分、、、及，结合定义进行讨论即可得. 【详解】（1）对集合，当，，但， 令，解得，则集合不具有性质； 对于集合，显然，满足条件①， 对于条件②，不妨设、、，， 则，， 则，故，满足条件②， 对于条件③，设，，则， 由，则，则，满足条件③； 故集合具有性质； 综上：集合不具有性质，集合具有性质； （2）略 （3）或，理由如下： 对，有，所以， ， 所以， 若，则；若，则． 令，则， 若，则， 由（2）中结论知对，都有，所以； 若，则，所以； 若，则，所以； 若，则，则，所以； 若，， 所以； 综上，或． 题型六 集合新定义问题中充分性与必要性的证明（共4小题） 23．（25-26高一上·江苏扬州·期中）对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 【答案】(1)不是，理由如下： 对于集合 ， 去掉1时， 根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉2时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 去掉3时，根据剩余的两个元素组成的集合分两个交集为空集，且两个集合的所有元素之和相等，显然，所以不满足题意， 所以集合 }不是“求真集合”； (2) 不妨设 ， 假设集合是“求真集合”，则满足去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等， 去掉，则只能有 ， 去掉， 则只能有， 这样上面两个等式就恒成立，即，这显然与相矛盾， 所以四个元素的集合一定不是“求真集合”； (3) 设集合所有元素之和为， 由去掉任意一个元素，都有剩余元素组成两个交集为非空，且集合内元素之和相等可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数， 如果为奇数， 则也均为奇数， 由于， 所以为奇数， 如果为偶数， 则均为偶数， 此时设则也是“求真集合”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“求真集合”， 此时各项之和也为奇数， 则集合中元素个数为奇数， 而当为奇数时，例如集合 ，并不是求真集合. 综上所述，元素为正整数集合为求真集合”是“为奇数”充分不必要条件. 【分析】(1)根据新定义的集合运算去列举分析即可判断； (2)根据新定义的集合运算，结合反证法来证明即可； (3)利用新定义，结合去掉任意数总可以分为两个和相等的集合，来讨论总和奇偶性，通过奇数偶数运算性质来分析判断充分不必要条件. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：根据新下定义的集合，采用列举分析法即可得到证明和判断； 对于第三问则需要利用好总和与任意项之差为偶数思想，结合奇数偶数运算性质来推理判断. 24．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【答案】(1) (2) 充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. (3) 由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 【分析】（1）根据题意可得不等式和，运算求解即可； （2）根据题中运算的定义，分充分性和必要性两个方面分析证明； （3）根据题意可得，进而分析可得，即可得结果. 【详解】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）略 （3）略 25．（25-26高一上·河北衡水·期中）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【答案】(1)1； (2)证明:先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【详解】（1）. （2）略. 26．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)， (2) 证明：若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，，均有，， 由任意性可知，，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件． 【分析】（1）由笛卡尔积的定义易得结果； （2）由笛卡尔积的定义结合充要条件进行证明即可. 【详解】（1）由题意可得：， ． （2）略 $专题01 集合与逻辑新定义问题的压轴突破 题型1 定义集合的新运算问题（重点） 题型4定义集合的新背景问题 题型2定义集合的新性质问题（难点） 题型5集合新定义综合压轴（常考点） 题型3定义集合的新概念问题 题型6 集合新定义问题中充分性与必要性的证明 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 定义集合的新运算问题（共5小题） 1．（25-26高一上·北京西城·期中）有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（     ） A．45 B．49 C．53 D．62 3．（25-26高一上·四川凉山·期中）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·北京东城·期中）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 5．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知非空数集，定义集合的“差值集”为． (1)若集合，求，并求出的所有子集的个数． (2)若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． (3)若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 题型二 定义集合的新性质问题（共5小题） 6．（25-26高一上·江苏南通·期中）设集合是有限集，，，且，都有，则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若集合具有性质，证明：． 7．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质．如当时，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合中的元素及其元素个数，并判断是否具有性质． (2)证明：不存在A，B具有性质，且，使． (3)若存在A，B具有性质，且，使，求n的最大值． 9．（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知至少含两个元素的集合是的子集，若对于中的任意两个元素，都有（是正整数），则称集合具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由． (2)若集合，证明：不可能具有性质． (3)若集合，且具有性质和，求中元素个数的最大值． 10．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. (1)集合具有性质，求的最小值； (2)若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； (3)已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 题型三 定义集合的新概念问题（共4小题） 11．（25-26高一上·河南周口·期中）定义：对于两个非空集合 ,，若 ，则称容纳.已知集合，集合(). (1)当 时，判断是否容纳，并说明理由； (2)若集合 容纳集合，求实数 的取值范围； (3)若“集合容纳 ”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 12．（25-26高一上·山西大同·期中）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． (1)判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； (2)证明：是一个“乘法封闭集”； (3)判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 13．（25-26高一上·北京东城·期中）设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分： ①对； ②对，若，均有． (1)若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； (2)若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 14．（25-26高一上·广东广州·期中）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”. (1)若集合，，请判断集合、是否为1的“理想集”，并说明理由； (2)记集合，若集合为的“理想集”，则实数的最大值； (3)记集合，若集合是的“理想集”，求实数的取值范围. 题型四 定义集合的新背景问题（共4小题） 15．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 16．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 17．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 18．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 题型五 集合新定义综合压轴（共4小题） 19．（25-26高一上·湖北咸宁·期中）在人工智能时代，机器人系统的规划与控制需要处理大量计算．利用直积和满射等数学工具对机器人的状态空间与决策空间进行建模，可以为核心任务提供结构化的数学框架，从而优化计算过程，提升运算效率．对于给定的集合，它们的直积（或称笛卡尔积）为．定义在映射中对于中的每一个元素，中都存在中的元素使得，则称映射为满射． (1)设集合，，． ①求集合，并写出的所有元素． ②定义映射（为自然数集），，求的取值集合，判断是否为满射． (2)判断对于任意的集合，是否都有成立？请给出证明． 20．（25-26高一上·新疆塔城·期中）设非空数集M，对于任意x，，如果满足：①属于M；②属于M；③xy属于M；④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 21．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知集合 ，其中 . 定义:若对任意的 ， 必有 ，则称集合 具有性质 . 由 中元素可构成两个点集 和 ， ，其中 中有 个元素， 中有 个元素. (1)若集合 ，判断 是否具有性质 并写出 对应的集合 和集合 ； (2)若集合 ，求对应集合 的元素个数:一般地，若集合 具有性质 ，且有 个元素，猜测对应的集合 的元素最大个数，并说明理由; (3)若集合 具有性质 ，证明: . 22．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知非空集合满足如下三个性质，则称集合满足性质： ① ； ② ，； ③ ，； (1)判断下列集合是否满足性质? ; .（只需写出结论） (2)若集合满足性质，且存在，使得，求证：，，都有； (3)若集合满足性质，且，，，求所有的符合题意的集合. 题型六 集合新定义问题中充分性与必要性的证明（共4小题） 23．（25-26高一上·江苏扬州·期中）对于元素为正整数集合如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“求真集合”： (1)判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2)求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 24．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 25．（25-26高一上·河北衡水·期中）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 26．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件． $