30.1.2 圆的切线 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

30.1.2 圆的切线　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第三十章《直线与圆的位置关系》 教材 P150 起　30.1.2 圆的切线 图 1　本节知识地图：切线的性质、切线的判定、切线长定理、应用 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 经过圆上一点画圆的切线，知道切线是「垂直于半径」画出来的； ② 掌握切线的性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），会用它构造直角三角形； ③ 掌握切线的判定定理与两条辅助线思路（有交点连半径证垂直；无交点作垂线证半径），会判断一条直线是不是圆的切线； ④ 理解切线长的概念与切线长定理，会进行与切线长有关的简单计算。 重点 切线的性质定理与判定定理；切线长定理 难点 判定切线时辅助线的选择；例 3 中等边三角形与直角三角形的转化 上一节研究了直线与圆的三种位置关系，知道「相切」时直线与圆只有一个公共点，这条直线叫做圆的切线。本节专门研究这条特殊的直线：它和过切点的半径有什么位置关系？怎样判定一条直线是圆的切线？从圆外一点引两条切线，它们之间又有什么规律？ 二、情境引入：经过圆上一点画圆的切线 教材 P150 提出这样一个问题：已知一个圆和圆上的一点，怎样过这个点画出圆的切线？按两步画（图 2）： 第一步　连接圆心与圆上的点，得到半径 。 第二步　过这个点作半径的垂线，所得直线就是圆的切线。 图 2　左：经过圆上一点 A 画切线（连半径、作垂线）；右：看公共点的个数确认是不是切线 画图给出了猜想：切线好像与过切点的半径垂直。这个猜想对不对？教材用反证法给出了严格的证明，就是下一节的性质定理。 三、切线的性质 切线的性质定理 定理　圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言　因为直线 l 与圆 O 相切于点 A，所以 垂直于直线 l。 图 3　切线的性质：切线垂直于过切点的半径 用反证法证明 如图 3，直线 l 与圆 O 相切于点 A，要证 ⊥ 。 假设 与直线 l 不垂直。 过 O 作 ⊥ l，垂足为 P，则 （垂线段最短）。 于是圆心到直线 l 的距离小于半径，直线 l 与圆相交，l 是割线，与已知「相切」矛盾。 所以假设不成立， ⊥ 。 性质定理给出了最重要的辅助线：见到切点，连接圆心与切点，立刻得到垂直，从而构造出直角三角形，再用勾股定理算线段长（图 3 右栏）。 四、性质应用：例 1 例 1　求 ∠E 的度数（教材 P151） 如图 4，AB 是 ⊙O 的直径，C、D 都是 ⊙O 上的点，连接 CD，∠CDB = 30°。过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 E。求 ∠E 的度数。 图 4　例 1：CE 是切线，OC 垂直于 CE，∠E 等于 30° 解　连接 。 因为 ∠CDB 是圆周角，∠COB 是圆心角，它们所对的弧都是弧 CB， 所以由圆周角定理，∠COB = 2∠CDB = 60°。 因为 CE 是 ⊙O 的切线，C 是切点，由切线的性质，∠OCE = 90°。 在 Rt 中，∠E = 90° − ∠COE = 30°。 答：∠E = 30°。 本题把切线的性质与圆周角定理合在一起用：切线负责给出直角，圆周角定理负责把 30° 的圆周角转成 60° 的圆心角，最后在直角三角形中算出 ∠E。 五、切线的判定 反过来，怎样判定一条直线是圆的切线？教材给出三种方法（图 5），它们的本质是一致的。 图 5　切线的判定三种方法：定义法、距离法、判定定理 方法一（定义法）：直线与圆只有一个公共点，这条直线是圆的切线。图形明确、能直接数出公共点时用它。 方法二（距离法）：圆心到直线的距离 d 等于半径 r，即 ，直线与圆相切。给出了数量条件时用它。 方法三（判定定理）：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明题中用它。 判定定理与性质定理正好「互逆」：性质定理说「是切线，就垂直」；判定定理说「半径外端加垂直，就是切线」。注意判定定理有两个条件——直线必须经过半径的外端，并且垂直于这条半径，缺一不可。 六、判定的辅助线思路与例 2 用判定定理证切线，先看直线与圆有没有已知的公共点，辅助线的作法不同（图 6）。 图 6　辅助线两种思路：有交点连半径证垂直；无交点作垂线证半径 ① 有交点：直线经过圆上的点 A。连接半径 ，证 与直线垂直——「连半径，证垂直」。 ② 无交点：直线与圆没有已知的公共点。过圆心 O 作直线的垂线，设垂足为 P，证垂线段 的长等于半径——「作垂线，证半径」。 例 2　证明直线 PB 与 ⊙O 相切（教材 P152） 如图 7，点 O 在 ∠APB 的平分线上，⊙O 与 PA 相切于点 C。求证：直线 PB 与 ⊙O 相切。 图 7　例 2：过 O 作 OD 垂直 PB，证 OD 等于半径 证明　过点 O 作 ⊥ ，垂足为 D，连接 。 因为 ⊙O 与 PA 相切于点 C，由切线的性质， ⊥ ，且 OC 是 ⊙O 的半径。 因为点 O 在 ∠APB 的平分线上，由角平分线上的点到角两边的距离相等，。 所以 OD 也是 ⊙O 的半径，且 ⊥ ，即圆心到直线 PB 的距离等于半径。 所以直线 PB 与 ⊙O 相切。 本题的直线 PB 与圆没有已知的公共点，用的是「作垂线，证半径」的思路；其中 OC = OD 由角平分线的性质直接得到，不必证三角形全等。 七、切线长与切线长定理 切线长 定义　经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 注意　切线是直线，没有长度；切线长是圆外一点到切点之间线段的长，是一个数量。 切线长定理 如图 8，、 是 ⊙O 的两条切线，A、B 是切点。连接 、、，可以得到两个直角三角形，它们有公共的斜边 OP，又有一组直角边 ，由「HL」判定全等。 定理　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言　因为 PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 是切点，所以 ，且 平分 ∠APB。 常用结论　OP 垂直平分弦 AB。理由是：由 与 ，点 P 与点 O 都在 AB 的垂直平分线上。 图 8　切线长定理：PA 等于 PB，OP 平分 ∠APB，OP 垂直平分弦 AB 例 3　求 △PAB 的周长（教材 P153） 如图 8，、 是 ⊙O 的两条切线，A、B 是切点，连接 AB。若 ∠APO = 30°，，求 △PAB 的周长。 解　连接 。 由切线长定理，， 平分 ∠APB，所以 ∠APB = 2∠APO = 60°。 又 ，所以 △PAB 是等边三角形，。 由切线的性质，∠PAO = 90°。在 Rt△POA 中，∠APO = 30°，所以 OA = @f{1}{2}OP = 1。 由勾股定理，PA = = = 。 所以 △PAB 的周长为 PA + PB + AB = 3。 例 3 把切线长定理（相等加平分）、切线的性质（垂直）、等腰三角形与勾股定理串在一起：先由「平分加 30°」得到等边三角形，再在直角三角形中用勾股定理求出切线长。 八、易错清单 本节是「圆与直线」的第一块硬骨头，性质、判定、切线长三块内容各有各的坑。下面六个地方逐条对照检查。 易错点 错在哪里 正确做法 ① 见到切线，不连半径 直接在切线上取点计算，找不到直角 见到切点，连接圆心与切点得半径，立刻得到垂直，构造直角三角形 ② 证切线只证了「垂直」 判定定理有两个条件，只证一个不成立 必须同时满足：直线经过半径的外端，并且垂直于这条半径 ③ 辅助线作法选错 有已知公共点还去作垂线，白绕一圈 看直线与圆有没有已知公共点：有就连半径证垂直；无就作垂线证半径 ④ 以为过圆外一点只有一条切线 把切线当成唯一 过圆外一点可以作两条切线，两个切点、两条切线长都相等 ⑤ 只记住「切线长相等」 漏掉第二个结论 还有「这点与圆心的连线平分两条切线的夹角」，且 OP 垂直平分两个切点的弦 ⑥ 把角平分线性质当切线长定理用 例 2 中 OC = OD 的依据说错 OC = OD 是「角平分线上的点到角两边的距离相等」；PA = PB 才是切线长定理 九、方法总结与常见题型 把本节理一遍：由画切线提出猜想，用反证法证明性质定理；由性质定理逆过来得到判定定理与两条辅助线思路；最后由全等得到切线长定理。 ★ 记忆要点 ① 一条性质：切线垂直于过切点的半径——见切点，连半径，得垂直。 ② 三种判定：定义法（只有 1 个公共点）、距离法（）、判定定理（过半径外端且垂直于半径）。 ③ 两条思路：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径。 ④ 一个定理：切线长相等，连心线平分夹角，连心线垂直平分两个切点的弦。 常见题型 解法要点 已知切线求角度 连半径得 90°，与圆周角定理、等腰三角形、三角形外角配合求角 证明一条直线是切线 有交点：连半径，证垂直；无交点：作垂线，证垂线段等于半径 切线长计算 先由勾股定理求切线长，再用切线长相等、连心线平分夹角求其它量 实际应用 过圆上一点作切线；用两块三角尺夹住圆，两切点连线就是直径 十、课后巩固 1. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，∠ABC = 45°。求证：AC 是 ⊙O 的切线。 2. AB 是 ⊙O 的直径，直线 、 都是 ⊙O 的切线，A、B 分别是切点。判断 与 的位置关系，并证明你的结论。 3. 在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，P 为切点。求证：AP = BP。 4. AB 是 ⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切 ⊙O 于点 C。若 ∠A = 25°，求 ∠D 的度数。 5. PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 是切点，⊙O 的半径为 5，OP = 13。① 求 PA 的长；② 判断 OP 与 AB 的位置关系，并说明理由。 6. PA、PB、DE 分别切 ⊙O 于点 A、B、C，点 D 在 PA 上，点 E 在 PB 上，⊙O 的半径为 5，OP = 13。求 △PDE 的周长。 参考答案与解析 1. 连接 OC。AB 是直径，所以 ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角），即 ⊥ 。 直线 AC 经过半径 OA 的外端 A，并且垂直于 OA，所以 AC 是 ⊙O 的切线。 2. 直线 与 互相平行。 证明：由切线的性质， ⊥ ， ⊥ 。同垂直于一条直线的两条直线互相平行，所以直线 与 平行。 3. 连接 OP。AB 是小圆的切线，P 是切点，所以 ⊥ （切线的性质）。 又 OP 是过圆心 O 的线段，由垂径定理，OP 平分弦 AB，所以 。 4. 连接 OC。DC 是切线，所以 ∠OCD = 90°。 OA = OC，所以 ∠OCA = ∠A = 25°，∠COD = 50°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。 所以 ∠D = 90° − 50° = 40°。 5. ① 连接 OA。PA 是切线，所以 ∠PAO = 90°。在 Rt△POA 中，PA = = = 12。 ② OP 垂直平分 AB。理由：由切线长定理，；又 ，所以点 P 与点 O 都在 AB 的垂直平分线上，直线 OP 就是 AB 的垂直平分线。 6. 连接 OA。在 Rt△POA 中，PA = = 12。 由切线长定理，PA = PB；同理，从点 D 引的两条切线 DA、DC 相等，从点 E 引的两条切线 EC、EB 相等。 所以 △PDE 的周长为 PD + DE + PE = PD + DC + EC + PE = PD + DA + EB + PE = PA + PB = 24。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出切线的性质定理，见到切点会连接圆心与切点构造直角三角形 □ 能　□ 还需复习 2 能写出切线的判定定理，知道「经过半径的外端」与「垂直」两个条件缺一不可 □ 能　□ 还需复习 3 会按「有没有已知公共点」选择辅助线：连半径证垂直，或作垂线证半径 □ 能　□ 还需复习 4 能区分「切线」与「切线长」，知道过圆外一点可以作两条切线 □ 能　□ 还需复习 5 能写出切线长定理的两个结论，并会证明 OP 垂直平分两个切点的弦 □ 能　□ 还需复习 6 会综合运用勾股定理、切线长相等求线段长与三角形周长 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　切线的性质定理与判定定理有什么关系？ 它们互为逆命题。性质定理是「是切线，所以垂直」——用切线证明垂直；判定定理是「经过半径的外端并且垂直于半径，所以是切线」——用垂直证明切线。一个顺用，一个逆用，辅助线都是连接圆心与切点。 追问 2　为什么 OP 垂直平分两个切点的弦 AB？ 由切线长定理，，所以点 P 到 A、B 的距离相等，点 P 在 AB 的垂直平分线上；又半径 ，点 O 也在 AB 的垂直平分线上。两点确定一条直线，所以直线 OP 就是 AB 的垂直平分线。 追问 3　已知一条直线是圆的切线，能得到哪些结论？ ① 切线垂直于过切点的半径，见到切点就得到直角；② 圆心到切线的距离等于半径，即 ，切点就是垂足；③ 可以连接半径构造直角三角形，用勾股定理计算。所以「切线」在题目中出现，往往就是「直角」和「直角三角形」的信号。 十三、章内位置与中考对接 30.1.2 是第三十章《直线与圆的位置关系》中 30.1《直线与圆》的第 2 节。上一节研究了直线与圆的三种位置关系，本节抓住「相切」这一特殊情形，研究切线的性质、判定与切线长；本节之后，30.1 还要研究与两个圆有关的内容，本章后面还有与三角形、多边形有关的内容。 教材位置 内容 P150—P152 本节：切线的性质与判定；例 1（P151）、例 2（P152）；练习 1 至 3（P152） P153—P154 切线长与切线长定理；例 3（P153） P154 习题 30.1 P156 探究与发现：两个圆的位置关系 P158 起 与三角形有关的内容（30.2） P161 起 与多边形有关的内容（30.3） 切线是直线与圆位置关系的「分水岭」：相离时没有公共点，相交时有两个公共点，只有相切时恰好一个公共点，切线的一切性质都从「一个公共点加垂直」出发。 中考怎么考 ① 选择、填空题：已知切线求角度（连半径得 90°，配圆周角定理或等腰三角形）；由半径与距离判断切线。 ② 证明题：证明一条直线是圆的切线——中考解答题的高频考点，两条思路都要熟练。 ③ 计算题：切线长、三角形周长（勾股定理加切线长相等加角平分线）。 ④ 实际应用：过圆上一点作切线；用两块三角尺夹住圆形工件量直径（两切线平行，切点连线是直径）。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究圆的切线的性质（切线垂直于过切点的半径）、切线的判定（三种方法与两条辅助线思路），以及切线长与切线长定理。其它图形与圆的位置关系、圆中其它与度量有关的量和角，都不属于本课时。 学科网（北京）股份有限公司 $