29.2.2 圆心角 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

29.2.2 圆心角　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十九章《圆》 教材 P125 起　29.2 圆的有关性质（第 2 课时） 图 1　本节知识地图：圆的旋转不变性、圆心角、弧弦圆心角关系定理、推论与弧的度数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 通过把圆绕圆心旋转的操作，认识圆是中心对称图形，理解圆的旋转不变性； ② 理解圆心角的概念，会判断一个角是不是圆心角； ③ 理解「在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等」及其推论，能分清其中的前提与结论； ④ 会用这个定理及其推论证明同圆或等圆中的弧相等、弦相等、圆心角相等，并会求圆心角或弧的度数 重点 弧、弦、圆心角之间的关系定理与推论；「知一推二」的应用 难点 理解定理中「在同圆或等圆中」这一前提的必要性；把圆的问题转化为三角形全等的问题 上一课时 29.2.1 是「把圆沿直径对折」，从圆的轴对称性得到垂径定理。本节换一种运动方式——把圆绕圆心旋转，从圆的旋转不变性出发，研究圆心角、弧、弦之间的关系。学习时要把每条结论的「前提」与「结论」分清楚，这是判断说法对错的前提。 二、从圆的对称性说起：中心对称与旋转不变性 上一课时由「把圆沿一条直径对折」得到圆的轴对称性，并由此得到垂径定理。如果把圆换一种方式运动——让它绕圆心旋转，又会发现什么？ 先复习：什么是中心对称图形 把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 学过的中心对称图形：平行四边形绕它的对角线交点旋转 180° 后能与自身重合。那么圆呢？ 图 2　左：把圆绕圆心旋转 180°，与原图形重合，所以圆是中心对称图形；右：把圆绕圆心旋转任意角 α，也与原图形重合，这就是圆的旋转不变性 把圆绕圆心旋转 剪一个圆形纸片，把它绕圆心 O 旋转 180°（图 2 左），会发现旋转后的图形与原来的圆完全重合。也就是说： 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。 实际上还能走得更远：把圆绕圆心旋转任意一个角度 α（图 2 右），所得的图形仍然与原图形重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。从这个意义上说，圆也是旋转对称图形。 旋转不变性的道理 如图 2 右，设 ⊙O 的半径为 ，点 是圆上任意一点。把点 绕圆心 旋转角 得到点 。由旋转的性质，对应点到旋转中心的距离不变，所以 OA′ = OA = r，也就是说点 仍在 ⊙O 上。这说明圆上每一点绕圆心旋转后都还在圆上，所以圆绕圆心旋转任意角度都与原图形重合。 ★ 提醒：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。它的对称轴有无数条（每一条直径所在的直线都是它的对称轴），而对称中心只有一个，就是圆心。 旋转不变性是圆独有的特点吗 把圆绕圆心旋转任意角度都与原图形重合，这是圆独有的特点。比如把正方形绕它的中心旋转 45°，旋转后的图形与原图形就不重合；把一条线段绕它的中点旋转 180°，能与原图形重合，但旋转 90° 就不行。圆之所以对任意角度都成立，是因为圆上每一点到圆心的距离都相等——旋转把圆上的点「送」到别处，落下的位置仍在圆上。 ★ 学法提示：上一课时用的是「对折」，本课时用的是「旋转」。本节的所有结论，追根溯源都来自圆的旋转不变性。 三、圆心角的概念 在圆中，点和线段的位置很特别：顶点可能落在圆外、圆上或圆内。本节研究顶点正好落在圆心的一类角。 什么是圆心角 图 3　左：顶点在圆心的角 ∠AOB 是圆心角，它所对的弧是弧 AB，所对的弦是 AB；右：顶点在圆内（不是圆心）的角、顶点在圆上的角，都不是圆心角 圆心角：顶点在圆心、角的两边都与圆相交的角叫做圆心角。 如图 3 左，∠AOB 的顶点是圆心 ，两边 、 都是圆的半径，所以 ∠AOB 是圆心角。 圆心角 ∠AOB 所对的弧是弧 ，所对的弦是 。一个圆心角同时对应一条弧和一条弦——这三样东西是本节的主角（图 3 左）。 练一练：判断圆心角 判断一个角是不是圆心角，只看两件事：① 顶点是不是在圆心；② 两边是不是都与圆相交（在本节中，两边就是两条半径）。 ★ 注意：只要顶点不在圆心，就不是圆心角。顶点在圆内但不在圆心的角、顶点在圆上的角、顶点在圆外的角，都不是圆心角（图 3 右）。 四、弧、弦、圆心角之间的关系定理 圆心角、弧、弦是「绑」在一起的：给定一个圆心角，就有一条弧和一条弦与它对应。那么，两个圆心角相等时，它们所对的弧、所对的弦有什么关系？（图 4） 图 4　⊙O 中，∠AOB = ∠A′OB′，则弧 AB = 弧 A′B′，弦 AB = A′B′ 关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 几何语言：因为 ∠AOB 与 ∠A′OB′ 相等，所以 弧 = 弧，AB = A′B′。 定理的证明 把 ∠AOB 连同弧 绕圆心 旋转，使射线 与 重合（图 5 左，把 ∠AOB 转到 ∠A′OB′ 的位置）。因为两个圆心角相等，所以射线 与 重合；又因为 OA = OA′、OB = OB′，所以点 与点 重合、点 与点 重合。因此弧 与弧 重合，弦 与弦 重合，也就是 弧 = 弧，AB = A′B′。 也可以用三角形全等来证：连接 、、、。在 与 中，OA = OA′（都是半径），∠AOB 与 ∠A′OB′ 相等，OB = OB′（都是半径），所以这两个三角形全等，于是 AB = A′B′。两种证法指向同一件事：根据都是圆的旋转不变性（或者说半径都相等）。 图 5　左：在同圆中，把 ∠AOB 绕圆心旋转到 ∠A′OB′ 的位置，两角重合；右：在等圆中，移动一个圆使它和另一个圆重合，两角也重合 为什么必须「在同圆或等圆中」 定理里的「在同圆或等圆中」不是可有可无的。两个半径不相等的圆中，即使圆心角相等，它们所对的弧也不相等、所对的弦也不相等——只有把两个圆移动到一起完全重合（图 5 右），相等的圆心角所对的弧、弦才重合。 ★ 用定理前先检查：这两个量（圆心角、弧或弦）在不在同一个圆中，或者在不在两个半径相等的圆中。少了这个前提，结论就不成立。 五、定理的推论：知一推二 把定理的题设和结论换一换，还能成立吗？答案是：在同样的前提下，三组量之间可以互相推出。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 用符号写：若 弧 = 弧，则 ∠AOB = ∠COD，AB = CD；若 AB = CD，则 ∠AOB = ∠COD，弧 = 弧。 已知的一组量 能推出的其余两组量 名称 两个圆心角相等 所对的弧相等，所对的弦相等 定理 两条弧相等 所对的圆心角相等，所对的弦相等 推论 两条弦相等 所对的圆心角相等，所对的弧相等 推论 ★ 一句话记住：「圆心角相等、弧相等、弦相等」，在同圆或等圆中知道一件，另外两件就都成立。 例 1（教材 P126 练习 1） 如图，、 是 ⊙O 的两条弦。 （1）如果 AB = CD，那么 弧 = 弧，∠AOB = ∠COD； （2）如果 弧 = 弧，那么 AB = CD，∠AOB = ∠COD； （3）如果 ∠AOB = ∠COD，那么 AB = CD，弧 = 弧； （4）如果 AB = CD， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 、，那么 与 相等吗？为什么？ 解　（1）弧 = 弧，∠AOB = ∠COD； （2）AB = CD，∠AOB = ∠COD； （3）AB = CD，弧 = 弧。 （4） = 。因为 AB = CD，由上一课时的垂径定理得 AE = AB，CF = CD，所以 AE = CF。连接 、，则 OA = OC，又 ∠OEA = ∠OFC = 90°，所以直角三角形 与直角三角形 全等，于是 OE = OF。 ★ 第（4）问的结论可以记成：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么圆心到弦的距离也相等（过圆心作弦的垂线段，两条垂线段一样长）。 六、弧的度数 圆心角与它所对的弧之间，还有一种「数量上」的对应关系。 规定：1° 的圆心角所对的弧叫做 1° 的弧。 由此可知：n° 的圆心角所对的弧是 n° 的弧。也就是说，圆心角的度数等于它所对弧的度数。 图 6　圆心角 60° 所对的弧是 60° 的弧；圆心角 120° 所对的弧是 120° 的弧 ★ 注意：「弧的度数相等」只说明它所对的圆心角相等。要判断两条弧是否相等（能不能重合），还要看它们是否在同圆或等圆中。 例 2（教材 P127 练习 2） 如图， 是 ⊙O 的直径，弧 = 弧 = 弧 ，∠COD = 35°，求 ∠AOE 的度数。 解　因为弧 = 弧 = 弧 ，所以在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，即 ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = 35°。 又 是直径，所以 ∠AOB = 180°。 因此 ∠AOE = 180° − 35° × 3 = 180° − 105° = 75°。 答：∠AOE 的度数是 75°。 ★ 度数与弧：把圆心角的度数「搬到」它所对的弧上，弧就有了度数。求弧的度数，就是求它所对的圆心角的度数。 七、例题精讲与常用辅助线 例 3　等边三角形的三个圆心角 如图，在 ⊙O 中，AB = AC，∠ACB = 60°。求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC。 证明　因为 AB = AC，所以 是等腰三角形；又 ∠ACB = 60°，所以 是等边三角形，于是 AB = BC = CA。 在同圆中，弦相等则所对的弧相等，所以弧 = 弧 = 弧 。 又因为在同圆中，弧相等则所对的圆心角相等，所以 ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC。 例 4（教材 P127 练习 3） 如图，、、 是 ⊙O 的三条半径，弧 = 弧 ，、 分别是 、 的中点。求证：MC = NC。 证明　因为弧 = 弧 ，所以在同圆中，它们所对的圆心角相等，即 ∠AOC = ∠BOC。 又 OA = OB（都是半径），且 、 分别是 、 的中点，所以 OM = ON（两条半径各自的一半，而两条半径相等）。 在 与 中，OM = ON，∠MOC = ∠NOC，OC = OC，所以这两个三角形全等，于是 MC = NC。 常用辅助线 出现弦、圆心角时，最常用的辅助线只有一条：连接圆心与弦的端点，得到半径。 半径都相等，所以常常能凑出等腰三角形；再加上圆心角相等，就可以判定两个三角形全等，把「求证线段相等」转化为「证三角形全等」。 解题三步： ① 连半径：把弦与圆心角「接」起来； ② 找等量：确认在同圆或等圆中，找出圆心角、弧、弦里相等的那一组； ③ 用转化：用等腰三角形或三角形全等完成证明。 八、易错清单 本节的定理条件不多，但「在同圆或等圆中」这个前提最容易漏掉，弧与弦的对应关系也容易说错。下面六个地方最容易出错（图 7 先给出两组说法的辨析），下表逐条说明。 图 7　说法辨析：左边三条是正确的，右边三条是常见的错误说法 易错点 错在哪里 正确做法 ① 漏掉「在同圆或等圆中」 把定理用到了两个半径不相等的圆上 两个量必须在同一个圆或两个半径相等的圆中，定理才成立 ② 由弦相等直接说「弧相等」 忽略了弦所对的弧有两条（优弧和劣弧） 弦相等，则所对的圆心角相等，所对的优弧、劣弧分别相等 ③ 把「圆的每一条直径」当作对称轴 对称轴是一条直线，而直径是一条线段 每一条直径所在的直线都是圆的对称轴 ④ 以为圆心角相等就一定能推出弧相等 没有先检查两个量是不是在同一个圆（或等圆）中 先确认前提，再用定理或推论推出弧相等、弦相等 ⑤ 把弧的度数与圆心角割裂开来 忘记「圆心角的度数等于它所对弧的度数」 圆心角 n° 所对的弧就是 n° 的弧 ⑥ 证明时只连一条半径 一条半径凑不出等腰三角形或全等关系 连接圆心与相关弦的端点，用两条半径（半径都相等） 九、方法总结与常见题型 把本节理一遍：先确认两个量在同圆或等圆中，再找出相等的那一组量，最后用半径、等腰三角形、三角形全等完成推理（图 8）。 图 8　本节方法总结：认前提 → 找等量 → 用转化 ★ 记忆要点 ① 圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴有无数条（每一条直径所在的直线），对称中心只有一个，就是圆心。 ② 旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 ③ 圆心角：顶点在圆心、角的两边都与圆相交的角；它同时对应一条弧和一条弦。 ④ 关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ⑤ 推论（知一推二）：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余两组量都分别相等。 ⑥ 弧的度数：1° 的圆心角所对的弧叫做 1° 的弧；n° 的圆心角所对的弧是 n° 的弧。 ⑦ 辅助线：连半径，凑等腰三角形或全等三角形。 常见题型 入手点 用到的结论 由圆心角求弧的度数 把圆心角与它所对的弧对应起来 圆心角的度数等于它所对弧的度数 由弧相等或弦相等证圆心角相等 先用推论找到一组相等的量 在同圆或等圆中，知一推二 证明同圆或等圆中的线段相等 连半径，证等腰三角形或三角形全等 半径都相等；圆心角相等的两个三角形全等 判断定理与推论说法的对错 检查有没有「在同圆或等圆中」这个前提 前提不可省；弦所对的弧要分优弧、劣弧 与垂径定理配合的综合应用 先用上一课时的结论得到中点或弧相等 垂径定理与本节定理配合使用 十、课后巩固 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弧相等　　B. 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等 C. 圆的每一条直径都是它的对称轴　　D. 顶点在圆内的角是圆心角 2. 在 ⊙O 中，、 是两条弦，且弧 = 弧 ，则下列结论中不一定成立的是（　　） A. AB = CD　　B. ∠AOB = ∠COD C. 圆心 到 的距离等于 到 的距离　　D. 与 互相平行 3. 在 ⊙O 中，∠AOC = 120°，∠AOB = 90°，且 在 ∠AOC 的内部。求弧 的度数。 4. 在 ⊙O 中，、 是两条弦，AB = CD，圆心 到 的距离为 4 cm，⊙O 的半径为 5 cm。求弦 的长。 5. 在 ⊙O 中，∠AOB = ∠BOC = ∠COD，且 ∠AOD = 150°，求 ∠AOB 的度数。 6. 在 ⊙O 中，弧 = 弧 = 弧 。求证： 是等边三角形；并求 ∠AOB 的度数。 参考答案与解析 1. B。相等的圆心角所对的弧相等，必须加上「在同圆或等圆中」，A 少了前提；对称轴是一条直线，应为「每一条直径所在的直线」，C 错；顶点在圆心才是圆心角，D 错。 2. D。由弧相等可以推出弦相等、圆心角相等，也可以推出圆心到两条弦的距离相等，但两条弦不一定互相平行，所以选 D。 3. 30°。由 ∠BOC = ∠AOC − ∠AOB = 120° − 90° = 30°，所以弧 BC 是 30° 的弧。 4. 6 cm。由上一课时的垂径定理，半弦长为 = 3（cm），所以 AB = 2 × 3 = 6（cm）。 5. 50°。因为三个圆心角相等，所以 3∠AOB = 150°，解得 ∠AOB = 50°。 6. 由弧 AB = 弧 BC 得 AB = BC；由弧 BC = 弧 CA 得 BC = CA；所以 AB = BC = CA，△ABC 是等边三角形。 又因为弧 AB = 弧 BC = 弧 CA，所以 ∠AOB = ∠BOC = ∠COA；而 ∠AOB + ∠BOC + ∠COA = 360°，所以 ∠AOB = 120°。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出圆是中心对称图形，并指出它的对称中心是什么 □ 能　□ 还需复习 2 能说出圆的旋转不变性，并说明它与轴对称性的区别 □ 能　□ 还需复习 3 能准确说出圆心角的定义，会判断一个角是不是圆心角 □ 能　□ 还需复习 4 能准确叙述弧、弦、圆心角之间的关系定理，并说出它的前提 □ 能　□ 还需复习 5 会用推论「知一推二」证明同圆或等圆中的弧相等、弦相等、圆心角相等 □ 能　□ 还需复习 6 知道弧的度数是什么意思，会由圆心角求弧的度数 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　定理的前提「在同圆或等圆中」为什么不能去掉？ 定理的结论「所对的弧相等、所对的弦相等」，靠的是「把圆绕圆心旋转，两段弧、两条弦能够重合」。只有当两条弧（或两条弦）在同一个圆中，或者在两个半径相等的圆中，才谈得上这种重合。 如果换成两个半径不相等的圆，即使圆心角相等，所对的弧、所对的弦也不会相等——因为两个圆的「大小」本来就不一样。所以这个前提不能去掉。 追问 2　弦相等时，为什么所对的弧要分优弧和劣弧来说？ 一条弦把圆分成两段弧：一段是劣弧，一段是优弧。所以在同圆中，一条弦对应着两段弧。 当两条弦相等时，它们所对的劣弧相等，所对的优弧也相等，但不能说「所对的弧相等」——因为一条弦对应的弧本来就有两段，必须说清楚是哪一段。教材里用「所对的优弧和劣弧分别相等」来表述，正是这个意思。 追问 3　圆的轴对称性与圆的中心对称性有什么关系？ 两者说的是圆的两类不同的对称：轴对称对应「把圆沿一条直径所在直线对折」，中心对称对应「把圆绕圆心旋转 180°」。 它们又互相联系：圆心角与弦、弧的关系来自中心对称（更一般地，来自旋转不变性），而垂径定理来自轴对称。两条性质合在一起，才构成了圆「对称性」的完整图景。 十三、章内位置与中考对接 29.2.2 是第二十九章《圆》中 29.2《圆的有关性质》的第 2 课时。上一课时从圆的轴对称性得到垂径定理；本课时从圆的中心对称性、旋转不变性得到圆心角与弧、弦之间的关系。这两组结论，是圆中证明线段相等、角相等、弧相等的基本工具。 教材位置 内容 P125—P126 圆的中心对称性与旋转不变性；圆心角的概念 P126 弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论（知一推二） P126—P127 弧的度数；定理与推论的应用（练习 1、2、3） 本课时的两条线索要连起来看：一是「把圆绕圆心旋转任意角度，所得图形都与原图形重合」，这是一切结论的根据；二是「在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦知一推二」，这是解题的工具。做题时先把已知条件归到某一组量上，再用定理把另外两组补齐。 还要留意两个细节：前提「在同圆或等圆中」必须先满足；由弦相等去推弧相等时，要说清是优弧还是劣弧。 中考怎么考 ① 选择、填空题：由圆心角求弧的度数；判断定理与推论说法的对错，最常见的错误就是漏掉「在同圆或等圆中」。 ② 证明题：在同圆或等圆中证明弦相等、弧相等、圆心角相等，通常连接半径构造等腰三角形或全等三角形。 ③ 计算题：由弧相等或弦相等求圆心角的度数，或由圆心角求弧的度数。 ④ 与后续内容衔接：圆心角、弧、弦之间的关系是研究圆中其它角与线段的基础，后面还要反复用到。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究圆的中心对称性与旋转不变性、圆心角的概念、弧弦圆心角之间的关系定理及其推论，以及弧的度数。圆上与圆心有关的其它角、与圆有关的其它性质，以及直线与圆、三角形与圆、多边形与圆的内容，都不属于本课时。 学科网（北京）股份有限公司 $