第三十章 直线与圆的位置关系 知识清单 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第三十章　直线与圆的位置关系　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：30.1直线与圆（相离、相切、相交，切线的性质与判定）；30.2三角形的内切圆；30.3正多边形与圆。 【考点地位】切线的性质与判定、直线与圆位置关系的判定、三角形内心、正多边形与圆的计算是中考几何的重点与常考内容，切线证明几乎年年出现。 【学习目标】①掌握直线与圆三种位置关系及 d 与 r 的数量关系；②掌握切线的性质与判定；③理解三角形内切圆、内心；④了解正多边形与圆的有关概念并会计算。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第三十章　直线与圆的位置关系 30.1　直线与圆 相离（d>r，无公共点）、相切（d=r，一个公共点）、相交（d<r，两个公共点） 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径 切线判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分夹角（选学） 30.2　三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫内切圆；内心是三条角平分线的交点 三角形面积 S=lr（l为周长，r为内切圆半径） 30.3　正多边形与圆 中心、半径、中心角、边心距；中心角= 正n边形内角=；S=×周长×边心距 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、定理、公式集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 位置关系判定 d>r相离；d=r相切；d<r相交（d为圆心到直线距离） 由 d 与 r 的大小判断 切线性质 圆的切线垂直于过切点的半径 见切线，连切点半径得直角 切线判定 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 两个条件：过外端、垂直半径 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；该点与圆心连线平分两切线夹角 选学内容 内心 三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等 内心一定在三角形内部 三角形面积公式 l为周长，r为内切圆半径 正多边形中心角 等于正多边形的一个外角 三、考点知识梳理 （一）30.1　直线与圆 【位置关系】直线与圆有三种位置关系：没有公共点叫相离；只有一个公共点叫相切（这条直线叫圆的切线，这个点叫切点）；有两个公共点叫相交（这条直线叫割线）。设⊙O 半径为 r，圆心到直线距离为 d，则：d>r相离，d=r相切，d<r相交。 直线与圆的三种位置关系 【切线的性质】圆的切线垂直于过切点的半径。见到切线，常连接圆心与切点，得到直角。 切线的性质 【切线的判定】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明时常分两种情况：已知点在圆上，连半径证垂直；未知公共点，作垂直证等于半径。 切线的判定 【切线长定理】从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理 （二）30.2　三角形的内切圆 【内切圆与内心】与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。 三角形的内切圆与内心 【面积公式】若三角形周长为 l、内切圆半径为 r，则三角形面积。直角三角形内切圆半径 r=（a、b为直角边，c为斜边）。 （三）30.3　正多边形与圆 【有关概念】正多边形外接圆的圆心叫正多边形的中心，外接圆半径叫半径，每边所对的圆心角叫中心角，中心到一边的距离叫边心距。 正多边形与圆的内接、外切关系 【有关计算】正 n 边形的中心角（等于它的一个外角），一个内角；正 n 边形面积=×周长×边心距。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】位置关系：d比r，大于离、等于切、小于交。切线：切线垂直过切点半径；证切线：连半径证垂直，或作垂直证半径。内心外心：内心角平分线交、到边等距；外心垂直平分线交、到顶点等距。正多边形：中心角三百六比n。 【对比记忆】三角形的内心与外心对比如下表。 对比项 内心 外心 由来 三条角平分线的交点 三边垂直平分线的交点 性质 到三边距离相等 到三个顶点距离相等 对应的圆 内切圆 外接圆 五、解题方法总结 题型1　判断直线与圆的位置关系 【解题方法】①求圆心到直线的距离 d；②与半径 r 比较：d>r相离、d=r相切、d<r相交；③注意点到直线距离常通过作高、面积法求出。 【数学思想】数形结合思想、转化思想。 题型2　切线的判定与性质证明 【解题方法】①知切线，连切点半径得直角，用勾股或相似计算；②证切线分两类：点在圆上——连半径、证垂直；不知公共点——作圆心到直线的垂线段、证它等于半径。 【数学思想】转化思想：把切线问题转化为直角三角形问题。 题型3　三角形内切圆与内心计算 【解题方法】①用面积 S=lr 求内切圆半径；②直角三角形用 r=；③内心与顶点连线平分内角，据此求角。 【数学思想】方程思想、整体思想。 题型4　正多边形与圆的计算 【解题方法】①连中心与顶点、作边心距，构造直角三角形；②用中心角=、勾股定理求边长、边心距、半径；③面积=×周长×边心距。 【数学思想】数形结合思想、化归思想。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 把圆心到直线距离 d 算成圆心到某点的距离 d 是垂线段长，不是任意连线长；必要时用面积法求高 证切线时只证垂直、漏“过半径外端” 切线判定两条件缺一不可：过半径外端且垂直这条半径 混淆内心与外心 内心是角平分线交点（内切圆、到边等距）；外心是垂直平分线交点（外接圆、到顶点等距） 正多边形中心角与内角混淆 中心角=360°/n；内角=(n-2)·180°/n，二者不同 切线性质方向用反 是“切线⊥过切点半径”，见切线连半径得直角，不是连任意半径 用 S=½lr 时把 l 当成某一边长 l 是三角形周长，r 是内切圆半径 七、高频考点速记 ①直线与圆：d>r相离、d=r相切、d<r相交。 ②切线垂直于过切点的半径；证切线连半径证垂直。 ③内心是三条角平分线交点，到三边距离相等。 ④三角形面积S=lr。 ⑤正n边形中心角=，内角=。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 3. 三角形的内心是三角形（　　）的交点。 A．三边垂直平分线　　B．三条高　　C．三条角平分线　　D．三条中线 4. 正六边形的中心角是（　　）。 A．60°　　B．90°　　C．120°　　D．150° 5. 直角三角形两直角边为6、8，则其内切圆半径为（　　）。 A．1　　B．2　　C．3　　D．4 （二）填空题（每空2分，共5题） 1．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 2．生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与相交于点，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为______________． 3．如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 4．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 5. 三角形的外心到三角形三个_____的距离相等。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P，且∠CAB=25°。求∠P 的度数。 2. 已知△ABC 的三边 AB=9，BC=14，CA=13，其内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于 D、E、F。求 AF、BD、CE 的长。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】A 解题步骤： ①连接OA，PA为切线，故OA⊥PA，△OAP为直角三角形； ②∠P=42°，故∠AOP=90°−42°=48°。 【知识点睛】切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径；直角三角形两锐角互余。 2．【答案】B 解题步骤： ①由切线性质确定圆心角，套用弧长公式l=计算弧AB的长。 【知识点睛】弧长公式l=，代入圆心角与半径直接计算弧长。 3．【答案】C 解题步骤： ①内心是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等。 【知识点睛】内心：三条角平分线交点，到三边距离相等；外心：三边垂直平分线交点。 4．【答案】A 解题步骤： ①正六边形的中心角=360°÷6=60°。 【知识点睛】正n边形的中心角=360°/n。 5．【答案】B 解题步骤： ①直角三角形两直角边为6、8，斜边==10； ②内切圆半径r==2。 【知识点睛】直角三角形内切圆半径r=(a+b−c)/2（a、b为直角边，c为斜边）。 【填空题】 1．【答案】 解题步骤： ①OA⊥PA，∠AOP=54°； ②AB∥OP，得∠AOB=72°； ③扇形面积==。 【知识点睛】扇形面积S=nπR²/360；平行线间内错角相等。 2．【答案】150° 解题步骤： ①由切线性质构造直角三角形； ②该直角三角形中一直角边等于斜边的一半，故其所对锐角为30°； ③再由邻补角关系得∠AOB=180°−30°=150°。 【知识点睛】切线垂直于过切点的半径；直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半。 3．【答案】 解题步骤： ①正五边形内角为108°； ②∠BOF=72°，∠BOG=36°，∠GOF=36°； ③扇形面积==。 【知识点睛】扇形面积S=nπR²/360；正五边形中心角与内角的关系。 4．【答案】AP= 解题步骤： ①由两三角形内切圆半径相等，用面积法建立方程； ②解方程得AP=。 【知识点睛】面积法求线段长：S=½lr，利用内切圆半径相等列方程。 5．【答案】顶点 解题步骤： ①外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。 【知识点睛】外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；内心到三边距离相等。 【解答题】 1. 解：连接 OC。∵PC 是切线，∴OC⊥PC，∠OCP=90°。∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=25°，则∠COP=∠CAB+∠OCA=50°。 在 Rt△OCP 中，∠P=90°-∠COP=90°-50°=40°。 2. 解：由切线长定理，设 AF=AE=x，则 BF=BD=9-x，CE=CD=13-x。由 BD+CD=BC： (9-x)+(13-x)=14，解得 x=4。∴AF=4，BD=5，CE=9。 学科网（北京）股份有限公司 $