3.2 指数函数的图象和性质 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

高中数学（北师大版）必修第一册　课时作业 第三章　指数运算与指数函数 §3　3.2　指数函数的图象和性质　课时作业 （建议用时：45分钟　满分：100分） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 第一部分　知识点梳理 学习目标 1．能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的图象和性质。 2．理解底数 对指数函数图象的影响。 3．能利用指数函数的单调性比较大小、解简单的指数不等式、求值域。 知识点1　指数函数的图象 用描点法在同一坐标系中画出 与 的图象（图1）。由于 ，点 在 的图象上时，点 在 的图象上，所以两个函数的图象关于 轴对称。一般地， 与 的图象关于 轴对称。 图1　 与 的图象 知识点2　指数函数的性质 性质 图象 定义域 值域 定点 图象过定点 ，即 时， 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值 当 时，；当 时， 当 时，；当 时， 奇偶性 非奇非偶函数 知识点3　底数对图象的影响 在同一坐标系中画出 ，，， 的图象（图2）。作直线 ，它与各图象的交点为 ，交点越高，底数越大。规律：在 轴右侧，“底大图高”；在 轴左侧，“底大图低”。 图2　底数对指数函数图象的影响 知识点4　比较幂的大小的常用方法 类型 方法 同底数、不同指数 利用指数函数的单调性，如 同指数、不同底数 利用图象（底数对图象的影响）或转化为同底数 底数、指数都不同 借助中间量（常用0或1）比较，如 知识点5　指数不等式与图象变换 (1) 当 时，；当 时，。 (2) 函数 的图象可由 的图象平移得到，它恒过定点 。 易错提醒 (1) 指数函数的值域是 ，函数值永远大于0，图象永远在 轴上方，但无限接近 轴。 (2) 底数 的范围不确定时，要分 和 两种情况讨论。 (3) 求 的单调区间时，要把它看作 与 的复合，按“同增异减”判断。 典例精析 例1　比较下列各组数的大小：(1) 与 ；(2) 与 ；(3) 与 。 解　(1) 在 上是增函数，，所以 。 (2) 在 上是减函数，，所以 。 (3) ，，所以 。 例2　解不等式 。 解　原不等式可化为 ，因为 是增函数，所以 ，即 ，解得 。故原不等式的解集为 。 例3　求函数 ， 的值域。 解　 在 上是增函数，所以最小值为 ，最大值为 ，值域为 。 例4　函数 （，且 ）的图象恒过哪个定点？ 解　令 ，得 ，此时 ，所以图象恒过定点 。 点拨　求指数型函数图象所过定点，只需令指数为0，此时函数值与 无关。 方法总结 (1) 比较大小：同底用单调性，不同底借助图象或中间量“0”“1”。 (2) 解指数不等式：化为同底，再根据底数与1的大小关系转化为关于指数的不等式。 (3) 求值域：先判断单调性，再求端点处的函数值；对于复合型函数，先求指数部分的取值范围。 第二部分　课时作业 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数 （，且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 2．下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C． D． 3．函数 在区间 上的最大值是（　　） A．3 B． C．1 D．9 4．如图是指数函数 ，，， 的图象，则 ，，， 与1的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 7．设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．函数 （，且 ）的图象可能是（　　） A B C D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．关于函数 与 ，下列说法正确的是（　　） A．两个函数的图象关于 轴对称 B．两个函数的图象都经过点 C． 在 上单调递增， 在 上单调递减 D．两个函数的值域都是 10．已知函数 （，且 ）在区间 上的最大值比最小值大 ，则 的值可以是（　　） A． B． C．2 D． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若 ，则实数 的取值范围是__________。 12．函数 的单调递减区间是__________。 13．函数 ， 的值域为__________。 14．函数 的定义域是__________。 四、解答题（本题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分）比较下列各组数的大小： (1) 与 ；　　(2) 与 ；　　(3) 与 。 16．（10分）已知函数 （，且 ）的图象经过点 。 (1) 求 的值；　　(2) 求 在区间 上的值域；　　(3) 解不等式 。 17．（10分）已知函数 。 (1) 判断 的奇偶性；　　(2) 求 的值域；　　(3) 用定义证明 在 上是增函数。 第三部分　答案及解析 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C A B B B ABC AB 填空题：11．　　12．　　13．　　14． 详细解析 1．C　【解析】令 ，得 ，此时 ，所以图象恒过定点 。 2．B　【解析】 是增函数，，A错误； 是减函数，，所以 ，B正确； 是减函数，，所以 ，C错误；，D错误。 3．A　【解析】 在 上是减函数，所以最大值为 。 4．C　【解析】， 的图象下降，所以 ，；， 的图象上升，所以 ，。作直线 ，与四个图象交点的纵坐标分别为 ，，，，由图可知交点从下到上依次在 ，，， 上，所以 。 【点拨】比较底数的大小，作直线 是最有效的方法：交点的纵坐标就是底数。 5．A　【解析】原不等式化为 ，因为 是增函数，所以 ，即 。 6．B　【解析】因为 ，所以 ，值域为 。 【易错】 取不到0，所以值域不包含1，不要误选C。 7．B　【解析】； 是减函数，，所以 。故 。 8．B　【解析】当 时，；图象与直线 无限接近。 若 ，函数单调递增，且 ，，即图象与 轴交于正半轴，渐近线在 轴下方，A（渐近线在 轴上方）、D（过原点）都不符合； 若 ，函数单调递减，且 ，即图象与 轴交于负半轴，C不符合，B符合。故选B。 9．ABC　【解析】，所以两图象关于 轴对称，A正确；，B正确；由底数与1的大小关系知C正确；两个函数的值域都是 ，D错误。 10．AB　【解析】当 时， 在 上递增，，解得 ；当 时， 在 上递减，，解得 。故 或 。 【点拨】底数不确定时，一定要分类讨论单调性，最大值、最小值的位置随单调性而变化。 11．　【解析】 是减函数，所以 ，解得 。 12．　【解析】令 ，则 是增函数。 在 上递减，在 上递增，由“同增异减”知 的单调递减区间是 。 13．　【解析】 在 上递增，最小值 ，最大值 。 14．　【解析】由 得 ，所以 。 15．【分析】(1) 同底数，用单调性；(2) 底数、指数都不同，借助中间量1；(3) 先化为同底数。 【解】(1) 在 上递减，，所以 。（3分） (2) ，，所以 。（3分） (3) ， 递增，，所以 。（2分） 16．【分析】先由图象过已知点求出 ，判断单调性后求值域、解不等式。 【解】(1) 由 ，，得 。（3分） (2) 在 上是减函数，最大值为 ，最小值为 ，所以值域为 。（3分） (3) 因为 在 上是减函数，由 得 ，解得 ，所以不等式的解集为 。（4分） 17．【分析】(1) 计算 与 的关系；(2) 分离常数后利用 求值域；(3) 用单调性定义作差证明。 【解】(1) 定义域为 ，关于原点对称。，所以 是奇函数。（3分） (2) 。因为 ，所以 ，，所以 ，值域为 。（3分） (3) 任取 ，则 因为 ，所以 ，即 ，又分母大于0，所以 ，即 。故 在 上是增函数。（4分） 本课时规律总结 (1) 指数函数的图象和性质由底数 决定，记住“ 时上升、 时下降、都过 、值域为 ”。 (2) 比较大小、解不等式的关键是化为同底数，利用单调性转化。 (3) 形如 的函数，常用“分离常数”法求值域。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $