第3章 §3 指数函数 3.1 3.2 第1课时 指数函数y=ax(a＞1)的图象和性质(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本同步练习聚焦指数函数概念、图象与性质，通过基础辨析、性质应用到综合探究的三阶分层设计，构建从单一知识点到逻辑推理的巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|指数函数定义、图象象限、单调性比较|直接考查概念辨析（如选择2）和基本性质（如选择1），夯实抽象能力| |提升层|奇偶性结合、不等式求解、定点问题|通过函数性质综合应用（如选择7）和中档填空题（如填空11），发展推理意识| |综合层|参数范围、单调性证明、多选项判断|设置恒成立问题（填空12）和证明题（解答14），体现数学思维的严谨性与应用意识|

§3　指数函数 3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数y=ax(a>1)的图象和性质 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.函数y=2x-1的图象不经过的象限是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.第二、三象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第一、三象限 2.[2024·吉林长春外国语学校高一期中] 函数f(x)=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则 (　 ) A.a=2或a=3 B.a=3 C.a=2 D.a>2且a≠3 3.已知a=20.2,b=20.4,c=,则 (　 ) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b 4.函数f(x)=2x-2,x∈[-1,1]的值域是 (　 ) A. B.[-1,1] C. D. 5.已知函数f(x)=πx+2x+1,则不等式f(2x-3)>2的解集为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2024·江苏无锡重点中学高一期中] 已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2x+x-1,则不等式f(x-1)<2的解集为 (　 ) A.(0,2) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 8.(多选题)[2024·黑龙江哈师大附中高一期中] 若a=20.6,b=40.4,c=30.8,则 (　 ) A.a<b B.b>c C.ab<c2 D.b2<ac 9.(多选题)已知实数a,b满足等式2a=3b,有下列四个关系式:①0<b<a;②0<a<b;③a<b<0;④b<a<0.其中可能成立的关系式有 (　 ) A.① B.② C.③ D.④ 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.[2024·陕西西安高一期末] 已知函数f(x)满足f(x+1)=2x-1,则f(2)=　　　　.  11.[2024·江西上饶余干中学高一期中] 已知指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则不等式f(x2-2x-2)<f(x-4)的解集为　　　　　.  12.当x∈(-∞,-1)时,不等式(2m-1)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)作出函数y=2|x-1|与y=2|x|-1的图象. 14.(10分)已知f(x)=3x+,且f(x)为偶函数. (1)求m的值; (2)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性并证明. 15.(5分)(多选题)设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是 (　 ) A.f(x+y)=f(x)f(y) B.f(x-y)= C.f(nx)=[f(x)]n(n∈Q) D.[f(xy)]n=[f(x)]n[f(y)]n(n∈N+) 16.(15分)已知函数f(x)=a-(a∈R). (1)求证:f(x)是增函数; (2)当f(x)为奇函数时,求a的值; (3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　指数函数 3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数y=ax(a>1)的图象和性质 1.B　[解析] 函数y=2x-1的图象可由指数函数y=2x的图象向下平移1个单位长度得到,如图所示,故其图象不经过第二、四象限. 2.B　[解析] 由指数函数的概念,得a2-5a+7=1且6-2a=0,a>0,a≠1,解得a=3.故选B. 3.D　[解析] c==2-1.2,又函数y=2x在R上是增函数,故2-1.2<20.2<20.4,即c<a<b,故选D. 4.D　[解析] 因为指数函数y=2x在区间[-1,1]上单调递增,所以当-1≤x≤1时,2-1≤2x≤21,所以2-1-2≤2x-2≤21-2,即-≤f(x)≤0. 5.B　[解析] 因为f(x)=πx+2x+1为定义在R上的增函数,且f(0)=π0+2×0+1=2,所以不等式f(2x-3)>2即为f(2x-3)>f(0),可得2x-3>0,解得x>.故选B. 6.C　[解析] ∵f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,2),∴m=n=2,∴g(x)=2-2x,∵指数函数y=2x为增函数,∴g(x)为减函数,且其图象过点(0,1),(1,0),g(x)的大致图象如图所示,∴函数g(x)的图象不经过第三象限.故选C. 7.A　[解析] 当x≥0时,f(x)=2x+x-1,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.又函数f(x)是R上的偶函数,且f(1)=2,所以f(x-1)<2等价于f(|x-1|)<f(1),即|x-1|<1,解得0<x<2,所以不等式f(x-1)<2的解集为(0,2).故选A. 8.ACD　[解析] 因为a=20.6>20=1,b=40.4=(22)0.4=20.8>20.6=a,c=30.8>20.8=b,所以c>b>a>1,且ab<c2,则A正确,B错误,C正确;ac=20.6×30.8>0,b2=(20.8)2=21.6>0,所以===×<×,因为()4=3,==5.062 5>3,所以<,则<×=1,所以b2<ac,故D正确.故选ACD. 9.AC　[解析] 在同一直角坐标系中作出函数y=2x和y=3x的图象,如图所示.设2a=3b=k(k>0),当k>1时,0<b<a;当k=1时,a=b=0;当0<k<1时,a<b<0.故选AC. 10.1　[解析] 由题得f(2)=f(1+1)=21-1=1. 11.(1,2)　[解析] 设f(x)=ax(a>0且a≠1),将(2,9)代入得a2=9,所以a=3,即f(x)=3x,因此函数f(x)为R上的增函数.因为f(x2-2x-2)<f(x-4),所以x2-2x-2<x-4,解得1<x<2,故不等式的解集为(1,2). 12.m≤　[解析] 当x∈(-∞,-1)时,不等式(2m-1)·4x-2x<0可转化为2m<+1.因为x∈(-∞,-1),所以0<2x<2-1,即>2,即+1>3,所以2m≤3,故m≤. 13.解:y=2|x-1|=故y=2|x-1|的图象如图①所示.y=2|x|-1=故y=2|x|-1的图象如图②所示. ① ② 14.解:(1)因为f(x)=3x+,且f(x)为偶函数,所以f(-x)=3-x+=+m·3x=f(x)恒成立,即3x+=+m·3x恒成立,所以(m-1)=0恒成立,可得m=1. (2)由(1)知f(x)=3x+.函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,证明如下.任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=(-)+=(-)=,因为x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,所以>≥1,所以-<0,·>1,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[0,+∞)上单调递增. 15.ABC　[解析] 对于A,f(x+y)=ax+y,f(x)f(y)=ax·ay=ax+y,所以f(x+y)=f(x)f(y),故A正确;对于B,f(x-y)=ax-y,==ax-y,所以f(x-y)=,故B正确;对于C,f(nx)=anx,[f(x)]n==anx,所以f(nx)=[f(x)]n,故C正确;对于D,[f(xy)]n=(axy)n=anxy,[f(x)]n[f(y)]n=(ax)n·(ay)n=anx·any=anx+ny,所以[f(xy)]n≠[f(x)]n[f(y)]n,故D错误.故选ABC. 16.解:(1)证明:由题意知,f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a--a+=.因为x1<x2,y=2x在R上是增函数,所以-<0,(1+)(1+)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)是增函数. (2)因为f(x)为奇函数,且函数f(x)的定义域为R, 所以f(0)=0,解得a=,经验证符合题意. (3)由(2)知f(x)=-,因为2x+1>1,所以0<<1,所以-1<-<0,所以-<f(x)<,所以f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $