江苏省盐城中学2027届高三年级10月第一次阶段检测数学试题

盐城中学高三年级第一次阶段检测 数学 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡上． 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.“”是“且”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在中，若，则的形状一定是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.不能确定 5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间，其中k为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍 6.已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D.2 7.已知数列的前n项和，则（ ） A.68 B.67 C.61 D.60 8.设函数，是公差为的等差数列，，则（ ） A.0 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．部分选对得部分分，若错选不得分． 9.已知复数z，w均不为0，则（ ） A. B. C. D. 10.记为数列的前n项和．已知n为奇数时，n为偶数时，则（ ） A.2026是数列中的项 B.数列是公比为2的等比数列 C. D.若，则数列的前n项和小于 11.如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则角 C.若，，则 D.的最小值为 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分． 12.设，，则的最小值为______． 13.的值为______． 14.实数a，b满足，，则的最小值是______． 四、解答题：本大题共5题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知数列是等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C和b的值； （2）求的值． 17.在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为．容易知道，平行的充要条件为． （1）已知向量，，求； （2）（ⅰ）设向量，的夹角为θ，证明：； （ⅱ）在中，，，D为BC的中点，且．若，求． 18.已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围． 19.已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，，其中． （ⅰ）求实数a的取值范围，并证明； （ⅱ）证明：． 盐城中学高三年级第一次阶段检测 数学答案 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分． 1-4BDAC 5-8BBBC 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9.BCD 10.AD 11.BCD 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分． 12.6 13. 14.2 四、解答题：本大题共5题，共77分． 15.（13分） （1）设公比为q，则，，． ∴，． （2）由（1），得． 16.（15分） （1）由正弦定理，得，． 又，，∴． ∵，∴．由余弦定理，得． 由，得，进而． （2）由正弦定理与余弦定理，得， ． ∴． 17.（15分） （1）由定义，得． （2）（ⅰ）∵，∴．又， ∴． 结合，得．证毕． （ⅱ）∵D为BC的中点，∴，． 两式模长的平方相加，交叉项抵消，得， ，． 由，得P为AD的中点，故． 在中，BP为中线， ∴，，． 由余弦定理，得． 向量，的夹角等于， 由（ⅰ），得． 18．（17分） （1）将x换为，得． 将上式乘2后减去题设等式， 得． ∴． （2），．令，则． ． 设，则，， ∴． 当时，等号成立．故所求范围为． （3）原方程要求且．令， 则原方程等价于， ，． 每个正根t恰好对应两个不同的解，．不同正根对应的解互不相同． 原方程有四个不同实数解，等价于上述二次方程有两个不同正根，． ． ，． ，． 故实数m的取值范围为． 19.（17分） （1） ①当时，，在R上单调递减 ②当时，令，令， ∴在上单调递减；上单调递增． （2）（ⅰ）当时，由（1）知在R上单调递减， 至多一个零点，舍去， 当时，在上单调递减；上单调递增， 且时，，当时，， 要使有两个零点，只需， 令，∴在上单调递增 由，∴a的取值范围为， 再证：，令，∴，且， ∴ 证毕！ （ⅱ）先证左边，令，其中，， ∴ 令，，， ，∴在上单调递减； ，∴在上单调递减 ，∴， 再证右边，取，，∴， 由（ⅰ）知在和上各有一个零点，， 由，， ∴，下尝试证：，即证： 而，下只需证：， 而， ∴，右边也得证， 综上：． 学科网（北京）股份有限公司 $