精品解析：江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

高三数学阶段学业考核题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 2.答题前务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择 题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简z，再根据复数模长公式求复数的模. 【详解】因为. 所以. 故选：B 3. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的离心率，结合的关系求出的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，即， 所以，又， 所以，因为双曲线的渐近线方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题. 4. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差， 化简得，解得. 所以. 故选：B. 5. 设，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知化切为弦利用二倍角正弦公式求得，然后利用同角三角函数关系求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A 6. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（ ） A. 3等星的亮度是8等星亮度的100倍 B. 8等星的亮度是3等星亮度的100倍 C. 3等星的亮度是8等星亮度的10倍 D. 8等星的亮度是3等星亮度的10倍 【答案】A 【解析】 【分析】设3等星的亮度是x，8等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案. 【详解】设3等星的亮度是x，8等星亮度是y，则， 即3等星的亮度是8等星亮度的100倍. 故选：A 7. 已知，则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法转换为单变量函数，结合导数求极值，并结合定义域确定最值. 【详解】令 则，由条件得. 目标式化为：， 由得， 代入得：， 求导得：， 令，， 当，，，， 在取得极大值， 此时，，，则， 故最大值为. 故选：D 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，利用的单调性解不等式. 【详解】设函数，则， 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，所以. 设，又，所以. 由，即. 所以，即. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（     ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 D. 若，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的图象先确定，即可求解A，代入验证求解B，根据函数图象的平移伸缩变换可求解C，根据正弦函数的性质，解方程可求解D. 【详解】由图可知：，，故， 因此，代入可得， 故，由于，故，故A错误； 因此， 对于B， ，故是图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故C错误； 对于D，若，则或者， 即或者，故D正确 故选：BD 10. 在长方体中，，，，，分别为棱，的中点，则（     ） A. B. 该长方体的外接球表面积为 C. 平面平面 D. 四棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，通过向量点积判断垂直、体对角线求外接球表面积、向量平行判断平面平行、底面积与点面距计算体积，逐一验证选项. 【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ；，. 选项A，向量，， ，故，A正确. 选项B，长方体体对角线长为， 外接球半径，表面积为，B正确. 选项C，平面内，，； 平面内，，， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面，由于，平面， 所以平面平面，C正确. 选项D，四棱锥的底面是矩形， 底面积为； ， 所以，所以， 由于，平面， 所以平面，所以到平面的距离为， 体积为，D错误. 故选：ABC 11. 已知点，直线为坐标原点，动点到点的距离是点到直线的距离的一半．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（     ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 满足的点有且仅有4个 D. 若点形成的轨迹为曲线，且矩形内接于曲线，则矩形面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A通过动点到定点与定直线的距离关系列方程，化简得到椭圆轨迹方程；选项B联立直线与椭圆方程，利用判别式判断无交点；选项C联立圆与椭圆方程，求解得4个符合条件的点；选项D借助椭圆的参数方程，结合三角恒等变换求内接矩形的面积最大值. 【详解】设动点，由题得， 两边平方得，展开得， 移项合并得，两边除以12得，故A正确. 联立与，由直线方程得， 代入椭圆方程得，化简得， 判别式，方程无实数解，故B错误. 由得，联立， 由椭圆方程得，将代入得， 化简得，解得，对应，， 即，共4个点，故C正确. 设椭圆上第一象限内点（）， 矩形面积， 当时，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算得的坐标，再根据平行向量的坐标关系列方程求解实数的值即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离. 【详解】记的焦点为，则， 由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离， 故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和 其最小值为点到直线的距离. 故答案为：. 14. 若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如.若数列的前n项和为，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】小于等于的正整数有， 与不互质的数是2的倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 小于等于的正整数有， 与不互质的数是3的倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）已知，△的周长为，求△的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及已知得，结合和角正弦公式、三角形内角和化简得，即可求其大小； （2）由余弦定理及，求得，再由三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由，得， 即， 因， 代入上式，可得，因，则得， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，，即① △的周长为，即② 由①②解得，所以△的面积. 16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点．   （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在(2)的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，构造平行四边形，转化为证明线线平行； （2）根据面面垂直的判定定理，过点作，再根据线面垂直的判定定理，转化为线线垂直的关系； （3）首先以底面对角线的交点为原点，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量法求，最后再代入锥体体积公式，即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 已知是的中点，是的中点， 在中，且， 又， 所以，，所以四边形是平行四边形 所以． 又平面，平面 所以平面 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面．又平面， 所以. 【小问3详解】 设，过点作， 又底面是边长为2的菱形，则， 以点为坐标原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系， 由（2）可知，，为的中点， 所以，又， 所以是等边三角形，所以， 设，，所以， ， 设平面的法向量， 取， 同理设平面的法向量， 取， 设平面与平面的夹角为，， 所以，， . 17. 已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和， （1）求数列的通项公式； （2）证明： 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列性质可得，，进而求，即可得公差； （2）根据等差数列求和公式结合分组求和法分别求，进而比较大小. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，即， 又因为，则，，， 可得，即， 则，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 则， 且 ， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以. 18. 已知椭圆C：的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； （3）已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意． 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为．设，， 由得，所以，． 因为，所以，- 即，整理得，化简得， 所以直线l的方程为，所以直线l过定点． 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和椭圆过点，列方程求出即可得出椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系及可得或，即可求出直线l的方程； （3）分析直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系及可得，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 因为椭圆C的离心率为，且过点，则，， 又，解得，，所以椭圆C的方程； 【小问2详解】 因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为，设，， 由，消去y整理得， 则，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，则， 所以，即 整理得， 所以， 即，解得或， 因为， 显然当或时，成立，所以直线l的方程为或； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知函数（，且）、（，且）、. （1）若、，求函数的极值； （2）若函数与（，且）的图象存在公切线，求实数的取值范围； （3）已知且，若函数与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再求函数的单调区间，得到函数的极值点和极值； （2）首先分别求在点处的切线和在点处的切线，利用切线是同一条直线，利用待定系数法，转化为函数在上有零点，利用导数判断函数的单调性，再判断函数存在零点时的取值范围； （3）法1：首先讨论时与最多有两个交点，再分两种方法讨论时，与有3个交点时，的取值范围；法2：当时，此时，设，对其求导，然后令，求得其最大值，分和两种情况讨论求解. 【小问1详解】 ，则， 由，得到或， 当时，解得或， 所以和为函数增区间， 当时，解得， 所以为函数减区间， 所以在处取到极大值，极大值为， 在处取到极小值，极小值为0， 故函数的极大值为，极小值为0； 【小问2详解】 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 由题意知， 因为，可知，由可得， 将其代入可得：， 令，则在上有零点， 令，则，，， 令，解得；令，解得； 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 当时，，故在上恒有零点，从而恒成立； 当时，，无零点，不成立； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是； 【小问3详解】 （i）当时与最多有两个交点，不符合题意舍去； 证明如下：， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递减，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，故不符合题意； （ii）法1：下面只需考虑时，与交点的个数即可； 两边取对数得， 令，，则， 由于，令，可得，而， 令，所以，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，， 由图象可得有两个解，，且， 那么在，上单调递增，在上单调递减， 又， ， 把看成一个整体，由均值不等式可得，， 所以， 当，所以， 因为，得，所以， 当时，，当时，， 又在，上单调递增，在上单调递减， 则在，，三个区间各有一个零点， 所以曲线与有三个交点， 即：时符合题意，解得：. 法2：当时，此时， 设，， 令，， 令，则，所以在是递增的， 在是递减的，所以； i.若，即时， 此时则，所以，又是增函数， 又，则只有一的零点， ii.若，即时，，， ，所以有两个零点，， 其中，，所以， 在是增区间，是减区间，是增区间， 有零点存在定理得： 取点1：， 设，，则在上递增， 所以，所以， 取点2：，，， 所以一定有，，所以有三个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学阶段学业考核题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 2.答题前务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择 题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 5. 设，若，则（     ） A. B. C. D. 6. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（ ） A. 3等星的亮度是8等星亮度的100倍 B. 8等星的亮度是3等星亮度的100倍 C. 3等星的亮度是8等星亮度的10倍 D. 8等星的亮度是3等星亮度的10倍 7. 已知，则的最大值为（） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（     ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 D. 若，则或 10. 在长方体中，，，，，分别为棱，的中点，则（     ） A. B. 该长方体的外接球表面积为 C. 平面平面 D. 四棱锥的体积为 11. 已知点，直线为坐标原点，动点到点的距离是点到直线的距离的一半．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（     ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 满足的点有且仅有4个 D. 若点形成的轨迹为曲线，且矩形内接于曲线，则矩形面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则实数_________． 13. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 14. 若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如.若数列的前n项和为，则_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）已知，△的周长为，求△的面积． 16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点．   （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在(2)的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 17. 已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和， （1）求数列的通项公式； （2）证明： 18. 已知椭圆C：的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； （3）已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 19. 已知函数（，且）、（，且）、. （1）若、，求函数的极值； （2）若函数与（，且）的图象存在公切线，求实数的取值范围； （3）已知且，若函数与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $