精品解析：浙江金华市义乌市义亭镇初级中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

2026学年秋季学期第一次作业检测 九年级（数学学科） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 6 4. 如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，连接CD，若，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四组图形中，一定相似的图形是（ ） A. 两个直角三角形 B. 各有一个角是的两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 有两边之比都等于的两个三角形 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 9. 如图，是的重心，是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，若四边形的面积为，则的面积为（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 10. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 在建筑美学中，黄金比例被广泛应用于营造和谐的视觉效果．比较大小：___________（填“”或“”）． 12. 已知线段，，则线段的比例中项是_______． 13. 若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为_____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点E的坐标为，则点B的坐标为________． 15. 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 16. 如图，在中，，，点O为的中点，点E为射线上一点，连接，若， （1）的长是______； （2）是的角平分线，射线与射线交于点F，则的长是______． 三、解答题（共8题，17、18、19、20、21题每大题各8分，22、23题每大题各10分，24大题12分，共72分） 17. 按要求解答下列问题： （1）已知实数a、b满足，求的值． （2）已知，求的值． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知三个顶点坐标分别为，，． （1）利用无刻度直尺作出中边的中线； （2）以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2． 19. 如图，中，是上一点，，，，求证：． 20. 如图，在中，，正方形的三个顶点分别在边，，上．若，求正方形的边长． 21. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 22. 在中，，，是的重心． （1）求的长； （2）求． 23. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 24. 在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年秋季学期第一次作业检测 九年级（数学学科） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比例线段的概念，如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，我们就说这四条线段叫做成比例线段． 【详解】解：A．，四条线段成比例，故该选项正确，符合题意； B．，四条线段不成比例，故该选项不正确，不符合题意； C．，四条线段不成比例，故该选项不正确，不符合题意； D．，四条线段不成比例，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段的长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 4. 如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点，即点P满足， ∴为较长线段，则． ， ． 故选：D． 5. 如图，在中，，连接CD，若，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据DEBC，可得△ADE∽△ABC，相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可逐一判断． 【详解】解： ∵，DEBC， ∴，，， ∴，，A、B正确，不符合题意； ∵， ∴四边形的面积的面积， ∵， ∴， ∴，， ∴，选项C错误，符合题意； ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方，周长的比等于相似比是解题的关键． 6. 下列四组图形中，一定相似的图形是（ ） A. 两个直角三角形 B. 各有一个角是的两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 有两边之比都等于的两个三角形 【答案】B 【解析】 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项． 【详解】解：A. 两个直角三角形，仅一组直角对应相等，其余角与边的对应关系不确定，不一定相似，∴不符合题意； B. 各有一个角是的两个等腰三角形，为钝角，只能为顶角，底角均为，三组角对应相等，一定相似，∴符合题意； C. 两个矩形，对应角均为直角相等，但对应边的比值不一定相等，不一定相似，∴不符合题意； D. 有两边之比都等于的两个三角形，两边的夹角不一定相等，不一定相似，∴不符合题意． 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 8. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形一定是相似图形，且面积比等于相似比的平方．由已知比例确定对应点到位似中心的距离之比，得相似比，进而计算面积比． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ． ， 设，．若点在、之间，则，与矛盾， 点在、之间，即． 与的相似比为． 与的面积之比为． 9. 如图，是的重心，是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，若四边形的面积为，则的面积为（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．连接，根据为的重心，得到，证明，得到与的相似比为，设的高为，得到四边形底边的高为，根据平行四边形的面积求得，据此求解即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点是的重心，点是边的中点， ∴点在线段上，， ∵， ∴， ∴与的相似比为， 设的高为， ∴的高为，即的高为， ∴四边形底边的高为， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴的面积为， ∵点是边的中点， ∴的面积为36， 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交延长线于点，作，垂足为﹒先求出，证明，求出﹒再证明，四边形为矩形，得到设，则，，根据勾股定理得，求出﹒根据等腰三角形三线合一得到，即可求解﹒ 【详解】解：如图，延长交延长线于点，作，垂足为﹒ ，， ， ， ， ，即， ﹒ ，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ． 设，则， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得， ﹒ ，， ﹒ 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相关知识﹒ 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 在建筑美学中，黄金比例被广泛应用于营造和谐的视觉效果．比较大小：___________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 已知线段，，则线段的比例中项是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据比例中项的定义列等式，结合线段长度为正数计算结果． 【详解】解：∵设线段是的比例中项， ∴． 代入，，可得， ， 解得， ∵线段的长度为正数， ∴，即线段的比例中项是． 13. 若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似图形的性质，由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意熟记定理是关键． 【详解】解：∵两个相似图形的周长比为， ∴其相似比为， ∴其面积比为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点E的坐标为，则点B的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，且， ∴与的位似比是， 点坐标为，点B在第四象限， 点B的坐标是． 15. 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似的性质得到，，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵用12个相似的直角三角形组成的图案， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 16. 如图，在中，，，点O为的中点，点E为射线上一点，连接，若， （1）的长是______； （2）是的角平分线，射线与射线交于点F，则的长是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及勾股定理求解即可； （2）连接，根据勾股定理得出，确定，再由角平分线得出，利用全等三角形的判定和性质得出，．利用勾股定理建立方程得出，，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）∵，点O为的中点， ∴，，， ∴． （2）如图，连接． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则． 在中， ∵， ∴ 解得， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题（共8题，17、18、19、20、21题每大题各8分，22、23题每大题各10分，24大题12分，共72分） 17. 按要求解答下列问题： （1）已知实数a、b满足，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：实数a、b满足， ∴． 【小问2详解】 解： ∴ ∴． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知三个顶点坐标分别为，，． （1）利用无刻度直尺作出中边的中线； （2）以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，与相交，交点即为点，连接，则即为中线．由可得，那么即为中线． （2）根据位似图形的性质画图即可; 【小问1详解】 解：如图所示，中线即为所求： 【小问2详解】 如图所示，即为所求： 19. 如图，中，是上一点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由题意易得，则有，进而问题可求证． 【详解】略 20. 如图，在中，，正方形的三个顶点分别在边，，上．若，求正方形的边长． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正方形的性质和相似三角形的判定方法可知，可得到关于正方形边长的比例式，代入数值计算即可． 【详解】解： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 若设正方形的边长为，又， ∴，解得：， 则正方形的边长为3. 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意图形中的相等线段的替换． 21. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】这棵树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线， 米，米，米， (米)， 又根据题意，得 ， ， ，即 ， 解得：米， (米)， 答：这棵树的高度为米． 22. 在中，，，是的重心． （1）求的长； （2）求． 【答案】（1）10 （2）40 【解析】 【分析】（1）延长交于点D，利用重心的意义得出，，再根据勾股定理求出，再根据重心的性质得出即可求出答案． （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于点D， ∵G为重心， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： 23. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：， 理由如下： 如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，过点F作于P，则四边形是矩形，得出，证明，即可得． （2）如图3，平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，则四边形是矩形．得出，，证明，得出，结合，，即可求出． （3）根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，结合，，得出，设，则．求出．根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：． 理由：∵四边形是正方形， ∴， 过点F作于P， 则四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点D作，过点A作交于点H，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 同（2）得：． 【点睛】该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 【答案】（1）证明：如图，四边形是矩形， ∴， ， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴， ∴， ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形与折叠的性质，确定两组角相等，进而证明相似； （2）设，利用勾股定理列方程，求出，则，再利用相似三角形对应边成比例，求出，即可得解； （3）延长、交于M点，连接，设，证明，推出，再利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：．理由如下： 如图，延长、交于M点，连接， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ，即， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $