浙教八上期中压轴题汇总01：三角形+特殊三角形（13大题型）数学新教材浙教版八年级上册

期中压轴题汇总01：三角形+特殊三角形（13大题型） 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与判定的综合 题型2、等腰三角形与全等三角形的综合问题 题型3、等边三角形与全等三角形的综合问题 题型4、等腰三角形性质与判定的综合 题型5、线段垂直平分线的性质 题型6、角平分线性质定理的应用 题型7、斜边上中线的应用 题型8、用勾股定理理解三角形 题型9、四边形的折叠问题（勾股定理的应用） 题型10、三角形的折叠问题（勾股定理的应用） 题型11、三角形性质的综合应用 题型12、三角形的最值问题（三角形全等、等腰三角形、等边三角形勾股定理的应用） 题型13、全等三角形的模型（倍长中线模型、补对称模型、旋转模型） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形与特殊三角形压轴题涵盖全等三角形的性质与判定、等腰三角形、等边三角形、线段垂直平分线、角平分线性质、斜边中线、勾股定理及折叠、最值等综合问题。解题核心在于掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），熟练运用等腰三角形的"等边对等角""三线合一"性质，理解勾股定理及其逆定理的应用条件。关键方法包括：通过辅助线构造全等三角形，利用"等边对等角"实现边角转化，设未知数用勾股定理列方程求解，利用对称和变换思想简化问题。解题时要从已知条件出发，识别基本图形模型，合理添加辅助线，建立已知与未知的联系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与判定的综合 题型模版 题型特征：给出两个三角形，要求证明全等并进一步利用全等结论推导线段或角的关系。常涉及添加辅助线构造全等三角形。 解题方法：从结论出发分析需要哪对全等三角形；判定方法选择（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；利用"对应边相等、对应角相等"推导后续结论；常见辅助线：作垂线、连中点、延长中线。 典例1（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 变式1-1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时，______（用含秒代数式表示）； ②当______秒时，与全等． 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．8 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为______． 题型2、等腰三角形与全等三角形的综合问题 题型模版 题型特征：以等腰三角形为背景，结合全等三角形证明线段或角的关系。常出现"等边对等角""三线合一"等性质的应用。 解题方法：利用等腰三角形的"等边对等角"得到角的关系；由角的关系构造全等三角形；作底边上的高（三线合一）构造直角三角形；利用对称性找全等三角形。 典例1（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点C关于直线的对称点为H，交的平分线于点F，连结． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 变式1-1（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作 ，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若为线段上一点，，求证：； (3)如图3，若，垂足为，求证：． 变式1-3（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 题型3、等边三角形与全等三角形的综合问题 题型模版 题型特征：以等边三角形为背景，利用等边三角形三边相等、三角均为60°的特殊性质，构造全等三角形证明结论。 解题方法：利用等边三角形的三边相等和60°角作为全等条件；通过旋转60°构造全等三角形；利用"等边三角形内一点到三边距离之和等于高"的性质；结合30°-60°-90°直角三角形的边长关系。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式1-1（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 变式1-2（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知线段，点是平面内一动点，且，连接，射线在右侧，与夹角为，作点C关于射线的对称点D，连接，，，交于点E，交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)在（1）的条件下，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，当最长时，请直接写出的长． 变式1-3（22-23八年级上·浙江湖州·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 题型4、等腰三角形性质与判定的综合 题型模版 题型特征：涉及等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边）的综合运用，可能需要分类讨论。 解题方法：分类讨论：已知两边不确定是腰还是底时，分两种情况讨论；利用"三线合一"性质（底边上的中线=底边上的高=顶角的角平分线）；设未知角为x，利用三角形内角和180°列方程；注意检验：两边之和必须大于第三边。 典例1（25-26八年级上·浙江衢州·期中）浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题： 7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．． (1)请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数． (2)小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答： 【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上） 【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________． 变式1-1（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． (1)当时，求的度数． (2)当点落在的一边上时，求的度数． (3)当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”； (3)如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数． 变式1-3（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图，为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至，连接，求与的数量关系． (2)如图，当点在边上运动时，仍将沿翻折至，连接． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 题型5、线段垂直平分线的性质 题型模版 题型特征：利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，求线段长度或证明线段关系。常与等腰三角形结合。 解题方法：垂直平分线上的点到两端点距离相等（PA=PB）；连接垂直平分线上的点与两端点，构造等腰三角形；将线段关系转化，利用"等量代换"将分散的线段集中；求最值问题时，利用垂直平分线做对称，转化为"两点之间线段最短"。 典例1（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 变式1-1（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 变式1-2（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 变式1-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)_____．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型6、角平分线性质定理的应用 题型模版 题型特征：利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，证明线段相等或建立线段间的数量关系。 解题方法：从角平分线上的点向两边作垂线，利用"到两边距离相等"证明；构造全等三角形证明线段相等；在三角形中结合角平分线分对边之比等于邻边之比（拓展）；角平分线+平行线=等腰三角形（常见模型）。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．②③④ 变式1-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点①；②若，则；③；④：：则上述说法中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知：在中，，是延长线上一点，作与关于直线对称． (1)如图1，是的平分线，且交于点． ①求证：； ②若，当射线时，求线段的长； (2)如图2，连接，分别交于点，．当，的面积为时，求和的面积． 变式1-3（24-25八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 题型7、斜边上中线的应用 题型模版 题型特征：涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质的应用，常与等腰三角形、勾股定理结合。 解题方法：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（CD=\u00BDAB）；逆用：若一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形；识别"斜边中点"条件，连中线构造等腰三角形；利用等腰三角形的性质推导角和线段关系。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的是________（写序号）． ①的垂直平分线交于点；②；③当时，；④当为中点时，． 变式1-1（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)________，________； (2)如图1，若点的坐标是，且于点交于点， ①求证：； ②点的坐标是________； (3)如图2，上有一个定点，点的坐标为为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，与的面积分别记为，式子的值是否发生改变？若发生改变，直接写出该式子的值的变化范围：若不发生改变，直接写出该式子的值． 变式1-2（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，高，相交于点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，分别是，的中点，试探究和的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)如图3，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 变式1-3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，D为边上的中点． (1)如图1，若，E，F分别为，边上的点，且满足． ①若，则的度数为_______（直接写答案）； ②探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，E，F分别为，边上的点，且满足，试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，，E，F分别为直线，上的点，且满足，，求的值． 题型8、用勾股定理理解三角形 题型模版 题型特征：利用勾股定理求直角三角形的边长，或判断三角形是否为直角三角形。常需构造直角三角形。 解题方法：识别或构造直角三角形；设未知边长为x，利用勾股定理列方程求解；作高构造直角三角形；利用勾股定理的逆定理判断三角形形状；计算线段长度、判断三角形形状、求面积等。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则_____； (2)若中，，，，则_____； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是几何学中的“明珠”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，中，，，点F、E分别在、边上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点D在的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点H，点G在线段上，连接、，若，，，求的面积． 变式1-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，是边上的高线，，． (1)求的长． (2)若点是射线上的一动点，作于点，连接， ①如图2，当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，求的长度； ②设直线交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）． 题型9、四边形的折叠问题（勾股定理的应用） 题型模版 题型特征：将矩形、正方形等四边形沿某条线折叠，利用折叠前后图形全等的性质，结合勾股定理求线段长度。 解题方法：折叠前后图形全等（对应边相等、对应角相等）；设未知线段长为x，用含x的式子表示相关线段；在直角三角形中利用勾股定理列方程；注意折叠后重合部分的特殊关系（如角度互补、线段共线等）。 典例1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为______． 变式1-2（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 变式1-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 题型10、三角形的折叠问题 题型模版 题型特征：将三角形沿某条线折叠，利用折叠的对称性，结合勾股定理求解。折叠后常形成新的特殊三角形。 解题方法：折叠前后图形全等（对应边相等、对应角相等）；设未知线段长为x，在形成的直角三角形中用勾股定理列方程；注意折叠后形成的特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）；利用折叠前后角度不变的关系建立等式。 典例1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则______． 变式1-1（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为___________． 典例2（25-26八年级上·浙江温州·期中）【问题背景】如图，是等腰直角三角形，，，点为中点．点是线段上一个动点，在线段上取一点使得． 【提出问题】当点在线段上移动时，的长度是否发生变化？ 【初步思考】小明通过尝试画出在不同位置时的图形，发现的长度发生了变化．于是他采用以下思路进行说理： 思路：求出在两个不同位置时，的长度． 先求出点在特殊位置时的长度： 如图，当点与点重合时，易求得． 再求出点不与两端点，重合时的长度： 如图，小明在右侧作，且．连接，．可证得：．请你根据以下问题帮小明继续完成探究： （1）求证：． （2）当时，求的长度． 【延伸思考】如图，当点运动到线段上时，点落在线段的延长线上．如果题干中其余条件不变．请解决以下问题： （3）当时，_____．（直接写出答案） 变式2-1（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 变式2-3（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，，垂足为点．是边上的一个动点，连接，将沿着折叠至，线段与直线相交于点． (1)求的长； (2)当时，求的度数及的长； (3)点在边上移动时，若为直角三角形，求的长． 题型11、三角形性质的综合应用 题型模版 题型特征：综合运用三角形的多种性质（全等、等腰、等边、勾股定理、面积等）解决复杂问题。涉及多个知识点的交叉。 解题方法：熟练掌握各种三角形的性质与判定方法；通过辅助线（作高、连中线、延长等）构造基本图形；利用面积法（等面积法）建立等式；灵活运用全等、等腰、勾股定理等知识建立已知量与未知量的关系。 典例1（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． (1)圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确？请说明理由． (2)方方说：“若，则．”请你证明结论． (3)小明说：“给出条件，就可以确定的度数．”请你直接写出的度数． 变式1-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，为的中点，连接． (1)如图1，若，． ①则______． ②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值． (2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由． ②当，，时，则______． 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为的中线，为上一点，连结，交于点，作，垂足为点，交于点，连结． (1)求证：； (2)若平分，求的值； (3)若是中点，求证：． 题型12、三角形的最值问题 题型模版 题型特征：在三角形背景下求线段、周长或面积的最值。常涉及"两点之间线段最短""点到直线距离最短"等基本原理。 解题方法：利用"两点之间线段最短"求路径最小值；利用"点到直线的距离最短"求高或距离的最小值；利用"三角形两边之差小于第三边"求差的最大值；通过对折、对称等方法将分散条件集中；转化为等腰三角形或直角三角形的特殊情况求解。 典例1（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知：如图1， ，为平面内直线右侧一点． (1)求的面积． (2)当在上且与面积相等时，求证：点为的中点． (3)如图2，当的面积为时，则的最大值___________． 变式1-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点在直线上运动，以为边在右侧作等腰，使，，取中点，连接，当的值最小时，的长为（    ） A． B．2 C． D． 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分．现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．当线段的值最小时，若，则_____． 变式1-3（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在和中，，且．连接．    (1)求证：①； ②是直角三角形； (2)若，点在线段上运动时，求周长的最小值． 变式1-4（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）【情景感受】如图1，把一块三角板放入一个U形槽中，使三角形的三个顶点A、B．C分别在槽的两壁及底边上滑动． （1）已知，在滑动过程中，线段与有什么数量关系？并说明理由． 【变式探究】 （2）如图2，在中，点D，E，F分别在边上，若，那么与有何关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D，F分别是边上的动点，且，以为腰向右作等腰，使得，若，点G是的中点，连接，请求出的最小值， 题型13、全等三角形的模型（倍长中线模型、补对称模型、旋转模型） 题型模版 题型特征：涉及全等三角形的三种经典几何模型：倍长中线模型、补对称模型和旋转模型，每种模型有特定的辅助线作法。 解题方法：倍长中线模型：将中线延长至2倍，构造SAS全等三角形，转化线段关系；补对称模型：以某边为对称轴作对称图形，利用对称性证明全等；旋转模型：将三角形绕某点旋转一定角度，利用旋转前后图形全等证明结论（60°旋转构造等边三角形，90°旋转构造等腰直角三角形）。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，，求中线的取值范围．小聪同学延长至点，使，连接．最后求得了的取值范围，请你帮他写出求解过程． （2）【深入探究】如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，求的长． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点，过点作的垂线交直线于点，若： ①求证：； ②求的值．（请直接写出结果） 典例2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）请阅读下面的材料． (1)问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． (2)变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． (3)拓展：如图4，在中，，和的平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 变式2-1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 典例3（25-26八年级上·浙江金华·期中）在等边中，点为所在平面内一点． (1)如图1，点在内，以为边作等边，连接，，延长交的延长线于点，求的度数； (2)如图2，点在内，且，为的中点，连接，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将等边绕点顺时针旋转至，，三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值． 变式3-1（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，D是直线上一点（不与点重合），以为边在的右侧作，使，连接． (1)【发现】如图1，点D在线段上． ①求证：； ②当时，求的度数； (2)【探究】在点D的运动过程中，当垂直于的某边所在直线时，求的度数．（用含α的式子表示） 变式3-2（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，与均为等腰三角形，，，，D为线段上一个动点，与相交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且，，求的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的中线，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，为内一点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）数学社团课上，老师拿出一张（其中，）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在边上找一点，沿向右折叠使点落在边上，铺平；第二步，在边上找一点，沿着折叠使落在边上，铺平；第三步，在边上找一点和边上找一点，沿着折叠使点落在点处，铺平；若最后测得恰好，则______ ． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，过点作，点在线段上，在射线上截取，则四边形的面积为______． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在长方形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交长方形的边于点．连接．设点的运动时间为秒．（） (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）和是两个等腰直角三角形（）的三角板． (1)【问题初探】当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，在同一直线上，连接，请证明：； (2)【类比探究】当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图（3），在四边形中，，连接，，点A到直线的距离为5，请求出的面积． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 11．（24-25八年级上·浙江台州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题． 问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明． 问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明． 问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解： 在中，，，； ①我们知道，若为直角，则三边满足勾股定理，即； ②其实若为锐角，则与的关系为：，推导过程如下： 证明：如图①过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴， ∴． 探究问题： (1)下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 （填序号） ①3，5，7    ②30，34，16   ③11，8，9 (2)如图②若为钝角，试用上述方法推导与的关系． (3)在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 14．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 15．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 试卷第2页（共134页） 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题汇总01：三角形+特殊三角形（13大题型） 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与判定的综合 题型2、等腰三角形与全等三角形的综合问题 题型3、等边三角形与全等三角形的综合问题 题型4、等腰三角形性质与判定的综合 题型5、线段垂直平分线的性质 题型6、角平分线性质定理的应用 题型7、斜边上中线的应用 题型8、用勾股定理理解三角形 题型9、四边形的折叠问题（勾股定理的应用） 题型10、三角形的折叠问题（勾股定理的应用） 题型11、三角形性质的综合应用 题型12、三角形的最值问题（三角形全等、等腰三角形、等边三角形勾股定理的应用） 题型13、全等三角形的模型（倍长中线模型、补对称模型、旋转模型） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形与特殊三角形压轴题涵盖全等三角形的性质与判定、等腰三角形、等边三角形、线段垂直平分线、角平分线性质、斜边中线、勾股定理及折叠、最值等综合问题。解题核心在于掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），熟练运用等腰三角形的"等边对等角""三线合一"性质，理解勾股定理及其逆定理的应用条件。关键方法包括：通过辅助线构造全等三角形，利用"等边对等角"实现边角转化，设未知数用勾股定理列方程求解，利用对称和变换思想简化问题。解题时要从已知条件出发，识别基本图形模型，合理添加辅助线，建立已知与未知的联系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、全等三角形的性质与判定的综合 题型模版 题型特征：给出两个三角形，要求证明全等并进一步利用全等结论推导线段或角的关系。常涉及添加辅助线构造全等三角形。 解题方法：从结论出发分析需要哪对全等三角形；判定方法选择（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；利用"对应边相等、对应角相等"推导后续结论；常见辅助线：作垂线、连中点、延长中线。 典例1（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得 ； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得 ； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ∴运动的速度为或或或． 变式1-1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时，______（用含秒代数式表示）； ②当______秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和三角形的面积公式，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．因为求的阴影部分面积其实是两个三角形的面积和，转化为两个三角形的面积问题，然后作出对应三角形的高，并合理转化高，发现每个三角形都与等底等高，验证即可求解． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点P，过点C作交的延长线于点Q，过点G作交的延长线于点S，过点C作交的延长线于点T，作交于点H， ∴，， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴，同理可证， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为______． 【答案】/9度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，利用全等三角形的对应角相等是解题的关键．如图，延长交于点，先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得：，证明△△，则，由8字形可得，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， 同理得：， ， ， 即， ，， △△， ， ， ， △中，， ． 故答案为：． 题型2、等腰三角形与全等三角形的综合问题 题型模版 题型特征：以等腰三角形为背景，结合全等三角形证明线段或角的关系。常出现"等边对等角""三线合一"等性质的应用。 解题方法：利用等腰三角形的"等边对等角"得到角的关系；由角的关系构造全等三角形；作底边上的高（三线合一）构造直角三角形；利用对称性找全等三角形。 典例1（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点C关于直线的对称点为H，交的平分线于点F，连结． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 结论：，理由如下： 如图，连接，作延长线，垂足为G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，得到，证明，即可得证； （2）连结，根据轴对称的性质及角的等量代换即可解答； （3）结论：．作，垂足为G，连接，证明，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，点是点关于的对称点，连接， ∵点与点C关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）略 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 变式1-1（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作 ，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到，进而判断①；先假设，进而根据等腰三角形的性质与判定得出，即可判断②，根据等角的余角相等，以及三角形的外角的性质，即可判断③，延长交于点，连接，证明得出，进而证明，根据平行线间的距离相等得出，进而判断④，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴, 又∵， ∴，故①正确； 若， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴，则， ∴仅当时，有，故②不正确； 设， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴，故③正确 如图所示，延长交于点，连接， ∵平分，， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 即，故④正确 故正确的有①③④ 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若为线段上一点，，求证：； (3)如图3，若，垂足为，求证：． 【答案】(1)的度数为 (2) 证明：由题意得，且为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ； (3) 证明：如图，过点A作，交的延长线于点E， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）设，则可证，利用三角形内角和定理，构建方程求出即可解决问题； （2）先等角对等边得到，然后由可证明，即可得结论； （3）过点A作，交的延长线于点E，由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等腰三角形的判定和性质进而即可求证． 【详解】（1）解：设， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用所学知识并构建合适的辅助线是解题的关键． 变式1-3（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 证明：如图2中，连接 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，， ， ； (3) 【分析】因式分解结合非负性，得到，结合，进行求解即可； 如图2中，连接只要证明，即可解决问题； 结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解得， 故答案为：； （2）略 （3）解：结论： 理由：如图3中，作交OB于点， ， ， ， ， 同理， ， 由（2）知：， 即 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，因式分解，平行线的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题. 题型3、等边三角形与全等三角形的综合问题 题型模版 题型特征：以等边三角形为背景，利用等边三角形三边相等、三角均为60°的特殊性质，构造全等三角形证明结论。 解题方法：利用等边三角形的三边相等和60°角作为全等条件；通过旋转60°构造全等三角形；利用"等边三角形内一点到三边距离之和等于高"的性质；结合30°-60°-90°直角三角形的边长关系。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤根据，可得，进而可得，故当时结论成立，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ∵，， ∴， ∴， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 变式1-1（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 【答案】(1) 证明：当点在线段上时， ， ， 即：， 在和中， ， ； (2)①②或或或 【分析】（1）由可得，再利用即可得出结论； （2）①设所在直线为，过点作于点，由（1）可得，于是可得，由可得，由可得，于是可得，进而可得，可知是等边三角形，从而得出答案；②分点在线段上或点在延长线上或点在延长线上三种情形，分别画出图形，根据，可得，从而解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，设所在直线为，过点作于点， 则， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为， 即的周长为； ②在点在运动过程中，若的最小角为， 而， 或， 若， 而， 则； 当点在延长线上时，如图， 由题意可知，， 由（1）同理可得：， ， ， ； 当点在延长线上时，如图， 当时，； 当时，由（1）同理可得：， ， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两直线平行同位角相等，等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 变式1-2（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知线段，点是平面内一动点，且，连接，射线在右侧，与夹角为，作点C关于射线的对称点D，连接，，，交于点E，交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)在（1）的条件下，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，当最长时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) 证明：；理由如下： 在线段上截取，如图， ， ， ， ， ，关于对称， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ； (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，，再证明，进一步求解可得答案； （2）在线段上截取，如图，证明，可得，证明，为等边三角形，再进一步可得结论； （3）如图，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长．证明，可得，结合，可得当最长时，，，三点在同一条直线上，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ，， ， ， ∵D，C是对称点 ∴， ， ， （2）略 （3）解：如图，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长． ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式1-3（22-23八年级上·浙江湖州·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】(1) 证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； (2) 证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型4、等腰三角形性质与判定的综合 题型模版 题型特征：涉及等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边）的综合运用，可能需要分类讨论。 解题方法：分类讨论：已知两边不确定是腰还是底时，分两种情况讨论；利用"三线合一"性质（底边上的中线=底边上的高=顶角的角平分线）；设未知角为x，利用三角形内角和180°列方程；注意检验：两边之和必须大于第三边。 典例1（25-26八年级上·浙江衢州·期中）浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题： 7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．． (1)请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数． (2)小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答： 【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上） 【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________． 【答案】(1) 画法一：若其中一个等腰三角形的顶角是，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图： 画法二：若其中一个等腰三角形的底角是，作的垂直平分线，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图： (2)问题一，如图， 问题二，或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形内角和定理，运用分类讨论思想和构造法解题，关键是根据内角和与等腰三角形性质合理分割三角形，易错点在于忽略不同分割情况导致漏解； （1）需根据等腰三角形 “等角对等边”，尝试从不同顶点作线段分割，使分割后的两个三角形均满足两内角相等； （2）问题一，要构造一个与原三角形内角完全相同的小三角形，再使另一个为等腰三角形；问题二则通过设定原三角形含角，分类讨论不同分割方式下的最大内角． 【详解】（1）略 （2）解：问题一：作的角平分线，即可得解． 问题二：设：原三角形三个内角为、、 （）； 分情况讨论： 分割后一个三角形内角为、、，另一个等腰三角形 若分割后等腰三角形顶角为，则底角为； 此时原三角形最大角, 代入内角和得 符合条件，最大角为； 若分割后等腰三角形底角为， 则，即， 此时原三角形最大角， 符合条件，最大角为； 若 符合条件，最大角为； 故答案为或或． 变式1-1（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． (1)当时，求的度数． (2)当点落在的一边上时，求的度数． (3)当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)； (2)或或； (3)或． 【分析】（1）由折叠得，，，根据平行线的性质得，从而，于是利用三角形的内角和定理即可得解； （2）分落在上时， 落在上，落在上时，也与重合，及落在上与点重合三种情况利用三角形的内角和及折叠的性质求解即可； （3）与相交时，令交点为，分当，，两种情形求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由折叠得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当落在上时，如图， 由折叠得，由折叠得 ∴， ∴； 当落在上时，如图， ∵是的中点， ∴， 由折叠得，由折叠得 ∴ ∴， ∴； 当落在上与点重合时，如图， ∵是的中点， ∴， 由折叠得，由折叠得 ∴， ∴， 综上可得，的度数为或或； （3）解：当与相交时，令交点为， 当时，设， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，设， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当与相交时，，不符合题意， 由（）得当落在上时， ， ∴， 此时，重叠部分不是等腰三角形，不符合题意， 当不落在上时，重叠部分不为等腰三角形，不符合题意， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握等边对等角，三角形的内角和定理以及平行线的性质是解题的关键． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”； (3)如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数． 【答案】(1)是 (2) 解：， ， ， 在中，，又， ， ∴， ∵， ∴， ， 是“倍角三角形”； (3)或或或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线性质、等腰三角形性质及“倍角三角形”定义，熟练掌握三角形内角和为、等腰三角形底角相等及“倍角三角形”的角的倍数关系是解题关键． （1）先利用三角形内角和求出，再由角平分线定义得，最后求，判断是否存在角的2倍关系． （2）由得等角，推出，结合已知条件和三角形内角和，推导与的2倍关系． （3）我们先设，根据三角形内角和求出．然后分两种维度讨论：一是作为“倍角三角形”的六种角度关系；二是作为等腰三角形的三种情况（、、）．通过结合这两种情况，分类计算出所有符合条件的的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 平分， ， ∴在中，， ， 是“倍角三角形”， 故答案为：是； （2）略 （3）解：设，则， 情况1：中，时，即， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去，角度不能为负）； 若，则，即， 解得； 若，则（舍去，三角形内角和超过）； 情况2：中，， ∵,， ∴， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，即（舍去，内角和超过）； 情况3：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况4：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况5：中，时，即， 解得， 则，， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 情况6：中，时，即， ∴， ∴， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，（舍去，内角和超过）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 综上，所有可能的的度数为或或或. 变式1-3（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图，为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至，连接，求与的数量关系． (2)如图，当点在边上运动时，仍将沿翻折至，连接． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①55度或35度；②或或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵D为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至， ， ， ， ； （2）解：①如图，当点在下方时， ， ， ， 由（1）知， ， ； 当点在上方时，如图， ， ， 当点在边上运动时，仍将沿翻折至， ∴， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ； 若时，如图，则， ， ， 若时，如图，则， ， ； 当时，则， ，则方程无解； 当点在上方时， 设， 当点在边上运动时，仍将沿翻折至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，如图，则， ， ； 若时，如图，则， ， ； 当时，如图，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型5、线段垂直平分线的性质 题型模版 题型特征：利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，求线段长度或证明线段关系。常与等腰三角形结合。 解题方法：垂直平分线上的点到两端点距离相等（PA=PB）；连接垂直平分线上的点与两端点，构造等腰三角形；将线段关系转化，利用"等量代换"将分散的线段集中；求最值问题时，利用垂直平分线做对称，转化为"两点之间线段最短"。 典例1（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，在由的周长为，的周长为列式，即可得出的长． （2）由三角形内角和可得，再由等边对等角可得，即可求得，在由三角形外角即可求得的度数． 【详解】（1）解：垂直平分， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ． （2）解：∵，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和，三角形外角，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式1-1（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 变式1-2（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等. 掌握这些判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 解法一：过作于，连接；由折叠的性质及等腰三角形的性质证明 ，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解； 解法二：过作于，过作于，连接，在上截取，由等边三角形的定义得是等边三角形，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解. 【详解】解：解法一：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵ ， ，， ∴，，， 和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ， ∵，， ， ， 故选B； 解法二：如图，过作于，过作于，连接，在上截取， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 故选：B． 变式1-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)_____．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形；理由： ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (3)是； 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据三角形外角的性质得出； （2）先证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出即可； （3）作于点H，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：作于点H，如图所示： 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型6、角平分线性质定理的应用 题型模版 题型特征：利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，证明线段相等或建立线段间的数量关系。 解题方法：从角平分线上的点向两边作垂线，利用"到两边距离相等"证明；构造全等三角形证明线段相等；在三角形中结合角平分线分对边之比等于邻边之比（拓展）；角平分线+平行线=等腰三角形（常见模型）。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①②；③④若为直角，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据三角形的内角和和外角的性质即可得到． 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线交于点M，如下图所示： ，， ， 又， 故， ； 故①正确， ， 过点E作于点P，作于点Q， 平分， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， 平分， ； 故③正确， 延长二线交于点N， 平分， ， ， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 无法证明， 故④错误， 故选：A． 变式1-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点①；②若，则；③；④：：则上述说法中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． ①先利用三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得，然后在中，再由三角形内角和定理得，据此可对①进行判断； ②根据，平分得，，由此可依据“”判定和全等得，进而得，据此可对②进行判断； ③在边上截取，连接，根据得，证明和全等得，由此得，进而可依据“”和全等得，继而得，据此可对④进行判断； ④作于M，于N，根据≌，≌得，由此可依据“”判定和全等得，再由三角形面积公式得，，由此得：：，据此可对④进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在中，， ， 平分交于点D，平分交于点E， ，， ， ， 在中，， 故①正确； ②，平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 故②正确； ③在边上截取，连接，如图1所示： ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 故③正确； ④作于M，于N，如图2所示： ， ， ， 又 ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ：：FC， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故选D． 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知：在中，，是延长线上一点，作与关于直线对称． (1)如图1，是的平分线，且交于点． ①求证：； ②若，当射线时，求线段的长； (2)如图2，连接，分别交于点，．当，的面积为时，求和的面积． 【答案】(1) ①证明：是的平分线， ， ， ， ， ， ； ② (2)， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质以及三角形面积的比例关系等知识点． （1）①证，即可得证；②根据勾股定理求得，则，再证，推得，进而得解； （2）根据三角形面积的比例关系可推得，可得的面积，进而求解． 【详解】（1）解：①略 ②， ， ， ， ， 射线， ， ， 与关于直线对称， ， ， ； （2），， ，， 与关于直线对称， ，， ∴点E到的垂线段相等， ， ， ， ， ， 与关于直线对称， ， ， ． 变式1-3（24-25八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 题型7、斜边上中线的应用 题型模版 题型特征：涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质的应用，常与等腰三角形、勾股定理结合。 解题方法：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（CD=\u00BDAB）；逆用：若一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形；识别"斜边中点"条件，连中线构造等腰三角形；利用等腰三角形的性质推导角和线段关系。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的是________（写序号）． ①的垂直平分线交于点；②；③当时，；④当为中点时，． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．连接，由直角三角形的性质即可判断；由，根据等腰三角形的性质即可判断；设，分别表示出即可判断；连接，并延长交于点，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断． 【详解】解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线交于点，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 当时，是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴，故③正确； 连接，并延长交于，如图所示 当为中点时， ∴ ∵点为的中点， ∵ ∴ ∵,点为中点时， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∴, ∴是等边三角形， ∴当为中点时，是等边三角形， ∴，平分，平分， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴，故④不正确， 综上，说法正确的是①②③． 变式1-1（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)________，________； (2)如图1，若点的坐标是，且于点交于点， ①求证：； ②点的坐标是________； (3)如图2，上有一个定点，点的坐标为为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，与的面积分别记为，式子的值是否发生改变？若发生改变，直接写出该式子的值的变化范围：若不发生改变，直接写出该式子的值． 【答案】(1)4， (2)①证明：∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ② (3)的值不发生改变，等于4． 【分析】本题主要考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、非负数的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据非负性的性质求解即可； （2）①先说明，再证明、，易证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；②先说明，再根据全等三角形的性质可得，然后结合点P的位置即可解答； （3）如图：连接．证明可得， 再根据以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：4，． （2）①略 ②∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：的值不发生改变，等于4． 如图：连接． ∵， ，， ∴D是的中点 ∵，， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1-2（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，高，相交于点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，分别是，的中点，试探究和的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)如图3，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：如图1， 的高、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； (2) ，，证明如下： ∵，分别是，的中点，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴； (3) 解： ，理由如下： 如图，在上截取，连接，， 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（1）可知：则，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （1）由三角形高的定义得到，，再导角证明，据此可证明，得到； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，，结合（1）的结论，证明，根据全等三角形的性质，进而即可得出和的数量关系和位置关系； （3）在上截取，连接，如图2所示：先证明，得到，，再导角证明，进而证明，得到，据此可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式1-3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，D为边上的中点． (1)如图1，若，E，F分别为，边上的点，且满足． ①若，则的度数为_______（直接写答案）； ②探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，E，F分别为，边上的点，且满足，试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，，E，F分别为直线，上的点，且满足，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)的长为2或14 【分析】（1）①求出，可得； ②连接，证明，可得，即可证得； （2）取的中点K，连接，，证明，可得，从而可得； （3）分两种情况：当E在线段上时，取中点T，连接，证明，可得，即可求出；当E在延长线上时，取中点T，连接，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 解：线段，，之间的数量关系为， 理由如下： 连接，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵D为边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由如下： 取的中点K，连接，，如图： ∵，，D为边上的中点， ∴，， ∵K为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当E在线段上时，取中点T，连接，如图： ∵，，D为边上的中点， ∴，， ∴， ∵T为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 当E在延长线上时，取中点T，连接，如图： 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或14． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边对等角，等边三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型8、用勾股定理理解三角形 题型模版 题型特征：利用勾股定理求直角三角形的边长，或判断三角形是否为直角三角形。常需构造直角三角形。 解题方法：识别或构造直角三角形；设未知边长为x，利用勾股定理列方程求解；作高构造直角三角形；利用勾股定理的逆定理判断三角形形状；计算线段长度、判断三角形形状、求面积等。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则_____； (2)若中，，，，则_____； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题考查三角形的边长、高的计算，根据三角形的性质和公式求出“边长”和“这条边上的高”是解题关键． （1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理直接求边长； （2）在直角三角形中，用面积法求出斜边上的高； （3）三角形形状不确定，分“高在上”和“高在的延长线上”两种情况，用勾股定理求的长度，再计算边高差． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 故答案为：1． （2）解：如图，作于， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：． （3）如图，分两种情况讨论： 当是锐角三角形时： ，，，， ， ， ，， ， ； 当是钝角三角形时： 同理可得，，， ． ∴的值为或. 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是几何学中的“明珠”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，先推导等边三角形的面积公式，如图，标注各交点及各部分面积，由勾股定理得：，进一步证明，结合，从而可得答案. 【详解】解：如图，等边三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 如图，标注各交点及各部分面积， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴已知的面积，则能求代数式的值. 故选：A 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，中，，，点F、E分别在、边上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点D在的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点H，点G在线段上，连接、，若，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得，结合，利用三角形内角和定理求证即可； （2）证明是等腰直角三角形，再证即可； （3）过点G作于点M，证和是等腰直角三角形，是等腰三角形，根据三线合一，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点G作于点M，如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．恰当作出辅助线并找出图中特殊的三角形是解题的关键． 变式1-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，是边上的高线，，． (1)求的长． (2)若点是射线上的一动点，作于点，连接， ①如图2，当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，求的长度； ②设直线交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键． （1）由勾股定理即可计算出的长，从而计算出的长； （2）①分两种情况：当时；当时，分别进行求解即可； ②分两种情况：当在线段上；当在射线上，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解：①分两种情况： Ⅰ．当时，则， ，， ， ， Ⅱ．当时， 在和中， ， ， ， ， 综上，或者； ②分两种情况： Ⅰ．当在线段上，连接， ，， ，得， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，， ； Ⅱ．当在射线上，连接， 同理可得， ， ， 综上，的长为或． 题型9、四边形的折叠问题（勾股定理的应用） 题型模版 题型特征：将矩形、正方形等四边形沿某条线折叠，利用折叠前后图形全等的性质，结合勾股定理求线段长度。 解题方法：折叠前后图形全等（对应边相等、对应角相等）；设未知线段长为x，用含x的式子表示相关线段；在直角三角形中利用勾股定理列方程；注意折叠后重合部分的特殊关系（如角度互补、线段共线等）。 典例1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 变式1-2（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 【答案】(1) (2)当是等腰三角形时，的长为3或2或或8 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据勾股定理解答即可； （）根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别画出图形，求出的值． 【详解】（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点， ， 当是以为斜边的直角三角形时，则， 四边形是长方形， ， ． （2）解：当时，； 当时，如图，过于， 则，四边形是长方形， ； 当时，如图，过作于，则四边形是长方形， ， ， ， 或 综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8． 变式1-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型10、三角形的折叠问题 题型模版 题型特征：将三角形沿某条线折叠，利用折叠的对称性，结合勾股定理求解。折叠后常形成新的特殊三角形。 解题方法：折叠前后图形全等（对应边相等、对应角相等）；设未知线段长为x，在形成的直角三角形中用勾股定理列方程；注意折叠后形成的特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）；利用折叠前后角度不变的关系建立等式。 典例1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∴，， 由折叠可知：， 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意）； 当，即时， ∵， ∴， 解得， 即； 当，即时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 变式1-1（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：如图，当时， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，如图设交于点，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 如图，设交于点， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴， ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：3． 典例2（25-26八年级上·浙江温州·期中）【问题背景】如图，是等腰直角三角形，，，点为中点．点是线段上一个动点，在线段上取一点使得． 【提出问题】当点在线段上移动时，的长度是否发生变化？ 【初步思考】小明通过尝试画出在不同位置时的图形，发现的长度发生了变化．于是他采用以下思路进行说理： 思路：求出在两个不同位置时，的长度． 先求出点在特殊位置时的长度： 如图，当点与点重合时，易求得． 再求出点不与两端点，重合时的长度： 如图，小明在右侧作，且．连接，．可证得：．请你根据以下问题帮小明继续完成探究： （1）求证：． （2）当时，求的长度． 【延伸思考】如图，当点运动到线段上时，点落在线段的延长线上．如果题干中其余条件不变．请解决以下问题： （3）当时，_____．（直接写出答案） 【答案】 [初步思考]（）证明：在右侧作，且，连接，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）； [延伸思考]（）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． [初步思考]（）在右侧作，且，连接，，通过角度和差可得，证明，根据性质可得； （）由是等腰直角三角形，，则，通过全等三角形性质及角度和差可得，设，则，由勾股定理得，即，解得即可； [延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，，同（）理得，所以，由，，可得到，证明，设，则，由勾股定理得，即，解得即可． 【详解】[初步思考]（）略 （）解：如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； [延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 变式2-1（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 变式2-2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 【答案】(1) 由折叠性质可得， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)； (3)． 【分析】（）由折叠性质可得，则，，又是中点，从而可得，则，然后通过三角形外角性质得到，根据平行线的判定即可求证； （）由折叠性质可得，则，证明为等边三角形，所以，又是中点，从而可得，所以，然后求证明为直角三角形，最后通过勾股定理即可求解； （）延长交于点，过点，作于，于，则，又，所以，证明，得，则有，重合，即三点共线，由勾股定理得，设，则在中，，即，解得，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠性质可得， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 由勾股定理可得，； （3）解：延长交于点，过点，作于，于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，重合，即三点共线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，图形的变换——折叠，平行线的判定，直角三角形的判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质和判定，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式2-3（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，，垂足为点．是边上的一个动点，连接，将沿着折叠至，线段与直线相交于点． (1)求的长； (2)当时，求的度数及的长； (3)点在边上移动时，若为直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理可得，然后运用等面积法求解即可； （2）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，易得，则，即；再说明可得；再运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）分和两种情况，分别画出图形，再运用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，，，垂足为点． ∴，， ∴，解得：． （2）解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠至，线段与直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：当时，此时点H和点E重合，即，， ∵将沿着折叠至，线段与直线相交于点， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：． ∴． 如图：当时，此时点H和点D重合，即， ∴． 综上，的长2或． 题型11、三角形性质的综合应用 题型模版 题型特征：综合运用三角形的多种性质（全等、等腰、等边、勾股定理、面积等）解决复杂问题。涉及多个知识点的交叉。 解题方法：熟练掌握各种三角形的性质与判定方法；通过辅助线（作高、连中线、延长等）构造基本图形；利用面积法（等面积法）建立等式；灵活运用全等、等腰、勾股定理等知识建立已知量与未知量的关系。 典例1（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． (1)圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确？请说明理由． (2)方方说：“若，则．”请你证明结论． (3)小明说：“给出条件，就可以确定的度数．”请你直接写出的度数． 【答案】(1) 解：圆圆的说法正确，理由如下： 由作图可得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴圆圆的说法正确； (2) 解：如图1，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明，结合，与角的和差运算可得结论； （2）如图1，过作于，证明，，可得，从而可得结论； （3）如图2，取的中点，连接，可得，证明，，可得，进一步解答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 变式1-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，为的中点，连接． (1)如图1，若，． ①则______． ②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值． (2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由． ②当，，时，则______． 【答案】(1)①5；② (2) ①；理由如下： 延长至，使，连接，， ，， RR， ，， ， 又，， ， 在△中，， 即； ② 【分析】（1）①先利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得解；②利用等腰三角形三线合一即可得解； （2）①延长至，使，连接，，易证，可得，可得，再结合勾股定理即可得解． ②设，由②结论可知，在△中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①在△中，，， 为的中点， ， 故答案为：5； ②，平分， ， 同理得， 在△中，； （2）解：①略 ②设，则，， ， ， 在△中，， 由①结论可知， ， 解得， ； 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题． 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为的中线，为上一点，连结，交于点，作，垂足为点，交于点，连结． (1)求证：； (2)若平分，求的值； (3)若是中点，求证：． 【答案】(1) 证明：∵在中，，，为的中线， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵作，垂足为点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) (3) 证明：如图，连接， ， ∵在中，，，为的中线， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证； （2）作于，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，证明出，结合角平分线的性质定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，进而可得，即可得解； （3）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，证明出，结合题意可得，，，证明，得出，从而可得，再由勾股定理即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：如图：作于， ， ∵在中，，，为的中线， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型12、三角形的最值问题 题型模版 题型特征：在三角形背景下求线段、周长或面积的最值。常涉及"两点之间线段最短""点到直线距离最短"等基本原理。 解题方法：利用"两点之间线段最短"求路径最小值；利用"点到直线的距离最短"求高或距离的最小值；利用"三角形两边之差小于第三边"求差的最大值；通过对折、对称等方法将分散条件集中；转化为等腰三角形或直角三角形的特殊情况求解。 典例1（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知：如图1， ，为平面内直线右侧一点． (1)求的面积． (2)当在上且与面积相等时，求证：点为的中点． (3)如图2，当的面积为时，则的最大值___________． 【答案】(1) (2) 证明：当在上且与面积相等时，的面积也等于， 此时， ∴ ∴ ∴点为的中点； (3)2 【分析】（1）由题意得 ， ，证明得是等边三角形，垂直平分，，即可求解； （2）由题意得，则，即可求证； （3）由题得点到直线的距离等于的长1，过点作直线交于点，连接，可知，取最大值，即可求解. 【详解】（1）解：∵ ∴ ， 设交于点，如图； ∵ ， ∴ ∴与关于直线对称 ∴是等边三角形，垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）当的面积为时，与面积相等， ∴点到直线的距离等于的长1 过点作直线交于点，连接，如图： 则 由（2）知：为的中点，即有直线 垂直平分 ∴ 根据“两点之间，线段最短”可得：即，当且仅当点在线段延长线上时，取最大值， ∴ 故答案为：2. 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形性质和判定，等边三角形性质，线段最小值的考点，难度较大，解题关键在于会做辅助线，熟悉知识点，并且能熟练掌握知识体系. 变式1-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点在直线上运动，以为边在右侧作等腰，使，，取中点，连接，当的值最小时，的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是证明以确定E点运动的轨迹；根据等腰三角形的性质证明，求出，可得，则点E在过点B且垂直于的直线上运动，再根据垂线段最短可知当时，最短，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 是等腰直角三角形，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 点E在过点B且垂直于的直线上运动． 当时，最短，则， ， ， ， ，点F为中点， ， ， ． 故选：． 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分．现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．当线段的值最小时，若，则_____． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质以及两点之间线段最短，熟练掌握三角形外角性质和折叠前后角的对应关系是解题的关键．先根据两点之间线段最短确定、、共线时最小，再利用三角形内角和、外角性质以及折叠的性质，建立与的关系进行求解． 【详解】解：由两点之间线段最短得，当、、共线时最小，此时， ， ， ，， ， 由折叠可得，， ， ， ， 故答案为：． 变式1-3（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在和中，，且．连接．    (1)求证：①； ②是直角三角形； (2)若，点在线段上运动时，求周长的最小值． 【答案】(1) 证明：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，垂线段最短等，证得，推出的周长，是解答本题的关键． （1）①利用证得即可；②利用全等三角形性质得到，再通过角度的和差关系可得到，进而可得证； （2）通过全等三角形性质进而推出的周长，结合勾股定理和垂线段最短，可推出当时，的值最小，此时的周长最小，然后等腰三角形的性质和判定，求得的长度，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当取得最小值时，的周长的最小，最小值为， ∵，，点D在边上运动， ∴，即， ∴当取得最小值时，的值最小， 即当时，的值最小， ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 变式1-4（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）【情景感受】如图1，把一块三角板放入一个U形槽中，使三角形的三个顶点A、B．C分别在槽的两壁及底边上滑动． （1）已知，在滑动过程中，线段与有什么数量关系？并说明理由． 【变式探究】 （2）如图2，在中，点D，E，F分别在边上，若，那么与有何关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D，F分别是边上的动点，且，以为腰向右作等腰，使得，若，点G是的中点，连接，请求出的最小值， 【答案】 （1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、轴对称求最短距离、三角形外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用判定三角形全等可得，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先利用三角形外角的性质以及等量代换即可解答； （3）如图， 在上截取，连接， 作点G关于的对称点N， 连接，再证明可得．然后根据对称性可得当A，E，N三点共线时，的值最小， 最小值为；再根据对称性和勾股定理求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图， 在上截取，连接， 作点G关于的对称点N， 连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，   ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴E点在射线上运动． ∵ G点与N点关于对称， ∴， ∴， ∴当A，E，N三点共线时，的值最小， 最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴，   ∵点G是的中点，， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 题型13、全等三角形的模型（倍长中线模型、补对称模型、旋转模型） 题型模版 题型特征：涉及全等三角形的三种经典几何模型：倍长中线模型、补对称模型和旋转模型，每种模型有特定的辅助线作法。 解题方法：倍长中线模型：将中线延长至2倍，构造SAS全等三角形，转化线段关系；补对称模型：以某边为对称轴作对称图形，利用对称性证明全等；旋转模型：将三角形绕某点旋转一定角度，利用旋转前后图形全等证明结论（60°旋转构造等边三角形，90°旋转构造等腰直角三角形）。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3) 证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，，求中线的取值范围．小聪同学延长至点，使，连接．最后求得了的取值范围，请你帮他写出求解过程． （2）【深入探究】如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，求的长． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3）2 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，由等量代换即可求证是等腰三角形，即可求解； （3）先由角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，再证明是等腰三角形，即可得，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】（1）解：是的中线， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在中， ， 即， ， ； （2）解：延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ． ， ． 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ． ， ； （3）解：，平分， ． ， ， 在中，， ， ． 延长至点，使，连接， 点为边的中点， ． 在和中， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ． 设，则， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 的长为2． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点，过点作的垂线交直线于点，若： ①求证：； ②求的值．（请直接写出结果） 【答案】(1)60° (2) 证明：在上截取，连接， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) ①证明：如图，延长到点，使得，连接，连接，交于点， ， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，沿翻折交于点，， ， ， 是等腰三角形，，是等边三角形， ， ， ②3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）①延长到点，使得，连接，连接，交于点，根据等边三角形的判定和性质得到，，证明，得到，，则，根据翻折的性质得到，，证明是等腰三角形，，是等边三角形，进而得到，即可证明； ②证明，得到，则，即可求出的值． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ； （2）略 （3）①略 ②解：， ， 在与中， ， ， ． 典例2（25-26八年级上·浙江湖州·期中）请阅读下面的材料． (1)问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． (2)变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． (3)拓展：如图4，在中，，和的平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； (3)13 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，再根据全等三角形的性质和等角对等边求解即可； （2）在上截取，连接，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）在上截取，连接，证明，是等边三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：在上截取，连接，如图， ∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 变式2-1（25-26八年级上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 【答案】（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴ ∵， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证； （2）连接，过点作于点，证明，和，得出，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，过点作于点， ∵， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ∴． 典例3（25-26八年级上·浙江金华·期中）在等边中，点为所在平面内一点． (1)如图1，点在内，以为边作等边，连接，，延长交的延长线于点，求的度数； (2)如图2，点在内，且，为的中点，连接，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将等边绕点顺时针旋转至，，三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值． 【答案】(1)60° (2) 证明：如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， 由（1）可知，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． (3)2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）如图中，设交于．证明，推出，可得结论． （2）如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，．证明，推出，，，再证明，推出，可得结论． （3）过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于．首先证明，，再证明，由此构建关系式，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图中，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）解：过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， 全等三角形对应边上的高相等， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证，， ， ， 同法可证， ∵3， ， ， ， ∴2． 变式3-1（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，D是直线上一点（不与点重合），以为边在的右侧作，使，连接． (1)【发现】如图1，点D在线段上． ①求证：； ②当时，求的度数； (2)【探究】在点D的运动过程中，当垂直于的某边所在直线时，求的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)①证明： ， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ② (2)或或 【分析】（1）发现：①由三角形判定定理——，结合已知条件可证； ②根据三角形全等和三角形内角和的性质，可求的度数； （2）探究：根据题意可分三种情形：当，，时，利用三角形内角和定理以及全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ①略 ②，， ， 由①得≌， ， ， （2）由题意，可分三种情况讨论： ①如图，当时，设垂足为O， , ， ， 由（1）知≌， ， 在中， ， 即； ②如图，当时， ， ， ， 在中， ； ③如图，当时， ， ， ， 即， ； 综上所述，满足条件的值为或或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定定理——，熟练掌握三角形的性质及全等的判定是解题的关键． 变式3-2（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，与均为等腰三角形，，，，D为线段上一个动点，与相交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又 ∵， ∴． (3)4 【分析】（1）由，可得，用判定证得，即可证得结论； （2）由（1）知，则有，再根据三角形的内角和定理得到等腰三角形的顶角相等则底角相等，进而有，最后利用三角形的内角和相等得； （3）由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，结合三角形的内角和定理和已知条件可得和的度数，构造等腰三角形和等腰直角三角形，综合全等三角形的判定和性质，可得点E到的距离，代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，作交的延长线于点，在延长线上截取，连接，交的延长线于点． ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的中线，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形三线合一的性质即可判断选项A；根据等腰三角形三线合一的性质求得，即可判断选项C；根据等边对等角求得，，再利用三角形内角和定理即可判断选项D；由现有条件不能判断选项B正确． 【详解】解：若，则是等腰三角形， ∴底边上的中线和高共线，则， 故选项A正确，该选项不符合题意； 若，则是等腰三角形，又， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，故选项C正确，该选项不符合题意； 若，又， ∴，， ∴，， ∴， 故选项D正确，该选项不符合题意； 若，不能得到，故选项B错误，该选项符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，为内一点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交 的角平分线于点，连接，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可． 【详解】如图，延长交 的角平分线于点，连接．   平分，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 【答案】A 【分析】①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误．②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形．③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误．④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）数学社团课上，老师拿出一张（其中，）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在边上找一点，沿向右折叠使点落在边上，铺平；第二步，在边上找一点，沿着折叠使落在边上，铺平；第三步，在边上找一点和边上找一点，沿着折叠使点落在点处，铺平；若最后测得恰好，则______ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理等知识，设，根据第三步折叠得是的垂直平分线，则，进而得，根据第一步折叠得是直角三角形，进而得，再根据得，由此得，然后根据第二步折叠得，据此得，再根据三角形的外角性质得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，据此可得的值，熟练掌握图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵第三步，沿着折叠使点落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵第一步，沿向右折叠使点落在边上， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在，中， ∴， ∴， ∴， ∵第二步，沿着折叠使落在边上， ∴， ∴， 解得: ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，过点作，点在线段上，在射线上截取，则四边形的面积为______． 【答案】168 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键．过点作于点，过点作于点，于点，根据等腰三角形的性质得，，在△中，由勾股定理得，进而得，根据得，由此可依据“”判定△和△全等得，再根据得，继而得． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，于点，如图所示： ，， △，△和△都是直角三角形， 在△中，，， ，， 在△中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 由三角形面积公式得：，， 又， ， ． 故答案为：168． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在长方形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交长方形的边于点．连接．设点的运动时间为秒．（） (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图2，过点作于点， ． ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形； (3)当点恰好落在边上时，的值为、、 【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得； （2）过点作于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）分三种情况：①当点在上；②当点在上；③当点在上，分别利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图1， 四边形是矩形， ， ， 四边形ABEQ是矩形， 当点和点重合时，，， 在中，， 故答案为：； （2）略 （3）解：①当点在上时，如图3， 由题意得，，， 在中，， ， ，，， 在中，，， 解得：； ②当点在上时，且重合时，如图4， 由题意得，，， 在中，， ， 解得； ③当点在上时，且重合时，如图5， 当点在上时，此时在上． 过点作，此时， ，， 由轴对称得，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当点恰好落在边上时，的值为、、．（直接写出答案即可） 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）和是两个等腰直角三角形（）的三角板． (1)【问题初探】当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，在同一直线上，连接，请证明：； (2)【类比探究】当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图（3），在四边形中，，连接，，点A到直线的距离为5，请求出的面积． 【答案】(1) 证明：和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ，， ； (2) 解：，，理由如下： ， ， 延长与交于点， ； (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出结论； （2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到； （3）过作交延长线于，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过作交延长线于，过作交于， ， ， 到直线CD的距离为5， ， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质与判断，全等三角形的判定和性质，垂直定义方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，平行； （2）解：，理由如下： 延长至点M，使，连接，如图所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）的长为或 【分析】（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，平行； （2）略 （3）解：当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理求得， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接． (1)当时，求的长； (2)当时，求证：； (3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴； (3)满足条件的的值为2或 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理及勾股定理， （1）先求出，再根据勾股定理求出结论即可； （2）先证明，得出，再结合，求出，即可证明结论； （3）设，则，先证明，再分两种情况：当时，或当时，分别求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 （3）解：， ， 设，则, ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时， ， ∴， ∴, ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为2或. 11．（24-25八年级上·浙江台州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3; （2）; （3）①180； ②， 理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题． 问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明． 问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明． 问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______． 【答案】问题1：如下图补充： 测量的长； 证明：过点作交延长线于， ，， ， ， 又，， ， ； 问题2：，理由如下： 延长到，使得， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 问题3： 【分析】问题1：根据题意补充图形即可，过点作交延长线于，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 问题2：延长到，使得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； 问题3：如图4，延长到使，根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：问题1：略 问题2：略 问题3：如图4，延长到使， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解： 在中，，，； ①我们知道，若为直角，则三边满足勾股定理，即； ②其实若为锐角，则与的关系为：，推导过程如下： 证明：如图①过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴， ∴． 探究问题： (1)下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 （填序号） ①3，5，7    ②30，34，16   ③11，8，9 (2)如图②若为钝角，试用上述方法推导与的关系． (3)在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 【答案】(1)③ (2)；理由如下， 当为钝角，过作于D，如图所示： 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； (3)当为钝角时，；当为钝角时， 【分析】本题考查了勾股定理的综合运用、三角形的三边关系的应用；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键． （1）根据题干信息进行判断即可． （2）作于D，则，由勾股定理得出，，得出，整理即可得出结论； （3）①当为钝角时，由（2）得：，即可得出结果；②当为钝角时，得：，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵①，则不能构成锐角三角形； ②∵，则三角形是直角三角形； ③∵， ∴三角形是锐角三角形； 故选：③ （2）略 （3）当为钝角时，由（2）得：， 即， ∴； 当为钝角时，同理可得：， ∴， 即， ∴； 综上所述：第三边c的取值范围为或． 14．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． (3) 是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键． 15．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得： ； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 试卷第2页（共134页） 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $