期中数学预测试卷2026-2027学年第一学期浙江杭州市八年级浙教版

2026-2027学年第一学期浙江省杭州市八年级期中数学预测试卷 卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，下列条件： ①；②：：：4：5：③；④，． 能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，， 要根据“”证明则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 5. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．邻补角互补 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 6. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合， 折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组的整数解共有4个， 则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为． 钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为， 则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 9． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以点A为圆心， 以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧， 两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D．垂直平分线段 10． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分， 于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G． 则下面的结论：①；②；③；④． 其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的一个外角， 若，，则________． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”， 在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了______步路， 却踩伤了花草（假设2步为1米）． 13． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）初三的几位同学拍了一张合影作为留念， 已知拍一张底片需要5元，洗一张相片需要0.5元．拍一张照片，在每位同学得到一张相片的前提下，平均每人分摊的钱不足1.5元，那么参加合影的同学人数为 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点重合，点正好在的延长线上，，，，则的长为________． 15． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的， 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成， 两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动． 若，则的度数是__________． 16. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，， 点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度 由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是________ 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来． (1) 解不等式：． (2) 解不等式组：． 18. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，， ，分别是的角平分线和高线，则的度数． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)在直线上找一点P，使的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图,点B．F. C． E在一条直线上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在直线l的异侧,测得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF. (1) 求证：△ABC≌△DEF； (2) 若BE=13m，BF=4m，求FC的长度． 21． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，垂直平分， 交于点F，交于点E，且，连接． (1) 求证：； (2) 若的周长为，，求长． 22． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍， 如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点， 当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他， 若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和． 且，． (1) 与全等吗？请说明理由； (2) 小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ (3) 秋千静止时点离地面的高度是多少？ 23． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种 型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1) 求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2) 若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台， 求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3) 在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）综合与实践 【建立模型】 （1） 如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形， 连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2） ① 如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且， 连接，，求证：． ② 如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上， 连接，若，，求的面积．    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期浙江省杭州市八年级期中数学预测试卷（解析版） 卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】、该图形是轴对称图形，符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选． 2.（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 3. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，下列条件： ①；②：：：4：5：③；④，． 能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理对每个条件逐一进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴． ∵三角形内角和为，即， 把代入可得， 解得， ∴是直角三角形． ②已知，设，，． ∵三角形内角和为， ∴，即， 解得． 则，，， ∴不是直角三角形． ③∵， ∴， 根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，且． ④∵，，， ，， ， 根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，且． 综上，能判断是直角三角形的条件有①③④，共3个， 故选：C． 4. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，， 要根据“”证明则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 5. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．邻补角互补 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了命题，逆命题，判断命题的真假，正确理解真假命题的依据是解题的关键．先根据所学命题，逆命题的定义，再通过逻辑推理或反例验证逆命题的真假． 【详解】解：A选项的逆命题：互补的角是邻补角．是假命题，如平行线中的同旁内角互补但不相邻，故此选项不符合题意； B选项的逆命题：若，则．是假命题，如，但，故此选项不符合题意； C选项的逆命题：对应边相等的三角形全等．是真命题，故此选项符合题意； D选项的逆命题：若，则．是假命题，如时，，但，故此选项不符合题意． 故选：C ． 6. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合， 折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质和等边对等角推出，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故选：A． 7． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组的整数解共有4个， 则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键． 先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定a的范围即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵原不等式组的整数解有4个为， ∴． 故答案为A． 8． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为． 钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为， 则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，先求出，再结合把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，故，，然后根据勾股定理列式计算得，即可作答． 【详解】解：∵钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为， ∴， ∵把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为， ∴，， 则， ∴ 故选：A 9． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以点A为圆心， 以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧， 两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D．垂直平分线段 【答案】B 【分析】根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，根据作图可知，，垂直平分，得到，推出，进而得到，三线合一，推出垂直平分线段，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，进行判断即可． 【详解】由作图可知：， ∴垂直平分， 又∵点E在上， ∴B，故A正确，但不合题意； ∵ ∴，又 ∴，又 ∴ ∵垂直平分， ∴是等腰三角形， ∴ 又， ∴， ∴，故C正确，但不符合题意． 由可知，垂直平分线段， 故D正确，但不符合题意． 由点A在线段的垂直平分线上知， ， ∴． 故B不正确，但符合题意． 故选：B． 10． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分， 于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G． 则下面的结论：①；②；③；④． 其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，同角的余角性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，是解决本题的关键． 根据，，得到，根据，得到，判断①正确；根据，，得到，判断②正确；过H作于I，根据角平分线性质得到，根据，即得，判断③不正确；连接，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据三角形外角性质得到，根据，推出，即得，判断④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ③过H作于I， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴③不正确； ④如图，连接， ∵，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴④正确． ∴正确的有：①②④． 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的一个外角， 若，，则________． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”， 在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了______步路， 却踩伤了花草（假设2步为1米）． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步， 是步，是步，共步， ∴少走了步， 故答案为：步． 13． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）初三的几位同学拍了一张合影作为留念， 已知拍一张底片需要5元，洗一张相片需要0.5元．拍一张照片，在每位同学得到一张相片的前提下，平均每人分摊的钱不足1.5元，那么参加合影的同学人数为 【答案】至少为6人． 【分析】首先依据题意得出不等关系即平均每人分摊的钱不足1.5元，由此列出不等式，进而解决问题． 【详解】解：设参加合影的同学人数为x人， 则有5+0.5x＜1.5x， 解得x＞5， ∵x取正整数， ∴参加合影的同学人数至少为6人， 故答案为：至少6人． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点重合，点正好在的延长线上，，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到BC=2AC=4，证得得到，得到，继而证得，从而求得结论． 【详解】在中，，，， ∴，， ∵，，， ∴(AAS)， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的， 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成， 两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动． 若，则的度数是__________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，， 点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度 由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是________ 【答案】1或1.5 【分析】由题意知分时和时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴，， ∴． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∴， 解得：． 综上可知x的值是1或． 故答案为：1或1.5 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来． (1) 解不等式：． (2) 解不等式组：． 【答案】(1)， 在数轴上表示为： ； (2)， 在数轴上表示为： ． 【分析】（1）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， ． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18. （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，， ，分别是的角平分线和高线，则的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等，熟知三角形的内角和为，是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线， ∴ ， 又∵是的高线， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)在直线上找一点P，使的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：由于点关于的对称点为，连接交直线于点，， 两点间线段最短，此时最小．所以点即为所求． 【分析】本题考查画轴对称图形及关于轴对称最短路线，掌握轴对称图形性质和两点间线段最短是解题关键． （1）依次作出A、B、C关于直线的对称点，顺次连按即可． （2）作点关于的对称点为，连接交直线于点，根据两点间线段最短，此时的值最小，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 解：由于点关于的对称点为，连接交直线于点， ， 两点间线段最短，此时最小．所以点即为所求． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图,点B．F. C． E在一条直线上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在直线l的异侧,测得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF. (1) 求证：△ABC≌△DEF； (2) 若BE=13m，BF=4m，求FC的长度． 【答案】 （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF， ∴AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF；（AAS） （2）5m． 【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根据AAS即可证明． （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∴BF+FC=EC+FC， ∴BF=EC， ∵BE=13m，BF=4m， ∴FC=BE-BF-EC=13-4-4=5m． 21． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，垂直平分， 交于点F，交于点E，且，连接． (1) 求证：； (2) 若的周长为，，求长． 【答案】(1) 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ． 22． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍， 如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点， 当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他， 若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和． 且，． (1) 与全等吗？请说明理由； (2) 小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ (3) 秋千静止时点离地面的高度是多少？ 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据求解即可得； （3）先利用勾股定理可得，则，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由题意得：，，， 由（1）已证：， ∴，， ∴， 答：小启爸爸是在距离地面的地方接住小启的． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：秋千静止时点离地面的高度是． 23． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种 型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1) 求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2) 若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台， 求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3) 在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 (3)有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； 对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； 对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）解：根据题意得：， 解得：， ∵，且a应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）综合与实践 【建立模型】 （1） 如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形， 连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2） ① 如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且， 连接，，求证：． ② 如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上， 连接，若，，求的面积．    【答案】（1）证明见解析，；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据都是等边三角形，得出，由，证明，易证，即可得出结论；再通过三角形外角的性质结合全等三角形的性质即可求出的度数； （2）①根据角平分线的定义得到，再结合，，证明，得到，再证明，推出，得到，即可得出结论；②先证明，推出，求出，利用勾股定理求出，设，则，在中，求出，再根据的面积为即可解答． 【详解】（1）证明：都是等边三角形， ∴，， ，即， ， ； ∵， ， ∵， ； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵和都是等腰三角形，， ∴， ，即， ， ； ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点C恰好在延长线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $