3.3抛物线（3）中午30min限时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3抛物线（3）中午30min限时练 1．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 2．抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 (　　) A.y2=x B.x2=3y C.x2=y D.y2=3x 3．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有(　　) A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB| C．|PP1|>|AB| D．|PP1|<|AB| 4．(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 (　　) A.+=1 B.|AF|=6 C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点 5．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________． 6.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． 7．已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点(O为坐标原点). (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. 答案 1．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】D 2．抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 (　　) A.y2=x B.x2=3y C.x2=y D.y2=3x 【答案】B 3．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有(　　) A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB| C．|PP1|>|AB| D．|PP1|<|AB| 【答案】B 4．(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 (　　) A.+=1 B.|AF|=6 C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点 【答案】BCD 【解析】根据题意作出示意图,如图所示,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1. 因为直线l的斜率为,即∠xFA=60°,则∠FDA1=30°. 设|BD|=x,则在Rt△DBB1,Rt△DAA1中,|BB1|=,|AA1|=4+,所以|BB1|=|BF|=,|AA1|=|AF|=4+, 所以|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,解得x=4,所以|BF|=2,|AF|=6,所以选项B正确; +=+≠1,所以选项A不正确;因为|BD|=4,满足|BD|=2|BF|,所以选项C正确; 而|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,所以选项D正确.故选BCD. 5．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________． 【答案】∪ 【解析】设M(x1，x)，N(x2，x)，两点关于直线y＝kx＋对称，显然k＝0时不成立， ∴＝－，即x1＋x2＝－. 设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－，y0＝k×＋＝4. 又中点P在抛物线y＝x2内，∴4＞2，即k2＞，∴k＞或k＜－. 6.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． 【答案】(1)x2＝2y；(2)k＝±1. 【解析】(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝， ∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝·＝·＝2， ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 7．已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点(O为坐标原点). (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. 【答案】(1)见解析；(2)k=±. 【解析】(1)证明:由消去x,得ky2+y-k=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得y1y2=-1,y1+y2=-. 因为点A,B在抛物线y2=-x上,所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2. 因为kOA·kOB=·===-1,所以OA⊥OB. (2)解:设直线y=k(x+1)与x轴交于点N,如图所示,显然k≠0. 令y=0,得x=-1,即N(-1,0).因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|·|y1-y2|, 所以S△OAB=×1×=.因为S△OAB=,所以=,解得k=±. 学科网（北京）股份有限公司 $