3.3.2 抛物线的简单几何性质同步练(基础巩固)—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 一、单选题 1.若抛物线C的顶点在原点，焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为( ) A. B. C. D. 2.关于抛物线，下列说法正确的是( ) A.开口向右 B.焦点坐标为 C.准线为 D.对称轴为x轴 3.若抛物线上一点M到准线及对称轴的距离分别为5和3，则p的值为( ) A.1 B.2 C.1或9 D.2或9 4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.如果，那么( ) A.6 B.8 C.9 D.10 5.已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 6.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B两点到直线的距离之和等于7，则( ) A.3 B.4 C.5 D.7 二、多选题 7.已知抛物线与，则下列结论正确的是( ) A.与的对称轴相同 B.与的离心率相同 C.与的准线相同 D.与的焦点到准线的距离相同 8.已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为2，为上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A.的坐标为 B.若，则周长的最小值为11 C.若，则的最小值为 D.在轴上不存在点，使得为钝角 9.已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则的值可取为（ ） A.1 B.2 C.9 D.18 三、填空题 10.抛物线关于直线对称的抛物线的准线方程是__________. 11.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点.若这个三角形的面积为，则__________. 12.已知为坐标原点，，为抛物线上任意一点，且恒成立，则实数的取值范围是______。 四、解答题 13.已知抛物线的准线方程为。 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，求弦长。 答案以及解析 1.答案：A 解析：依题意可设C的标准方程为，因为C的焦点到准线的距离为3，所以，所以C的标准方程为. 2.答案：D 解析：因为抛物线方程为，则，即，所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴，即D正确，ABC错误.故选：D. 3.答案：C 解析：因为点M到对称轴的距离为3，所以不妨设.又点M到准线的距离为5，所以，所以，解得或，均满足题设.故选C. 4.答案：B 解析：由题意知，抛物线的焦点为.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，.又，.故选B. 5.答案：D 解析：解方程组得不妨令，，又，故，，则，故选D. 6.答案：C 解析：抛物线中，.设，， 则A，B两点到直线的距离之和为，故， 所以.故选C. 7.答案：BD 解析：抛物线的对称轴为y轴，准线方程为，焦点到准线的距离为，离心率为1.抛物线的对称轴为x轴，准线方程为，焦点到准线的距离为，离心率为1.故选BD. 8.答案：BCD 解析：抛物线（）的焦点到准线距离为2，故，抛物线方程，焦点，准线。 选项A：错误，应为； 选项B：周长，到准线距离，最小值为到准线距离（）加，总最小值，正确； 选项C：，二次函数在时取最小值12，故最小值，正确； 选项D：假设，为钝角则，代入得，判别式为0，不等式无解，故不存在这样的，正确。 9.答案：BD 解析：抛物线（）的点到对称轴距离为6，故，代入得（）。 点到准线距离为10，故，联立得： 解得或。 10.答案： 解析：抛物线的标准方程为，其准线方程为.直线关于对称的直线的方程为，所求的抛物线的准线方程为. 11.答案： 解析：设正三角形的边长为，则，解得.当时，将代入，解得；当时，将代入得.故. 12.答案： 解析：设（，），，平方得： 对恒成立，二次函数的对称轴。当（即）时，在单调递增，满足条件，故。 13.解： (1) 抛物线的准线，故（），方程为。 (2) 联立与，得，化简为。 设、，由韦达定理得。 弦长，故弦长为。 学科网（北京）股份有限公司 $