专题01 平面向量及其应用（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 平面向量及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01平面向量的有关概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标运算 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三点共线的结论与推论 难点解读02奔驰定理与三角形的“四心” 难点解读03极化恒等式 难点解读04平面向量的最值与范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平面向量及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01向量基底线性表示与拆分变形 重点02向量基本定理及其应用 重点03向量共线与三点共线问题 重点04向量数量积与夹角 重点05向量平行与垂直的判定与应用 重点06向量平面几何综合应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01解决向量概念问题的关键点 技法点拨02向量的坐标运算 技法点拨03平面向量数量积的求解方法 技法点拨04求向量模的常用方法 技法点拨05投影向量及其应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01向量概念模糊，零向量认知疏漏 易错点02忽视两个向量成为基底的条件 易错点03错误使用向量平行的等价条件 易错点04混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【新题对点练】（26-27高二上·天津津南·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．任意两个空间向量一定共面 B．零向量是任意直线的方向向量 C．共线且模相等的两个向量是相等向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 【新题对点练】（25-26高三上·天津河北·阶段检测）如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且满足，，记，，则向量__（用，来表示）；若，，且，则__． 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【新题对点练】（24-25高三上·天津西青·阶段检测）在中，已知，为线段的中点，若，则______． 难点解读01 三点共线的结论与推论 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 【典例1】（26-27高三上·天津河西·阶段检测）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·天津和平·期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示__________；若，则__________． 难点解读02 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 【典例1】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【典例2】已知中，所对的边为若为所在平面内点，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则为三角形的重心； ②若，则点是的垂心； ③若是的外心，则； ④若是的内心，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 难点解读03 极化恒等式 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·河南濮阳·阶段检测）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ．    难点解读04 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 【典例1】（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【典例2】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量及其应用 考情定位：天津高考选择填空高频题型，以中档小题为主，可单独命题，也常与三角函数、解析几何综合考查；向量兼具代数运算与几何属性，是几何问题代数化的重要工具． 核心考法：①向量线性运算：向量加减、数乘运算，共线向量判定；②平面向量数量积：定义、坐标运算，求解向量模长、夹角；③向量平行、垂直的充要条件；④基底法与坐标法处理平面几何中的向量问题；⑤向量与解三角形、解析几何综合求值． 解题要点：根据题干条件选择基底法或坐标法，几何特征明显优先建系简化运算；计算数量积注意区分向量夹角范围；共线与垂直的坐标结论不要混淆；涉及几何图形的向量题，画图辅助找准向量起点与方向，注意向量方向． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【典例2】（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【典例3】（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 重点01 向量基底线性表示与拆分变形 平面内任意向量，均可被唯一拆解为一组不共线基底的线性组合． 解题思路：优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）在中，点满足，若，，用表示向量，=_______． 【典例2】（2026·天津南开·一模）在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 重点02 向量基本定理及其应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）如图中，，若，则_________. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______. 重点03 向量共线与三点共线问题 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）设，是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值为______． 重点04 向量数量积与夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 【典例1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 重点05 向量平行与垂直的判定与应用 解题分两类标准化判定： （1）坐标结构题型，直接套用平行交叉相等、垂直数量积为0的专属公式，快速求值定参； （2）几何图形题型，依托共线向量定理、垂直向量数量积为0的性质推理判定． 【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知平面向量，若与共线，则实数的值为（    ） A．9 B．4 C．－4 D．－9 【典例2】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重点06 向量平面几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 【典例2】（25-26高三上·天津静海·阶段检测）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示______．若，则正切的最大值为_______． 技法点拨01 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 【典例1】“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 技法点拨02 向量的坐标运算 首先根据图形结构建立合适的平面直角坐标系，精准求解各点坐标，换算出对应向量坐标；其次熟练套用向量加减、数乘的坐标运算公式，快速化简向量表达式；依托坐标公式完成模长求解、夹角余弦计算、平行与垂直判定．坐标运算通用性极强，可规避几何法思路卡顿、角度误判、图形分析复杂等问题，是解决向量综合题、动态最值题的保底解题方法． 【典例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·天津·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 平面向量数量积的求解方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知是等边三角形，边长为4，则（    ） A． B．8 C． D． 【典例2】（24-25高三上·天津静海·阶段检测）如图，在平面四边形中，，，，.点在线段上，若为线段中点，则______. 技法点拨04 求向量模的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 【典例1】（25-26高三上·天津津南·期中）已知向量和的夹角为，，，则的值为___________． 【典例2】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知平面向量，且，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．16 技法点拨05 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 【典例1】（26-27高三上·天津·阶段检测）已知平面向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 易错点01 向量概念模糊，零向量认知疏漏 辨析：一是混淆向量与数量，只通过模长相等判定向量相等，忽略向量模长、方向双重属性；二是零向量认知模糊，不清楚零向量模长为0、方向任意，常错误认为其方向固定、不与任意向量平行；三是忽略零向量与任意向量共线、平行的特殊结论，导致位置关系判定失误；四是单位向量概念理解片面，误认为方向固定，忽略单位向量仅限定模长、方向不唯一的特点． 【典例1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点02 忽视两个向量成为基底的条件 辨析：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例2】（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 易错点03 错误使用向量平行的等价条件 辨析：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性． 【典例1】（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 易错点04 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 辨析：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开．尤其使用数量积的运算时不可约公因式． 【典例1】（25-26高三下·吉林·阶段检测）“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知两个不共线向量，满足，，则与的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）如图，在中，，，与交于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知非零向量，满足，，．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（26-27高三上·天津南开·阶段检测）已知，，若，同向，则_____． 10．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 11．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 12．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）中，，，，，则________（用，表示），若，，则________. 13．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是内的一点，且，，三点共线，则___________，若，且向量在向量上的投影向量为，则___________. 14．（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 15．（2026·天津宝坻·三模）在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 16．（2026·天津河西·三模）已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． $专题01 平面向量及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01平面向量的有关概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标运算 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三点共线的结论与推论 难点解读02奔驰定理与三角形的“四心” 难点解读03极化恒等式 难点解读04平面向量的最值与范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平面向量及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01向量基底线性表示与拆分变形 重点02向量基本定理及其应用 重点03向量共线与三点共线问题 重点04向量数量积与夹角 重点05向量平行与垂直的判定与应用 重点06向量平面几何综合应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01解决向量概念问题的关键点 技法点拨02向量的坐标运算 技法点拨03平面向量数量积的求解方法 技法点拨04求向量模的常用方法 技法点拨05投影向量及其应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01向量概念模糊，零向量认知疏漏 易错点02忽视两个向量成为基底的条件 易错点03错误使用向量平行的等价条件 易错点04混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【新题对点练】（26-27高二上·天津津南·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．任意两个空间向量一定共面 B．零向量是任意直线的方向向量 C．共线且模相等的两个向量是相等向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】A 【解析】任意两个空间向量一定共面，A正确； 在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，B错误； 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，C错误； 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误；故选：A. 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 【新题对点练】（25-26高三上·天津河北·阶段检测）如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且满足，，记，，则向量__（用，来表示）；若，，且，则__． 【答案】； 【解析】在平行四边形中，，， ， ， ，，且， ，， ， ，， 故答案为：，． 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【新题对点练】（24-25高三上·天津西青·阶段检测）在中，已知，为线段的中点，若，则______． 【答案】 【解析】根据题意，在中，已知，则， 由于为线段的中点， 则， 又，、不共线，故，， 所以． 难点解读01 三点共线的结论与推论 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 【典例1】（26-27高三上·天津河西·阶段检测）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，结合 可得：，即， 因为三点共线，所以，解得：，故选：C 【典例2】（24-25高三上·天津和平·期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示__________；若，则__________． 【答案】； 【解析】， 如图，三点共线， 设，则， 所以， 三点共线， 设，则， 所以， 所以，解得， 所以， 又，即得. 故答案为：；. 难点解读02 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 【典例1】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【解析】对于①，若为的垂心，则，又， 所以，①正确； 对于②，取的中点，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系如图，      则，设， 则，， 故， 故当时，取得最小值为，②错误； 对于③，因，则， 即， 如图，设为的中点，则，故，则三点共线，      又因是的外心，所以垂直平分，所以，③正确； 对于④，由题意，， 则 ，则， 如图，设是的中点，则，故， 即，故，即动点的轨迹经过的外心，④正确.      故选：D 【典例2】已知中，所对的边为若为所在平面内点，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则为三角形的重心； ②若，则点是的垂心； ③若是的外心，则； ④若是的内心，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①：若，即， 所以， 即，所以为三角形的重心，故①正确； 对于②：由， 得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心，故②正确； 对于③：若为的外心， 则可设的外接圆半径为，，， ，故， 同理，， 又， 即. 所以， 即，故③正确； 其中（奔驰定理）的证明如下： 如图延长与边相交于点则 所以， 又， 又， 所以， 所以， 所以， 对于④：当为三角形的内心，为三角形的角平分线，则，， 如图过作的平行线交的延长线于点，过作的平行线交于点， 则四边形为平行四边形 所以，即，故④正确；故选：D 难点解读03 极化恒等式 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，因点在圆内，且满足， 由平面向量基本定理，可知点为线段上的一点， 因，且是的一条直径， 将等式两边取平方： ，因，则. 由图知，， 故的取值范围是.故选：C 【典例2】（25-26高三下·河南濮阳·阶段检测）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是 __________ ．    【答案】 【解析】由动点关于圆心对称可得，且， 易知, 所以， 因此. 难点解读04 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 【典例1】（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】； 【解析】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 【典例2】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 【答案】； 【解析】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量及其应用 考情定位：天津高考选择填空高频题型，以中档小题为主，可单独命题，也常与三角函数、解析几何综合考查；向量兼具代数运算与几何属性，是几何问题代数化的重要工具． 核心考法：①向量线性运算：向量加减、数乘运算，共线向量判定；②平面向量数量积：定义、坐标运算，求解向量模长、夹角；③向量平行、垂直的充要条件；④基底法与坐标法处理平面几何中的向量问题；⑤向量与解三角形、解析几何综合求值． 解题要点：根据题干条件选择基底法或坐标法，几何特征明显优先建系简化运算；计算数量积注意区分向量夹角范围；共线与垂直的坐标结论不要混淆；涉及几何图形的向量题，画图辅助找准向量起点与方向，注意向量方向． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意，，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 【典例2】（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】； 【解析】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 【典例3】（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 重点01 向量基底线性表示与拆分变形 平面内任意向量，均可被唯一拆解为一组不共线基底的线性组合． 解题思路：优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）在中，点满足，若，，用表示向量，=_______． 【答案】 【解析】，. 【典例2】（2026·天津南开·一模）在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 【答案】； 【解析】由题设，， 所以. , , 重点02 向量基本定理及其应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）如图中，，若，则_________. 【答案】 【解析】∵， ∴， 又， ∴，从而． 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______. 【答案】2 【解析】由已知向量与向量共线，故可设， 所以， 因为，所以， 故， 所以， 又， ，不共线， 由平面向量基本定理可得，，， 所以， 故答案为： 重点03 向量共线与三点共线问题 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为三点共线， 故共线，故，故，故选：C. 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）设，是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值为______． 【答案】 【解析】由题意，因为三点共线，所以共线， 所以存在实数，使得， 所以，，所以． 重点04 向量数量积与夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 【典例1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 【答案】 【解析】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 重点05 向量平行与垂直的判定与应用 解题分两类标准化判定： （1）坐标结构题型，直接套用平行交叉相等、垂直数量积为0的专属公式，快速求值定参； （2）几何图形题型，依托共线向量定理、垂直向量数量积为0的性质推理判定． 【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知平面向量，若与共线，则实数的值为（    ） A．9 B．4 C．－4 D．－9 【答案】C 【解析】由题可知，，解得. 实数的值为.故选：C. 【典例2】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由得，解得或， 所以当时，不一定成立， 而当时，一定成立， 所以是的必要不充分条件. 重点06 向量平面几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 【解析】①， 又，， 则：，且 原式解得 ； ② 设， 当时，有最小值，为 故答案为：①， ② . 【典例2】（25-26高三上·天津静海·阶段检测）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示______．若，则正切的最大值为_______． 【答案】 / 【解析】由题意可得，； ， 因，则，即， 则， 等号成立时，则为锐角， 则， 则正切的最大值为. 技法点拨01 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 【典例1】“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且， 所以“且”是“”的必要不充分条件，故选：B. 【典例2】（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】已知是单位向量，故. 对两边平方得， 代入，解得. 由点积定义得（为两向量夹角）， 得，即同向共线，存在使，充分性成立； 若存在使，由， 得. 当时，，此时，必要性不成立. 因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件. 技法点拨02 向量的坐标运算 首先根据图形结构建立合适的平面直角坐标系，精准求解各点坐标，换算出对应向量坐标；其次熟练套用向量加减、数乘的坐标运算公式，快速化简向量表达式；依托坐标公式完成模长求解、夹角余弦计算、平行与垂直判定．坐标运算通用性极强，可规避几何法思路卡顿、角度误判、图形分析复杂等问题，是解决向量综合题、动态最值题的保底解题方法． 【典例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，， 则.故选：A. 【典例2】（26-27高三上·天津·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，因为向量，，可得，故A错误； 对于B选项，因为，所以与不共线，故B错误； 对于C选项，因为，，所以，故C错误； 对于D选项，，故，故D正确. 技法点拨03 平面向量数量积的求解方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知是等边三角形，边长为4，则（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【解析】因为是等边三角形，边长为4， 所以.故选：A. 【典例2】（24-25高三上·天津静海·阶段检测）如图，在平面四边形中，，，，.点在线段上，若为线段中点，则______. 【答案】6 【解析】如图，以B为原点,所在直线为x轴,BC 所在直线为y轴,过D作轴，过作轴， 因为，， ， 因为，所以,则 因为,故,则, 则, 则, 所以 技法点拨04 求向量模的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 【典例1】（25-26高三上·天津津南·期中）已知向量和的夹角为，，，则的值为___________． 【答案】 【解析】因为，所以. 因为，所以， 所以. 所以，所以. 【典例2】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知平面向量，且，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．16 【答案】C 【解析】由，得，由，得 则，而，所以.故选：C 技法点拨05 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 【典例1】（26-27高三上·天津·阶段检测）已知平面向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为． 所以，解得， 所以在上的投影向量为． 【典例2】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，解得，所以， 设为向量在上的投影向量， 则. 易错点01 向量概念模糊，零向量认知疏漏 辨析：一是混淆向量与数量，只通过模长相等判定向量相等，忽略向量模长、方向双重属性；二是零向量认知模糊，不清楚零向量模长为0、方向任意，常错误认为其方向固定、不与任意向量平行；三是忽略零向量与任意向量共线、平行的特殊结论，导致位置关系判定失误；四是单位向量概念理解片面，误认为方向固定，忽略单位向量仅限定模长、方向不唯一的特点． 【典例1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【解析】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件.故选：A 易错点02 忽视两个向量成为基底的条件 辨析：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式， 故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，D错误. 【典例2】（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 易错点03 错误使用向量平行的等价条件 辨析：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性． 【典例1】（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【解析】已知向量，，则，， 若与平行，则，即. 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得，又因为与平行， 所以，即，解得． 易错点04 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 辨析：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开．尤其使用数量积的运算时不可约公因式． 【典例1】（25-26高三下·吉林·阶段检测）“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则或或， 故“”是“或”的必要不充分条件. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意得，则， ∴，∴，∴.故选：A. 3．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在方向上的投影向量为，所以， 所以，所以，故选：D. 4．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知两个不共线向量，满足，，则与的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 由，得，所以. 设与的夹角为， 则. 由，得， 所以，所以. 即与的夹角的取值范围为. 5．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）如图，在中，，，与交于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，， 而， ， ∴，得，∴， 又， ∴，，，∴. 6．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知非零向量，满足，，．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又，，，代入得：. 由基本不等式，： 当且仅当即时取等号， 故的最小值为. 7．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点为坐标原点，，， 所以直线的截距式方程为，即， 因为点在内部，所以满足不等式组， 由，且，， 当时，由得，，点可以是； 当时，由得，，点是； 当时，此时不存在满足题意的正整数， 综上所述，满足条件得点共有三个：，； 因为， 所以，， ， 所以 ， 当点为时，， 当点为时，， 当点为时，， 所以最小值为． 8．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 二、填空题 9．（26-27高三上·天津南开·阶段检测）已知，，若，同向，则_________． 【答案】1 【解析】因为与同向，则存在实数，使得， 且，， 则，可得， 整理可得，即，解得或， ①当时，，符合同向条件； ②当时，，向量反向，舍去； 故. 10．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】向量在向量上的投影向量为. 11．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 【答案】14 【解析】如图，过点作，垂足分别为， 因为为三角形的外心，所以分别为的中点， 则. 12．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）中，，，，，则________（用，表示），若，，则________. 【答案】 【解析】由题意有： ， 所以，， 由，所以， 即①， 由，所以， 即②， 由①②有：， 所以， 13．（25-26高三上·天津和平·期末）已知是内的一点，且，，三点共线，则___________，若，且向量在向量上的投影向量为，则___________. 【答案】；3 【解析】因为， 整理得，则不在边上， 又，则，所以， 因为三点共线，所以，解得； 向量在向量上的投影向量为， 所以，则， 则. 14．（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【答案】； 【解析】在中，由， 得， 设，则， 得到， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 则，如图，作出符合题意的图形， 设，， 且得到， ， 当且仅当时取等号，所以的取值范围为. 15．（2026·天津宝坻·三模）在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 【答案】1； 【解析】以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 所以， 所以， ，则， 所以当时，最小值为． 16．（2026·天津河西·三模）已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 【答案】； 【解析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由题意，故得，，，。 由，可得, 即,即， 由， 则,因此 因，设， 则，即， 又是的中点，，则 ,, 故. $