专题01 函数的概念与性质（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整理了函数的概念与性质专题，涵盖函数定义、三要素、单调性、奇偶性、周期性与对称性等核心考点，通过知识脑图搭建体系，分基础梳理与高阶思维分层突破。 清单以母题探究提炼解题范式，如双对称推导周期技法总结规律，易错点标注忽略定义域等陷阱，培养学生数学思维与推理意识。知识脑图构建脉络，优题精练强化应用，助力学生自主复习，教师可据此精准指导备考。

专题01 函数的概念与性质 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的相关概念 考点02函数的单调性 考点03函数的奇偶性 考点04函数的周期性与对称性 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01部分奇偶性的应用 难点解读02双对称推导函数的周期 难点解读03类周期函数 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数奇偶性的判断 ▶重点突破・考法深研 重点01已知定义域恒成立求参数 重点02已知值域限定条件求参数 重点03分段函数的综合应用 重点04函数性质综合：恒成立与存在性问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数奇偶性的应用 技法点拨02函数的定义域与值域求解 技法点拨03函数解析式的常用解法 技法点拨04抽象函数不等式问题解法 技法点拨05周期性的快速推导技法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 易错点02判断函数奇偶性时忽略定义域致错 易错点03忽略分段函数的分段点致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的相关概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 【新题对点练】（25-26高三上·天津红桥·期末）已知函数满足且， （    ） A．682 B．684 C．686 D．688 【答案】A 【解析】由函数满足且，得， ， 所以.故选：A 考点02 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 【新题对点练】（24-25高二下·天津滨海新区·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A，在上单调递增，故错误； 对B，在上单调递增，故错误； 对C，在上单调递减，故正确； 对D，在上单调递增，故错误.故选：C. 考点03 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【新题对点练】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象关于原点对称，可得函数是奇函数， 对于A，定义域为， ，故为偶函数，其图象关于轴对称，A错； 对于B，定义域为， 且，故为奇函数，其图象关于原点对称，B正确； 对于C，定义域为， 但其图象为开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以既不是奇函数又不是偶函数，C错； 对于D，定义域为， 但，故为偶函数，其图象关于轴对称，D错.故选：B. 考点04 函数的周期性与对称性 1、函数的周期 （1）周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）函数关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）函数关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 【新题对点练】（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 难点解读01 部分奇偶性的应用 1、函数奇偶性分解 对于一个定义域关于原点对称的函数，构建函数，，这样使得．而对于函数来说，，得到是偶函数；对于函数来说，，得到是奇函数．这样就说明任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和． 2、部分奇偶性 对于一个非奇非偶函数，已知求通常采用以下步骤处理： 第一步：观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数． 第二步：根据函数，的奇偶性得到与的关系式，进而求出的值． ①如果偶函数是无参或相对简单的，以奇函数桥梁构建等式，根据解决问题． ②如果奇函数是无参或相对简单的，以偶函数桥梁构建等式，根据解决问题． 值得注意的是，实际操作中的第一步是通过观察函数的解析式来完成，而非直接构造，，前面的证明只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的． 3、奇函数的性质延伸——“常数”模型 若，其中是奇函数，是不为零的常熟，当奇函数有最大值和最小值时，也有最大值和最小值，且． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以.故选：C. 【典例2】已知，．求______． 【答案】 【解析】令， 因为恒成立，所以的定义域为， 且， 故为奇函数， 从而， 即，因为， 所以． 难点解读02 双对称推导函数的周期 已知函数的图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到的周期的结论． ①两条对称轴： 已知函数的图象关于直线和直线对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为偶函数且函数的图象关于直线对称，函数是周期为的周期函数． ①两个对称中心： 已知函数的图象关于点和点中心对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为奇函数且函数的图象关于点中心对称，函数是周期为的周期函数． ③一条对称轴＋一个对称中心：已知函数的图象关于点中心对称且关于直线对称，则函数是周期的周期函数． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则_______. 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 则，， 所以函数的图象关于直线对称，也关于点对称， 所以，， 所以，则， 所以函数是周期为的周期函数，当时，， 则，，，，，，， ，，， 所以，因为，所以. 故答案为：. 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）设函数是上的奇函数，且关于直线对称，，则______；的值为_______. 【答案】 0 1 【解析】因为是上的奇函数，所以，①， 又因为关于对称，所以②， 联立①②可得，即，用替换得，， 所以，所以是周期为4的周期函数. ，，，所以， 故，. 故答案为：0；1 难点解读03 类周期函数 1、类周期函数的定义：从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中的情形就是周期函数． 2、类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，往往知道其在（或）上的解析式．此时通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要，则画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 难点破解 【典例1】已知函数的定义域为，，当时，.若，，（），则的取值范围为________. 【答案】 【解析】因为的定义域为，，则当时，， 所以当时，，， 当时，，， 当时，，， ，的部分图象如图所示， 又当时，， 所以时，，则当时，， 又，，（），则，， 又，结合的图象可得， 则的取值范围是. 【典例2】定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【解析】当时，， 此时二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 综上所述，时，的最小值为. 素养进阶·答题技法突破 题型01函数奇偶性的判断 考情定位：单选高频基础小题，常融合函数图像识别、指对三角、分段函数命题，同时作为导数、抽象函数、比较大小、解不等式的基础工具，难度中档，侧重定义辨析与快速判定，极少复杂综合推导． 核心考法：①直接利用定义判定整式、分式、指数、三角型函数奇偶性；②借助奇偶特征筛选函数图像；③利用奇函数f(0)=0求解解析式参数；④奇偶搭配单调性转化自变量求值、比较函数值；⑤结合分段函数、抽象函数赋值推导奇偶性。 解题要点：判定第一步先检验定义域是否关于原点对称，不对称直接非奇非偶；偶函数满足f(−x)= f (x)、图像关于y轴对称，奇函数满足f(−x)=−f(x)、图像关于原点对称；奇函数在x=0有定义则f(0)=0，可快速求参；多项式函数可通过次数快速判定，奇偶函数四则运算熟记规律；抽象函数用赋值法推导奇偶，选择小题优先特殊值排除。 【真题溯源】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，， 则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误.故选：B. 重点01 已知定义域恒成立求参数 核心解题要点：核心是保证解析式限制条件对全体实数恒成立，重点针对二次型结构分类讨论：区分二次项系数为0的一次型特例与系数不为0的二次型情况，结合开口方向与判别式锁定参数范围，同时兼顾分式、对数等隐性定义域限制． 高频陷阱：忽略二次项系数为0的特殊情况；只看判别式忽略开口方向；遗漏分母、对数的隐性定义域约束． 【典例1】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）若的定义域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】因为的定义域为， 所以，对恒成立， 当时，，不符合题意； 当，解得， 综上的取值范围是 ， 【典例2】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立. 当时，恒成立； 当时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围为.故选：C. 重点02 已知值域限定条件求参数 核心解题要点：值域由定义域与单调性共同决定，二次函数重点分析对称轴与区间的位置关系，依托区间最值构建参数不等式；分式、根式函数通过换元法、分离常数法转化为基础函数，结合基础函数值域特征限定参数． 高频陷阱：混淆单调区间与定义域区间；忽略区间端点最值差异；换元后遗漏新元取值范围． 【典例1】（23-24高三上·天津和平·开学考试）若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】若，，∴，符合题意； 若，当时，单调递增，当时，， 故没有最小值，不符合题目要求； 若，当时，单调递减，， 当时，， ∴或，解得. 综上所述，a的取值范围为. 【典例2】已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单洞递减，因此． 若，则的最大值为5，符合题意； 若时，的最大值为与中较大的，由，即，解得， 显然时，的最大值为， 时，的最大值不为定值． 综上可得，时，在上的最大值是5．故选:A． 重点03 分段函数的综合应用 核心解题要点：题型覆盖分段函数求值、逆向求自变量、不等式求解、图象辨析、单调性与最值、含参性质分析等高频考法．解题严格遵循“先定区间、再代解析式、最后检验端点”的核心原则，含参题型必须分类讨论，复杂题型依托数形结合画图辅助分析，简化解题思路． 高频陷阱：忽略分段区间边界判定，代错解析式；未校验分段端点取值，导致最值、单调性判定失误；含参问题分类讨论不全面，出现漏解；仅凭单段区间判定整体函数性质，忽略函数整体性． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，若存在，且，使得，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】因为是开口方向向下，对称轴为直线的二次函数， 由，可得， 当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； 当，即时，若存在，使得， 则函数图象需满足下图所示： 则，解得，所以， 综上，实数的取值集合为. 故答案为：. 【典例2】（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 重点04 函数性质综合：恒成立与存在性问题 核心解题要点：先借助奇偶性、周期性化简函数，结合单调性求解区间最值．恒成立属于任意性问题，遵循“恒小取最大、恒大取最小”；存在性属于存在性问题，遵循“能小取最小、能大取最大”．存在性条件更宽松，解题最终需校验定义域与区间端点取值． 高频陷阱：混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑；忽略函数化简后的定义域限制；区间端点等号取舍失误，造成参数范围偏大或偏小． 【典例1】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【解析】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 【典例2】（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【答案】 【解析】不等式整理为.因，两边同除以得. 该式成立要求，即.故，否则在时无解. 故在上恒成立， 即存在实数，使得在上恒成立（▲）， 设，，其中， 因单调递增，故 . 在处取得最小值，在单调递减，在单调递增. ①时， . 由▲可得，解得，即，故. ②时， . 由▲可得，化简得，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围为 技法点拨01函数奇偶性的应用 判断函数奇偶性先验证定义域关于原点对称，偶函数满足f(−x)= f(x)，图像关于y轴对称；奇函数满足f (−x)=− f (x)，图像关于原点对称，奇函数在x=0有定义时f(0)=0，可快速求参数，借助奇偶性转化自变量求值，补齐对称区间分段解析式，奇偶函数加减同性质不变，奇偶相乘除为奇函数． 【典例1】（25-26高三下·天津·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 【典例2】（2026·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由，， 因为函数是偶函数，则， 即，则， 即恒成立，可得. 技法点拨02 函数的定义域与值域求解 定义域求解需遵循“所有限制条件取交集”的原则； 值域求解需根据函数类型择优适配方法，其中一次、简单根式函数适用观察法+单调性法，二次函数适用配方法+区间对称轴分类讨论，一次分式函数适用分离常数法，根式复合函数适用换元法，复杂函数适用数形结合法，全程严格遵循“无定义域不讨论值域”的核心原则． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域为____． 【答案】或． 【解析】 由题知，，即，解得， 故函数的定义域为或． 【典例2】分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 技法点拨03 函数解析式的常用解法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 【典例1】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. 【答案】 【解析】令，则，， 所以，. 所以函数解析式为：. 故答案为：. 【典例2】（24-25高二下·天津武清·阶段检测）（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 【答案】（1）（2） 【解析】在中用替换，得， 于是有， 消去，得． 所求函数的表达式为． （2）奇函数的定义域为． 当时，，又当时，， ， ． 故． 技法点拨04 抽象函数不等式问题解法 ①第一步：确定函数完整定义域； ②第二步：判断奇偶性、单调性化简函数； ③第三步：利用单调性脱去抽象符号“f”，转化为普通自变量不等式； ④第四步：与定义域取交集，校验端点，得出最终解集． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立， 所以有，或， 即，或， 所以当时，函数单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以当时，函数单调递增， 由，或， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由， 由， 由， 所以不等式的解集为，故选：D 【典例2】（24-25高三上·天津南开·阶段检测）定义在上的函数满足，对任意的、，，恒有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨取，则，即， 所以函数是定义在上的增函数， 对任意的，， 由可得， 即， 所以，。解得， 因此，不等式的解集为.故选：B. 技法点拨05 周期性的快速推导技法 常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义域为的奇函数，且， 则，故， 所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得， 所以，，， 因此，.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由满足，得， 所以，所以， 所以是以4为周期的函数， 因为， 所以的图象关于直线对称， 因为当时，， 所以.故选：C. 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为： 1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围； 2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域． 【典例1】（25-26高二下·天津河西·期末）已知函数，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】由题意，函数，则，解得， 即函数的定义域为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 【典例2】（24-25高二下·天津河东·阶段检测）已知函数的定义域为，函数的定义域是________． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 易错点02 判断函数奇偶性时忽略定义域致错 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数．在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数． 【典例1】（24-25高三下·天津宁河·开学考试）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，故A正确； B选项，定义域为，， 所以为偶函数，故B错； C选项，定义域为R，， 所以为偶函数，故C错； D选项，定义域为R，， 所以为奇函数，故D错.故选：A. 【典例2】（25-26高二下·天津河东·期末）下列函数是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，的定义域为关于原点对称， 且，故只是奇函数，故A不合题意； 对于B，的定义域为关于原点对称， 且，故是偶函数，B符合题意； 对于C，的定义域为，关于原点对称， 且，故只是奇函数，故C不合题意； 对于D，的定义域为，关于原点不对称， 故是非奇非偶函数，D不合题意. 易错点03 忽略分段函数的分段点致错 分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数， 则，解得，即实数的取值范围是.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知函数，若在上单调递减，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】函数的图象开口向上，对称轴为， ∵函数在上单调递减， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 2．（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 3．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减. A不满足②，B不满足①， C不满足②,因为在单调递减，在单调递增. 对于D,满足①,当,单调递减,也满足②. 故选：D. 4．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 5．（24-25高三上·江西宜春·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为.故选：A 6．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 7．（24-25高三上·天津·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，当时函数单调递增，所以， 当时，为单调递增函数，所以， 又因为，，使得， 即在的最大值不小于在上的最大值， 即，解得，即.故选：A. 8．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】B 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以.故选：B. 二、填空题 9．（25-26高三上·天津·开学考试）函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】要使原函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 10．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，则__________. 【答案】 【解析】由于， 所以. 11．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，当时，则的值为______. 【答案】或0 【解析】由，则， 当时，，即； 当时，，即或（舍去）. 综上所述，或. 12．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 【答案】 【解析】∵为偶函数，∴， 又是定义域为的奇函数，∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个周期为20的周期函数， ∴， ， ∴． 13．（2025·天津宁河·一模）已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时， 所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，解得. 故答案为： 14．（2026·天津河北·二模）已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 【答案】 ，； 【解析】时，， 当时，， 故单调递减区间为， 当时，单调递减， 故单调递减区间是，； 因为函数在上单调递减，而函数的值域是， 若，显然不符合题意，所以． 当时，函数单调递减，所以，即有， 所以，故函数在时的值域为. 因为在处取得最小值， 令，解得：或，所以函数在处取得最大值， 当时，，解得：． 综上：，即实数的取值范围是. 故答案为：； $专题01 函数的概念与性质 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的相关概念 考点02函数的单调性 考点03函数的奇偶性 考点04函数的周期性与对称性 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01部分奇偶性的应用 难点解读02双对称推导函数的周期 难点解读03类周期函数 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数奇偶性的判断 ▶重点突破・考法深研 重点01已知定义域恒成立求参数 重点02已知值域限定条件求参数 重点03分段函数的综合应用 重点04函数性质综合：恒成立与存在性问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数奇偶性的应用 技法点拨02函数的定义域与值域求解 技法点拨03函数解析式的常用解法 技法点拨04抽象函数不等式问题解法 技法点拨05周期性的快速推导技法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 易错点02判断函数奇偶性时忽略定义域致错 易错点03忽略分段函数的分段点致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的相关概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 【新题对点练】（25-26高三上·天津红桥·期末）已知函数满足且， （    ） A．682 B．684 C．686 D．688 考点02 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 【新题对点练】（24-25高二下·天津滨海新区·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 考点03 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【新题对点练】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 考点04 函数的周期性与对称性 1、函数的周期 （1）周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）函数关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）函数关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 【新题对点练】（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 难点解读01 部分奇偶性的应用 1、函数奇偶性分解 对于一个定义域关于原点对称的函数，构建函数，，这样使得．而对于函数来说，，得到是偶函数；对于函数来说，，得到是奇函数．这样就说明任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和． 2、部分奇偶性 对于一个非奇非偶函数，已知求通常采用以下步骤处理： 第一步：观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数． 第二步：根据函数，的奇偶性得到与的关系式，进而求出的值． ①如果偶函数是无参或相对简单的，以奇函数桥梁构建等式，根据解决问题． ②如果奇函数是无参或相对简单的，以偶函数桥梁构建等式，根据解决问题． 值得注意的是，实际操作中的第一步是通过观察函数的解析式来完成，而非直接构造，，前面的证明只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的． 3、奇函数的性质延伸——“常数”模型 若，其中是奇函数，是不为零的常熟，当奇函数有最大值和最小值时，也有最大值和最小值，且． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8【典例2】已知，．求______． 难点解读02 双对称推导函数的周期 已知函数的图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到的周期的结论． ①两条对称轴： 已知函数的图象关于直线和直线对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为偶函数且函数的图象关于直线对称，函数是周期为的周期函数． ①两个对称中心： 已知函数的图象关于点和点中心对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为奇函数且函数的图象关于点中心对称，函数是周期为的周期函数． ③一条对称轴＋一个对称中心：已知函数的图象关于点中心对称且关于直线对称，则函数是周期的周期函数． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则_______. 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）设函数是上的奇函数，且关于直线对称，，则______；的值为_______. 难点解读03 类周期函数 1、类周期函数的定义：从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中的情形就是周期函数． 2、类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，往往知道其在（或）上的解析式．此时通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要，则画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 【典例1】已知函数的定义域为，，当时，.若，，（），则的取值范围为________. 【典例2】定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值为___________. 素养进阶·答题技法突破 题型01函数奇偶性的判断 考情定位：单选高频基础小题，常融合函数图像识别、指对三角、分段函数命题，同时作为导数、抽象函数、比较大小、解不等式的基础工具，难度中档，侧重定义辨析与快速判定，极少复杂综合推导． 核心考法：①直接利用定义判定整式、分式、指数、三角型函数奇偶性；②借助奇偶特征筛选函数图像；③利用奇函数f(0)=0求解解析式参数；④奇偶搭配单调性转化自变量求值、比较函数值；⑤结合分段函数、抽象函数赋值推导奇偶性。 解题要点：判定第一步先检验定义域是否关于原点对称，不对称直接非奇非偶；偶函数满足f(−x)= f (x)、图像关于y轴对称，奇函数满足f(−x)=−f(x)、图像关于原点对称；奇函数在x=0有定义则f(0)=0，可快速求参；多项式函数可通过次数快速判定，奇偶函数四则运算熟记规律；抽象函数用赋值法推导奇偶，选择小题优先特殊值排除。 【真题溯源】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 重点01 已知定义域恒成立求参数 核心解题要点：核心是保证解析式限制条件对全体实数恒成立，重点针对二次型结构分类讨论：区分二次项系数为0的一次型特例与系数不为0的二次型情况，结合开口方向与判别式锁定参数范围，同时兼顾分式、对数等隐性定义域限制． 高频陷阱：忽略二次项系数为0的特殊情况；只看判别式忽略开口方向；遗漏分母、对数的隐性定义域约束． 【典例1】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）若的定义域为，则的取值范围是___________． 【典例2】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 重点02 已知值域限定条件求参数 核心解题要点：值域由定义域与单调性共同决定，二次函数重点分析对称轴与区间的位置关系，依托区间最值构建参数不等式；分式、根式函数通过换元法、分离常数法转化为基础函数，结合基础函数值域特征限定参数． 高频陷阱：混淆单调区间与定义域区间；忽略区间端点最值差异；换元后遗漏新元取值范围． 【典例1】（23-24高三上·天津和平·开学考试）若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为______． 【典例2】已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点03 分段函数的综合应用 核心解题要点：题型覆盖分段函数求值、逆向求自变量、不等式求解、图象辨析、单调性与最值、含参性质分析等高频考法．解题严格遵循“先定区间、再代解析式、最后检验端点”的核心原则，含参题型必须分类讨论，复杂题型依托数形结合画图辅助分析，简化解题思路． 高频陷阱：忽略分段区间边界判定，代错解析式；未校验分段端点取值，导致最值、单调性判定失误；含参问题分类讨论不全面，出现漏解；仅凭单段区间判定整体函数性质，忽略函数整体性． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，若存在，且，使得，则实数的取值集合为__________. 【典例2】（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点04 函数性质综合：恒成立与存在性问题 核心解题要点：先借助奇偶性、周期性化简函数，结合单调性求解区间最值．恒成立属于任意性问题，遵循“恒小取最大、恒大取最小”；存在性属于存在性问题，遵循“能小取最小、能大取最大”．存在性条件更宽松，解题最终需校验定义域与区间端点取值． 高频陷阱：混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑；忽略函数化简后的定义域限制；区间端点等号取舍失误，造成参数范围偏大或偏小． 【典例1】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【典例2】（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 技法点拨01函数奇偶性的应用 判断函数奇偶性先验证定义域关于原点对称，偶函数满足f(−x)= f(x)，图像关于y轴对称；奇函数满足f (−x)=− f (x)，图像关于原点对称，奇函数在x=0有定义时f(0)=0，可快速求参数，借助奇偶性转化自变量求值，补齐对称区间分段解析式，奇偶函数加减同性质不变，奇偶相乘除为奇函数． 【典例1】（25-26高三下·天津·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【典例2】（2026·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 技法点拨02 函数的定义域与值域求解 定义域求解需遵循“所有限制条件取交集”的原则； 值域求解需根据函数类型择优适配方法，其中一次、简单根式函数适用观察法+单调性法，二次函数适用配方法+区间对称轴分类讨论，一次分式函数适用分离常数法，根式复合函数适用换元法，复杂函数适用数形结合法，全程严格遵循“无定义域不讨论值域”的核心原则． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域为____． 【典例2】分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 技法点拨03 函数解析式的常用解法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 【典例1】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. 【典例2】（24-25高二下·天津武清·阶段检测）（1）已知，求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 技法点拨04 抽象函数不等式问题解法 ①第一步：确定函数完整定义域； ②第二步：判断奇偶性、单调性化简函数； ③第三步：利用单调性脱去抽象符号“f”，转化为普通自变量不等式； ④第四步：与定义域取交集，校验端点，得出最终解集． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·天津南开·阶段检测）定义在上的函数满足，对任意的、，，恒有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 技法点拨05 周期性的快速推导技法 常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为： 1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围； 2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域． 【典例1】（25-26高二下·天津河西·期末）已知函数，则函数的定义域为______. 【典例2】（24-25高二下·天津河东·阶段检测）已知函数的定义域为，函数的定义域是________． 易错点02 判断函数奇偶性时忽略定义域致错 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数．在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数． 【典例1】（24-25高三下·天津宁河·开学考试）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·天津河东·期末）下列函数是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 易错点03 忽略分段函数的分段点致错 分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知函数，若在上单调递减，则实数的取值范围是_______. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为(    ) A． B． C． D． 4．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·江西宜春·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·天津·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 二、填空题 9．（25-26高三上·天津·开学考试）函数的定义域是_______． 10．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，则__________. 11．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，当时，则的值为______. 12．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 13．（2025·天津宁河·一模）已知函数，若，则实数a的取值范围是______. 14．（2026·天津河北·二模）已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. $