专题01 集合与常用逻辑用语（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了集合与常用逻辑用语专题，涵盖集合与元素、集合间关系、集合运算、充分必要条件、全称与存在量词五大基础考点，构建了从概念到运算再到逻辑应用的知识体系。 清单采用基础梳理与高阶思维分层突破，如将容斥原理、集合新定义列为难点解读，用表格对比集合关系符号与图形语言培养数学思维。特设技法点拨（如条件关系集合转化秒杀技法）和易错警示（忽视元素互异性等），帮助学生精准突破，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

专题01 集合与常用逻辑用语 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 容斥原理的应用 难点解读02 集合新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01集合基本运算综合 题型02充分、必要条件的判定 ▶重点突破・考法深研 重点01利用元素与集合的关系求参数 重点02利用集合间的关系求参数 重点03利用集合运算结果求参数 重点04利用充分必要条件求参数 重点05利用全称/存在量词命题真假求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01子集的个数问题 技法点拨02集合间关系的判断 技法点拨03Venn图在集合运算中的应用 技法点拨04条件关系集合转化秒杀技法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对集合表示方法的理解偏差致错 易错点02忽视（漏）空集致错 易错点03忽视集合元素的互异性致错 易错点04充分性与必要性位置颠倒理解错误 易错点05对含有一个量词命题的否定理解错误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5、常见集合的含义 集合 代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点 【新题对点练】（25-26高三下·天津·开学考试）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以.故选：A. 考点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【新题对点练】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知， 所以与的关系为 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【新题对点练】（2026·天津·二模）已知集合，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又， 则. 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作． 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 【新题对点练】（2026·天津武清·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若则显然成立，满足充分性； 由可得，推不出，不满足必要性，所以A正确. 考点05全程量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：． （3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【新题对点练】（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 【答案】B 【解析】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形. 难点解读01 容斥原理的应用 容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复． 如果被计数的事物有A，B两类，那么A类和B类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数，即card（A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)． 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)． 1．（25-26高三上·吉林·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解析】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人.故选：C 2．（24-25高三上·江西宜春·阶段检测）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，． 不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得，解得， 故接受调查的小学生共有人．故选：A. 难点解读02 集合新定义问题 （1）看透“新”定义：分析新定义中元素的特征，从定义中提取关键要素，明确问题本质，并将其应用到解题过程中． （2）明确“新”性质：分析题目中给出的性质，如集合中元素的特性、集合之间的关系等，并将之与集合原有性质关联，根据题目要求进行推理或计算． （3）遵循“新”法则：把握新的运算法则，将其转化到集合、不等式等相关运算中．解题提示：对于比较象的题目，可以利用特例和赋值方法解释或理解新定义，有助于排除一些选项． 1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为，， 所以，， 所以， 则.故选：A 2．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或，所以； 若，即， 令，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 集合基本运算综合 考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查． 核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定． 解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得,又因， 则. 【典例2】（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 集合， 故故选：D. 题型02 充分、必要条件的判定 考情定位：固定中档考点，命题本土化特征明显，极少结合复杂压轴函数，常依托不等式、平面几何、基础代数、三角函数基础命题，设问直白，侧重逻辑推导与集合转化，每年稳定考查． 核心考法：①基础代数式、不等式型条件判定（天津高频基础考法）；②平面位置关系、几何图形性质条件判定；③结合简易函数性质双向推导条件关系；④依托条件关系简单求参，不涉及复杂最值分类讨论． 解题要点：优先化简前后命题不等式，转化为数集区间；严格区分推导单向、双向逻辑；几何类条件判定紧扣图形定义性质，避免主观臆断推导关系． 【典例1】（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 【典例2】（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 重点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 【典例1】（2026高三下·天津·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则，解得.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又且，则，故选：D 重点02 利用集合间的关系求参数 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【典例1】（25-26高三上·天津红桥·开学考试）集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或或1 【答案】C 【解析】由集合元素的互异性可知，又因为， 所以a的取值只能是A中的元素，所以或．故选：C． 【典例2】（25-26高三上·天津河东·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】或， 又，，所以. 故答案为：. 重点03 利用集合运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围． 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验． 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集． 【典例1】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为.故选：. 【典例2】（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】{或} 【解析】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一，因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 重点04 利用充分必要条件求参数 1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； 2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 【典例1】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】则，即， 又其充分不必要条件是“”，故，解得， 经检验等号满足题意.故选：D 【典例2】（25-26高三·天津·一轮复习）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且， 结合，故.故选：C 重点05 利用全称/存在量词命题真假求参数 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 【典例1】（24-25高二下·天津河西·阶段检测）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有，解得.故选：C. 【典例2】（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，恒成立， 所以． 又因为，所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 技法点拨01 子集的个数问题 求子集个数的两种方法： 1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况； 2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）设集合，则集合的真子集个数为___． 【答案】63 【解析】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知集合，则所有非空子集中元素和的总和为_________________.（用数字作答） 【答案】 【解析】集合的子集共有个，那么集合非空子集的个数有个， 对于集合中任意一个元素，它在子集中出现的情况分为两种：包含该元素和不包含该元素， 除了该元素本身，其余9个元素构成的子集个数为个， 集合中每个元素在所有非空子集中出现的次数都是次， 集合所有元素的和, 所有非空子集中元素和的总和为. 故答案为：. 技法点拨02 集合间关系的判断 判断集合间关系的三种方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【典例1】（24-25高三上·天津东丽·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，即可判断. 【解析】因为， ，所以⫋.故选：B. 【典例2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解不等式可得或， 解得或，即，又已知. 对选项A：，故A错误. 对选项B： 取，但，故，故B错误. 对选项C： 对任意，都满足，符合中元素的取值要求，即，故，故C正确. 对选项D：，取，且，故，故D错误. 技法点拨03 Venn图在集合运算中的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题． 【典例1】（25-26高三·天津·二轮复习）已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以，故选：B. 【典例2】（2026·福建厦门·二模）设M，N为全集的两个非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且 M，N为全集的两个非空子集，可得韦恩图，如图： 则. 技法点拨04 条件关系集合转化秒杀技法 将命题转化为对应解集集合，依托集合包含关系快速判条件：小范围⇒大范围，为充分不必要条件；大范围⇒小范围，为必要不充分条件；集合相等，则互为充要条件． 【典例1】（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 【典例2】（2026·天津南开·一模）已知，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，为偶函数，故充分性成立， 为偶函数时，,故必要性不成立， 故“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 易错点01 对集合表示方法的理解偏差致错 辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义． 【典例1】（25-26高三上·天津静海·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 则.故选：B 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 易错点02 忽视（漏）空集致错 辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【典例1】（24-25高三上·河南南阳·阶段检测）集合，若．则实数a的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：.故选：A. 【典例2】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【解析】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 易错点03 忽视集合元素的互异性致错 辨析：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 【答案】D 【解析】由，，， 所以，即，此时，，满足题设.故选：D 【典例2】（25-26高三上·天津·开学考试）已知集合，，则（    ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【解析】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故.故选：D. 易错点04 充分性与必要性位置颠倒理解错误 辨析：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·开学考试）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题“，”为真命题， 则，恒成立. 令， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以在当时，取得最大值6，可得， 所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件， 即是“，”为真命题的一个充分不必要条件.故选:D. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，若，则，则充分性成立；若，则，则必要性成立，故A错误； 对B，若，举例，此时，则充分性不成立，故B错误； 对C，若，举例，此时，则充分性不成立，故C错误； 对D，若，则，则，则充分性成立；若，当时，此时，故必要性不成立，故D正确；故选：D. 易错点05 对含有一个量词命题的否定理解错误 辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由题可得命题“”的否定是“”.故选：D 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是，故选：D 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知集合，若，则集合B可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确.故选：D 2．（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知集合， 由集合的包含关系可知，，A选项正确； 由元素和集合的关系可知，，B选项错误； 由集合的包含关系可知，，C选项错误； 由集合的包含关系可知，，D选项错误；故选：A 3．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，则， 因此. 4．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，所以. 所以，.故选：A 5．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全集， 可得，又图中阴影部分表示，故选：C． 6．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，此时、无意义，故充分性不成立； 若，由函数在定义域内单调递增，故，即必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 7．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 8．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以⫋，所以有，解得，故选：A. 二、填空题 9．（24-25高三上·天津河东·阶段检测）已知集合，则______. 【答案】 【解析】由，得，而， 所以. 10．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知函数，若集合中恰有个元素，且各元素之和为，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由已知当时，， 又由已知可得方程恰有个解，则， 即当时，方程至多只有一解， 当时，方程可转化为，即，至多有两个解， 综上所述方程在时有一解为， 方程在时有两个解，，且满足，， 又，解得， 则，解得， 故答案为：. 11．（25-26高三上·天津河西·阶段检测）若命题“，”为假命题，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”真命题， 所以，解得， 所以的取值范围是. 三、解答题 12．（24-25高二下·天津武清·阶段检测）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)． 【解析】（1）若，，， 所以，． （2）， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 13．（25-26高三上·山东济南·期中）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； (3)证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 【解析】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）略 （3）略 $专题01 集合与常用逻辑用语 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 容斥原理的应用 难点解读02 集合新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01集合基本运算综合 题型02充分、必要条件的判定 ▶重点突破・考法深研 重点01利用元素与集合的关系求参数 重点02利用集合间的关系求参数 重点03利用集合运算结果求参数 重点04利用充分必要条件求参数 重点05利用全称/存在量词命题真假求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01子集的个数问题 技法点拨02集合间关系的判断 技法点拨03Venn图在集合运算中的应用 技法点拨04条件关系集合转化秒杀技法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对集合表示方法的理解偏差致错 易错点02忽视（漏）空集致错 易错点03忽视集合元素的互异性致错 易错点04充分性与必要性位置颠倒理解错误 易错点05对含有一个量词命题的否定理解错误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5、常见集合的含义 集合 代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点 【新题对点练】（25-26高三下·天津·开学考试）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 考点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【新题对点练】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【新题对点练】（2026·天津·二模）已知集合，那么（    ） A． B． C． D． 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作． 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 【新题对点练】（2026·天津武清·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点05全程量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：． （3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【新题对点练】（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 难点解读01 容斥原理的应用 容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复． 如果被计数的事物有A，B两类，那么A类和B类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数，即card（A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)． 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)． 1．（25-26高三上·吉林·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 2．（24-25高三上·江西宜春·阶段检测）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 难点解读02 集合新定义问题 （1）看透“新”定义：分析新定义中元素的特征，从定义中提取关键要素，明确问题本质，并将其应用到解题过程中． （2）明确“新”性质：分析题目中给出的性质，如集合中元素的特性、集合之间的关系等，并将之与集合原有性质关联，根据题目要求进行推理或计算． （3）遵循“新”法则：把握新的运算法则，将其转化到集合、不等式等相关运算中．解题提示：对于比较象的题目，可以利用特例和赋值方法解释或理解新定义，有助于排除一些选项． 1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 素养进阶·答题技法突破 题型01 集合基本运算综合 考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查． 核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定． 解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型02 充分、必要条件的判定 考情定位：固定中档考点，命题本土化特征明显，极少结合复杂压轴函数，常依托不等式、平面几何、基础代数、三角函数基础命题，设问直白，侧重逻辑推导与集合转化，每年稳定考查． 核心考法：①基础代数式、不等式型条件判定（天津高频基础考法）；②平面位置关系、几何图形性质条件判定；③结合简易函数性质双向推导条件关系；④依托条件关系简单求参，不涉及复杂最值分类讨论． 解题要点：优先化简前后命题不等式，转化为数集区间；严格区分推导单向、双向逻辑；几何类条件判定紧扣图形定义性质，避免主观臆断推导关系． 【典例1】（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 【典例1】（2026高三下·天津·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重点02 利用集合间的关系求参数 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【典例1】（25-26高三上·天津红桥·开学考试）集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或或1 【典例2】（25-26高三上·天津河东·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是______________． 重点03 利用集合运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围． 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验． 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集． 【典例1】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 重点04 利用充分必要条件求参数 1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； 2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 【典例1】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．【典例2】（25-26高三·天津·一轮复习）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点05 利用全称/存在量词命题真假求参数 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 【典例1】（24-25高二下·天津河西·阶段检测）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 技法点拨01 子集的个数问题 求子集个数的两种方法： 1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况； 2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）设集合，则集合的真子集个数为___． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知集合，则所有非空子集中元素和的总和为_________________.（用数字作答） 技法点拨02 集合间关系的判断 判断集合间关系的三种方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【典例1】（24-25高三上·天津东丽·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【典例2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 Venn图在集合运算中的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题． 【典例1】（25-26高三·天津·二轮复习）已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】（2026·福建厦门·二模）设M，N为全集的两个非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 条件关系集合转化秒杀技法 将命题转化为对应解集集合，依托集合包含关系快速判条件：小范围⇒大范围，为充分不必要条件；大范围⇒小范围，为必要不充分条件；集合相等，则互为充要条件． 【典例1】（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2026·天津南开·一模）已知，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点01 对集合表示方法的理解偏差致错 辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义． 【典例1】（25-26高三上·天津静海·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 易错点02 忽视（漏）空集致错 辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【典例1】（24-25高三上·河南南阳·阶段检测）集合，若．则实数a的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 易错点03 忽视集合元素的互异性致错 辨析：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 【典例2】（25-26高三上·天津·开学考试）已知集合，，则（    ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 易错点04 充分性与必要性位置颠倒理解错误 辨析：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·开学考试）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 易错点05 对含有一个量词命题的否定理解错误 辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知集合，若，则集合B可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，，则=（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高三上·天津河东·阶段检测）已知集合，则______. 10．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知函数，若集合中恰有个元素，且各元素之和为，则实数的取值范围是_____． 11．（25-26高三上·天津河西·阶段检测）若命题“，”为假命题，则的取值范围是______. 三、解答题 12．（24-25高二下·天津武清·阶段检测）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 13．（25-26高三上·山东济南·期中）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． $