2026-2027学年冀教版九年级数学上册期中检测卷

2026-2027学年九年级数学上学期期中检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版八年级上册第23-28章。 一、单选题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 2．如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 4．某比赛中记分员根据七位评委所打的分数对平均数、中位数、众数、方差做了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，则这些统计量一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 6．在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D． 8．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 9．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（     ） A． B． C．2 D． 10．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点是正方形对角线的交点，且点，恰好在反比例函数图象的同一分支上，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题(本题共4小题，每小题3分，共12分) 13．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 14．如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 15．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，若关于x的方程（是常数）是“伴根方程”，的值为______． 16．在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为（分别在边上）． (1)若四边形为正方形，则___________． (2)当的长为___________时，与相似． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．计算： (1)解方程 (2)解方程 (3) (4) 18．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 67，69，70，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，97，97，97，98，99，100． 抽取的对A、B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________． (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次测验中，有300人对A款聊天机器人进行评分，240人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 19．如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点． (1)求的值与反比例函数关系式； (2)若，请结合图象直接写出的取值范围． 20．为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件．直播期间，按每件70元销售，第一天卖出了80件．直播结束后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 21．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时绘出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角”模型，如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是________________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则__________． 22．为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 23．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，，请用a、b表示的长______． 24．如图，在中，，，为中线，于点E． (1)求证：； (2)求的值； (3)将绕点A逆时针旋转得到，连接，的面积为10， ①求证：； ②求的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B A D C A B A 题号 11 12 答案 C D 1．B 【详解】解：将原数据从小到大排序得，33，34，40，44，44，46，48，53， 方法一：数据总个数为8， 第一四分位数为前半部分的数的中位数， 这组数据的第一四分位数是； 方法二：数据总个数为8， ∴， 这组数据的第一四分位数是． 2．B 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ， 由网格可知 ，， 在 中，． 3．A 【分析】根据黄金分割的意义，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ． 4．B 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数，由此可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：因为去掉一个最高分和一个最低分不会影响一组数据位于中间位置或中间两数的平均数，所以对中位数没有影响，即中位数一定不发生变化． 5．A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 6．D 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合自变量的取值范围，利用函数的增减性与象限特征比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵， ∴点，在第二象限的图象上， ∴． ∵， ∴点在第四象限的图象上， ∴， ∴． 7．C 【分析】方程有两个实数根，说明这是一元二次方程，首先二次项系数不能为0，再利用一元二次方程根的判别式列不等式，联立求出的取值范围． 【详解】解：方程有两个实数根， ，． ． ， ， 解得． ∴得且． 8．A 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 9．B 【分析】设，由折叠的性质可得，根据相似的性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质可得， ∵这两种规格的矩形纸片相似， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴“白银”比为． 10．A 【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 光线平行且直径与光线垂直， 的长度等于平行光线与之间的距离，即， 在中，，，， ， ． 11．C 【分析】过点作轴，证明，得到，，分别表示出点和点的坐标，再根据反比例函数上的点横纵坐标的乘积相等列方程． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 四边形为正方形， ，， ， 轴， ， ， 在和中， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ， 点的坐标为， 点是正方形对角线的交点， 点的坐标为， 点，恰好在反比例函数图象的同一分支上， ， 解得或， ， ． 12．D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 13． 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 14． 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 15． 或 【分析】先因式分解求出方程的两个根，再根据“伴根方程”的定义列出绝对值方程，求解得到的值； 【详解】解：对因式分解得， ∴，， ∵该方程是“伴根方程”，满足， ∴， 整理得， ∴或， 解得或． 16．(1) (2)或 【分析】（1）先根据正方形性质得到四条边相等，对应边平行，根据两组平行线得到两组同位角相等，从而证明，根据三角形相似得到对应边成比例，设未知数列比例式，求解边长即可． （2）由翻折性质可知，，要使与相似，则必须等于或，所以需要分两种情况讨论，分析出所有可能的值． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∴． 设，则，， ∵， ∴，即， 解得． ∴． （2）在中，，，， ∴， ∴． 分两种情况讨论： 情况一：如图，，即 ∵为公共角， ∴． 由折叠性质可知，因此，即为边上的高． 在中，，即， 解得； 情况二：如图，，即， 由相似性质得， 由折叠性质可知，所以， 又，因此， ∴． 同理，由相似性质得， 由折叠性质可知，所以， 又，因此， ∴， ∴ ∴D为中点， ∴； 综上，的长为或5． 17．(1)， (2)， (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 18．(1)，， (2)A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但B款评分数据的中位数为87.5比A款的中位数88.5低， 所以A款聊天机器人更受用户喜爱． （或B款聊天机器人更受用户喜爱，B款评分数据的众数为97比A款的众数96高）； (3)估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有54人 【分析】（1）首先求出抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”所占百分比，然后用1减去其他等级的百分比即可求出a的值；首先计算抽取的对A款聊天机器人的评分数据中每个等级的人数，然后根据中位数的定义求出b的值；根据众数的定义求出c的值； （2）根据平均数，中位数和众数判断即可； （3）利用样本估计总体的方法列式求解． 【详解】（1）解：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”所占百分比为 ∴ ∴； 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数为（人） “比较满意”的人数为（人），“满意”的人数为6人，“非常满意”的人数为（人）， ∵共有20个数据， ∴中位数为第10个数据88和第11个数据89的平均数 ∴中位数； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据中97出现的次数最多 ∴众数； （2）略 （3）解：（人） 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有54人． 19．(1)， (2)或 【分析】（1）把点代入一次函数求得的值，确定点的坐标，再将点的坐标代入即可求得反比例函数关系式； （2）通过联立方程组确定点的坐标，然后根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数关系式为； （2）解：∵反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点， 联立， 解得：或， ∴， 由图象知：当或，反比例函数的图象在一次函数的上方， ∴当时，的取值范围为或． 20．当售价定为63元/件或65元/件时，日销售利润为1950元 【分析】以“日销售利润每件利润日销售量”为等量关系，设降价金额为未知数列方程求解． 【详解】解：设每件售价降低x元，则每件利润为元，日销售量为件， 根据题意，可得， 整理可得 解得 ， 当时，售价为（元/件）， 当时，售价为（元/件）， ∵均为非负数，且对应售价高于成本价，符合实际销售要求， ∴符合条件的售价为63元/件或65元/件， 答：当售价定为63元/件或65元/件时，日销售利润为1950元． 21．(1) (2)10 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得、，进而证明，然后利用全等三角形的性质即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，利用相似三角形的性质列比例式可求得，则，然后运用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过点N作于点M，证明得出，证明，设，则，代入比例式可得，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． （3）解：如图：过点N作于点M， ∵，， ∴， ∴，即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴， ∴． 22．(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 23．(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，，得出，由等弧所对的圆周角相等得出，等量代换可得出，由等角对等边得出． （2）由等弧得出，由勾股定理求出，由面积法即可求出． （3）由相似三角形的判定和性质得出，进而可求出． 【详解】（1）略； （2）解：∵B为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由（1）可知：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 24．(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)2 (3)①证明：由旋转可得，， 由（2）知， ∴，即， ∵，， ∴， 即，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴；   ②的面积为20 【分析】（1）利用两个角相等证明，即可得到； （2）证明，以及，即可求得，再结合直角三角形的性质即可得到答案； （3）①由，结合直角三角形的性质得到，证得，即可推出； ②利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∵为中线， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，①， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即②， 由①②可得，即， 在中，， ∴，即； （3）①证明：略 ②作交延长线于点， ∵， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 由①知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴① ∵，， ∴，即， ∵，即， ∴②， 由得， ∵的面积为10， ∴的面积为20． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $