九年级数学上学期期中模拟卷（新教材人教版第25～28章，高效培优·提升卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第25章~第28章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 2．已知方程有一个根是3，则k的值是（   ） A．3 B．5 C． D．9 3．抛物线与x轴交点个数为（        ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无法确定 4．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 5．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程(m－2)x2－4mx＋2m－6＝0有两个相等的实数根，则m等于(　　) A．－6 B．1 C．－6或1 D．6 7．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（    ） A．3 B．1 C． D． 9．如图，点B为反比例函数（）上的一点，点为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝（　　） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知实数x满足，则代数式的值为________． 12．某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 13．如图，直线与双曲线交于两点．则当时，的取值范围是___________． 14．已知二次函数的表达式为，当时，y的取值范围为______． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点M是直角边AC上一动点，连接BM，并将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接CN．则在点M运动过程中，线段CN长度的最大值是_____，最小值是_____． 16．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 18．（8分）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 20．（8分）如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 21．（8分）阅读下面材料 小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题． 例如：如图所示，在正方形中，点、分别为、边上的点，． 求证：； 如图，小明延长至，使得，则形成一组旋转三角形 （1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程． 参考小明同学的解题思路解答下面两个问题： （2）如图，在正方形中，点为边上的点，交于，探索、、之间的数量关系，并证明． （3）如图，在正方形中，点为边上的点，交于点，取中点，过点作的垂线，分别交、、于点、、，且，求的面积． 22．（10分）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． (1)点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； (2)求抛物线的解析式； (3)“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 23．（10分）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 24．（12分）如图，抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点，顶点为．将抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)判断四边形的形状，并证明： (3)连接，将抛物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，若抛物线与线段只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级上册第25章~第28章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式是关键． 将方程化为一元二次方程的一般形式 ，然后识别一次项系数 ． 【详解】解：∵ ， 展开得， 移项得 ， ∴ 一次项系数为， 故选：B． 2．已知方程有一个根是3，则k的值是（   ） A．3 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程有一个根是3， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 3．抛物线与x轴交点个数为（        ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的判别式．根据二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程根的判别式即可得答案． 【详解】解：由题意得， ∴抛物线与x轴的交点个数为2个． 故选：B． 4．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 5．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形但，不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形但，不是中心对称图形，故不符合题意. 6．若一元二次方程(m－2)x2－4mx＋2m－6＝0有两个相等的实数根，则m等于(　　) A．－6 B．1 C．－6或1 D．6 【答案】C 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和定义得到m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，解方程即可得到m的值． 【详解】∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，∴m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，m2+5m﹣6=0， 解得：m1=﹣6，m2=1，∴m的值为﹣6或1． 故选C． 7．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 8．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值． 【详解】解：设、是的两根， ∴根据根与系数的关系，可得：， ∵方程的两根互为倒数， ∴可得， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 当时，， ∴符合题意， 当时，， ∴不符合题意． ∴， 故选：B． 9．如图，点B为反比例函数（）上的一点，点为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可证得，得出再得出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最后根据，建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点， ∴点， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象及性质，等腰直角三角形判定及性质等．根据二次函数知识点逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，对称轴是直线， ∴函数在时取最大值，即当时，，即， ∴①正确， ∵且， ∴，即：， ∴②正确， 设，对称轴是直线， ∴，，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴将代入中，得， ∴， ∴③正确， ∵，，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点在抛物线的对称轴上，且， ∴当点在上方时，过点作轴，连接，如下图所示： ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，即：， ∴， ∴④不正确， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 12．某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键． 根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为． 故答案为：． 13．如图，直线与双曲线交于两点．则当时，的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，利用数形结合的思想方法是解题的关键．观察图象，找到一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x的取值范围即可解答． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线的图象在双曲线的图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 故答案为：或． 14．已知二次函数的表达式为，当时，y的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了的图象与性质，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值为顶点处的函数值，最大值为端点处的函数值． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数的图象的开口向上， 对称轴为， 在内， 当时，，为最小值． 当时，； 当时，． ∴在范围内，有最大值． ∴的取值范围为． 故答案为：． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点M是直角边AC上一动点，连接BM，并将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接CN．则在点M运动过程中，线段CN长度的最大值是_____，最小值是_____． 【答案】 2， 1 【分析】将Rt△ABC绕点B旋转60°，得到Rt△FBE，则△ABC≌△FBE，B，C，F三点在同一条直线上，点N的轨迹在线段EF上，连接CE，则当点N与点E重合时CN的长度最大，当CN⊥EF于点N时，CN的长度最小，可利用解直角三角形等求出其最大值与最小值． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4， ∴BC＝AB＝2， 将Rt△ABC绕点B旋转60°，得到Rt△FBE， 则△ABC≌△FBE，B，C，F三点在同一条直线上，点N的轨迹在线段EF上， ∴∠E＝∠ACB＝90°，∠F＝∠BAC＝30°，BF＝AB＝4， ∴CF＝BF﹣BC＝2， ∴点C为BF的中点， 连接CE，则当点N与点E重合时CN的长度最大， 其最大值为：CE＝BF＝2； 如图2，当CN⊥EF于点N时，CN的长度最小， ∵CE＝BF＝CF， ∴点N为EF的中点， ∴CN＝BE＝BC＝1， 故答案为2，1． 16．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，涉及交点问题，因式分解法解一元二次方程，根的判别式等知识点． 两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据交点个数确定方程有两个不相等的实数根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)，整理得：，即：，一一代入求解即可． 【详解】解：联立，并整理得： ， ， 故其中一个根：， ∴a为正整数，方程有两个不同的实数根， ∴， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)， 即(k为正整数)，整理得：， 即：， 而， 当，时，解得： (舍去)； 当，时，解得：； 当，时， (舍去)； 故； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． 4分 （2）解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 8分 18．（8分）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； 3分 （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 8分 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． 4分 （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 8分 20．（8分）如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的表达式，进而求出，将代入抛物线解方程即可得到答案； （2）先求出抛物线与直线交于点和点的坐标，找出抛物线在直线下方部分，得出对应的范围即可． 【详解】（1）解：直线与 轴交于点， ，则直线， 当时，，解得，即， 抛物线与直线交于点， ，解得； 4分 （2）解：关于的不等式的解集就是抛物线在直线下方部分对应的的取值范围， 联立，消去得， ，解得或， 或， 、， 当或时，抛物线在直线的下方， 关于的不等式的解集是或． 8分 21．（8分）阅读下面材料 小明同学在学习的过程中发现，借助旋转变换可以解决很多数学问题． 例如：如图所示，在正方形中，点、分别为、边上的点，． 求证：； 如图，小明延长至，使得，则形成一组旋转三角形 （1）请你沿着小明同学的思路继续完成他的证明过程． 参考小明同学的解题思路解答下面两个问题： （2）如图，在正方形中，点为边上的点，交于，探索、、之间的数量关系，并证明． （3）如图，在正方形中，点为边上的点，交于点，取中点，过点作的垂线，分别交、、于点、、，且，求的面积． 【分析】（1）延长至，使得，连接，可证 ，得，可得结论； （2）理由：将逆时针旋转 到位置，可得，，，根据勾股定理可得结论． （3）连接，，，，，作于，于，由题意可证，可得为等腰直角三角形，可得，，根据勾股定理可求，的长，即可得，的长，即可求的面积． 【答案】 （1）证明：延长至，使得，连接， 四边形是正方形， ，， ， ≌， ，， ， ． ， 又， ， ， 故； 2分 （2）解： 证明：如图：将逆时针旋转 到位置， 四边形是正方形， ， 由旋转， ，， 4分 （3）如图：连接，，，，，作于，于 四边形是正方形， ， ，， ，， 设 ， 垂直平分 ， 且 是等腰直角三角形 又是中点 ， 在中， ， 在中， 在中，． 在中， ． 解得 ， 8分 22．（10分）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． (1)点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； (2)求抛物线的解析式； (3)“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①“i”形小人会落在轴上，见解析；② 【分析】（1）先根据矩形的边长、，直接得出点的坐标；再依次计算、，结合矩形的高，得到、坐标，最后利用中点坐标公式求出点的坐标即可； （2）先由抛物线经过纵坐标相同的、两点，得出其对称轴为直线，即顶点式中；再将点坐标代入，解方程求出，回代即得抛物线的解析式； （3）①先由与形状相同且最大高度相同，得出是向右平移个单位得到的，进而得到的顶点坐标为，解析式为；再令求出等高落点的横坐标，对比平台左端点，判断出小人会落在轴上；最后令，解出符合条件的，得到落点坐标；②先设的解析式为，代入起跳点，得到；再令求出落点横坐标，结合平台的横坐标范围，解出的取值范围为；最后将的范围代入的关系式，求出的取值范围为，统计其中的整数个数即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴点的坐标为； ∵，，， ∴，， ∵矩形中，， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴点的坐标为，即； 2分 （2）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 把，代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 4分 （3）解：①“i”形小人会落在轴上，理由： ∵与形状相同，且最大高度相同， ∴的二次项系数与相同，顶点纵坐标也为，即可由向右平移得到， ∵的起跳点平移后对应的起跳点， ∴平移的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴抛物线的解析式为， ∵，，， ∴，， 即的横坐标范围为， 令中，得 ， 解得，（起跳点，舍去）， ∵等高落点横坐标（左端点）， ∴“i”形小人会落在轴上； 令中，得， 解得，（舍去，小于对称轴）， ∴“i”形小人落点的坐标为； ②∵与形状相同， ∴可设（为最大高度）， ∵过起跳点， ∴，即， ∵小人需落在平台上（含边界），平台的横坐标范围为， ∴落点横坐标需满足，解得， 当时，； 当时，， ∴的取值范围为，其中整数为，，，，，，共个． 10分 23．（10分）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； 3分 （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 4分 （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； 6分 （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 10分 24．（12分）如图，抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点，顶点为．将抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)判断四边形的形状，并证明： (3)连接，将抛物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，若抛物线与线段只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (3)或 【分析】（1）根据对称轴为直线，且过点，得，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）根据旋转的性质，中心对称性质，中点坐标公式，待定系数法，矩形的判定解答即可． （3）设新抛物线的解析式为，由物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，得到，故， 分抛物线经过点和点两种情况解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，中心对称，矩形的判定，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． 3分 （2）解：四边形是矩形， 证明：根据题意，得，抛物线的顶点为， ∴， 当， 解得， ∴，， 设，，， ∵抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点 ∴，，， 解得，，， ∴，，， ∴新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∴， 同理可证，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形。 8分 （3）解：设新抛物线的解析式为， 由物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为， ∴， ∴， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个交点， ∴， 整理得， 解得， 此时，符合题意； 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个交点， ∴， 整理得， 解得， 此时，符合题意； 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时， 的取值范围或． 12分 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 5 7 8 10 A B B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.7 12.x2-x-56=0 13.0<x<2或x<-614.-6≤y≤-215.2,116.16 三、解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分) 【解答】 (1)解：4=-4P-4×1×m-2=16-4m+8=24-4m ,方程有两个不相等的实数根， .△>0，即24-4m>0,解得m<6. 4分 (2)解：由根与系数的关系得X+X,=-4=4,XX,=m二2=m-2。 1 1 又x2+x2=x+x月-2x1x,=4-2m-2=16-2m+4=20-2m' 由20-2m=10得m=5. 5<6符合(1)中取值范围， ∴.m=5. 8分 18.(8分) 【解答】 (1)解方程x2-20x+96=0, 得X1=8,X2=12, .∴.AC=12cm,BD=8cm, 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在菱形ABCD中，OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, .0A=AC=6,0B=BD=4, 在Rt△AOB中，∠AOB=90°， AB=V0A2+0B=RV62+4=V52=2R/13cm月 3分 2②）0当点M在0A上且点N在08上时，0st3.则Sw6-24-t=2, 解得t1=2,t2=5(大于3，舍去)； ②当点M在0C上且点N在0B上时，3<t<4,则S60N=4-t2t-6=2, 此方程无解： ③当点M在OC上且点N在OD上时，4<t≤6，则SMON =2t-6t-4=2, 解得t1=5,t2=2(小于4，舍去)， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，△MON的面积为2am2. 8分 19.(8分) 【解答】(1)解：点A-2,m在正比例函数y=3x的图象上， m=3x1-2=-3 ∴.点A的坐标为-2，-3， 正比例函数y专X与反比例函数y华的图象交于A,B两念 ∴点A与点B关于原点O对称， ∴.点B的坐标为2,3， 路点A-2,-3代入反比例函数y 可得-3= 2解得k=6, 反比例函数的表达式为y= 4分 X 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，点A-2,-3,点B2,3,点C-5,0, 点D在x轴上，设点D的坐标为(Xn,0 :.线段AB的中点坐标为-2+2，-3+3， 2’2 即0,0 线段CD的中点坐标为 -5+xD0+0, 即-5+x2,0: 、 ’2 2 当四边形ACBD为平行四边形时， 可得， -5+XD=0,解得Xn=5, 2 ∴.点D的坐标为5,0. 8分 20.(8分) 【解答】 (1)解：，直线AB与y轴交于点C0,-2, ∴.b=-2,则直线y=x-2, 当y=0时，0=x-2,解得x=2,即B2,0, .抛物线y=-x+mx与直线y=X+b交于点B2,0, ∴.0=-2+2m,解得m=2: 4分 (2)解：关于X的不等式-x2+x≤x+b的解集就是抛物线y=-x+2x在直线y=x-2下方部分对 应的X的取值范围， 联立y=-X+2X,消去y得X-x-2=0 y=x-2 ∴.x-2x+1=0,解得x=2或x=-1, :x=2或x=-1 y=0或y=-3 ∴.A-1,-3、B2,0, 当x≤-1或x≥2时，抛物线y=-x+2x在直线y=x-2的下方， ∴.关于x的不等式-x2+mx≤x+b的解集是x≤-1或x≥2. 8分 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(8分) 【解答】(1)证明：延长CB至G,使得BG=DF,连接AG, .四边形ABCD是正方形， .∴.∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AB=AD, .∴.∠ABG=∠D=90°， .∴.△ABG≌△ADF, ∴.AG=AF,∠BAG=∠DAF, .∠EAF=45, ∴.∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=∠EAG=90°-45°=45°. ∴.∠EAG=∠EAF, 又AE=AE, ∴.△GAE≌△FAE SAS, .≥=EF, 故BE+DF=BG+BE=EG=EF; 2分 (2)解：2AF2=DF+BF2 证明：如图：将△ABF逆时针旋转90°到△APD位置， B 图3 .四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABD=45°=∠ADB, 由旋转△ABF≌△ADP,∠PAF=90° ∴.BF=PD,AP=AF,∠ADP=45°=∠ABD ∴.∠PDF=∠ADP+∠ADB=90 ..PF2=AF2+AP2=DE2+PD2 ..2AF2=DE2+BF2 4分 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图：连接AN,NC,EN,EG,CG,作GP⊥BD于P,EQ⊥BD于Q 图4 四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADB=∠CDB=∠ABD=45°，AD=CD .∠ADB=∠CDB,DN=DN,AD=CD ∴.△ADN≌△CDN ∴.AN=CN,∠DAN=∠DCN,∠∧=∠DNC 设∠DCN=∠DAN=x· .∴.∠∧=∠DNC=（135-x)°，∠BAN=(90-x)° .'GF垂直平分CE ∴.≥=GC,EN=NC .∠BAN=∠AEN=(90-X)° .∴.∠ANE=2xo .∠ANE+∠∧+∠DNC+'∠ENC=180 .∴.ㄥENC=90°且NE=CN ∴.△NEC是等腰直角三角形 又.H是EC中点 ∴.NH=EH=HC=3 .∴.EC=6,EN=NC=3V2 在Rt△BEC中，BC=VEC□？-BE口=42 .∴.AB=AD=CD=BC=42 ∴.BD=8 .EQ⊥BD,∠ABD=45° .'.BQ=EQ=2 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ENQ中，QN=VENT-EQT=4 ∴.DN=8-4-V2=4-V2 ,在Rt△AEG中，EG=AG2+AE2 在Rt△GCD中，GC2=GD2+CD2 ∴.AG2+AE2=GD2+CD2 ∴.(4V2-GD2+(42-2}2=32+GD2: 解得GD=9V2-8 4 .'GP⊥BD,∠ADB=45° ∴.GP=PD=9-4/2 4 -x DNX GP =×9-42×4-2)=44-252 SAGND= 8分 4 22.(10分) 【解答】 (1)解：，矩形OABC中，OA=2,OC=1, 点B的坐标为2,1： OA=2,AD=3,DE=2, ..OD=OA+AD=5,OE=OA+AD+DE=7, ,矩形DEFG中，DG=1, .EF=DG=1, ∴.G5,1,F7,1, ,H是GF中点， :点的坐标为5+7,1+1即16,1 2分 2,2 (2)解：，抛物线L1经过B2,1,H6,1两点， 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :抛物线L1的对称轴为直线X=26=4, 2 h=4即y=alx-42+5 把x=2,y=1代入解析式，得 1=a2-4+51 解得a=-1, ∴抛物线L,的解析式为y=-x-4?+5 4分 (3)解：①“形小人会落在X轴上，理由： ,L2与L1形状相同，且最大高度相同 ∴L2的二次项系数与L1相同，顶点纵坐标也为5，即L2可由L1向右平移得到， ,L1的起跳点B2,1平移后对应L2的起跳点H6,1, ∴.平移的距离为6-2=4， 抛物线L2的顶点坐标为4+4,5，即8,5， ∴抛物线L,的解析式为y=-x-8P+5 .OM=OA+AD+DE+EM=11,MN=2,MQ=1, ∴.Q11,1,P13,1, 即PQ的横坐标范围为11≤x≤13， 令L2中y=1,得 1=-x-82+5' 解得x1=10,X2=6(起跳点，舍去)， ,等高落点横坐标x=10<11(PQ左端点)， ∴.“”形小人会落在X轴上 令L,中y=0得0=-x-8?+5 解得x,=8+5X,=8-5(舍去，小于对称轴8)， ·形小人落点的坐标为8+5,0 7/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②，L2与L1形状相同， 可设L,:y=-x-h+nn为最大高度)， .L过起跳点H6,1, 六1=-6-h2+n即n=h-6P+1 ,小人需落在平台PQ上（含边界），平台PQ的横坐标范围为11≤x≤13， .落点横坐标x=2h-6需满足11≤2h-6≤13，解得8.5≤h≤9.5， 当h=8.5时，n=8.5-6}+1=7.25 当h=9.5时，n=9.5-62+1=13.25 ∴.n的取值范围为7.25≤n≤13.25，其中整数n为8,9,10,11,12,13，共6个. 10分 23.(10分) 【解答】 (1)解：，抛物线y=-x2+2x+c过点A-1,0, 0=--12+2x-1+c'解得：c=3 .抛物线的函数解析式为y=一x2+2x+3, ,C点横坐标为2，且在抛物线上， y=-22+2×2+3=3, ∴.C点坐标为2,3： 3分 (2)解：由(1)得，抛物线的函数解析式为y=-x+2x+3, 六y=-X2+2x+3=-x-1+4 ∴.抛物线的顶点坐标为1,4，对称轴为直线x=1； 4分 (3)解：由(1)得C点坐标为2,3， :A点坐标为-1,0， 设直线AC函数解析式为y=kX+b, 〔-k+b=0 k=1 2k+b=3解得：6=1 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .直线AC函数解析式为y=x+1: 6分 (4)解：设pm,-m2+2m+3则Qm,m+1 ①如图，当∠QPC=90°，PQ=PC, -m2+2m+3-m+1=2-m 解得：m=2(舍去)或m=0, 此时P点坐标为0,3： ②如图，当∠PCQ=90°，CQ=PC, ..PQ=2CQ, ∴PQ=-m2+2m+3-m+1=-m2+m+2'CQ=m-2}+m+1-3=V22-ml ·-m2+m+2=2×922-m ÷-m2+m+2=22-m 解得：m=1或m=2（舍去)， 此时P点坐标为1,4： 综上可得：P点坐标为0,3或1,4. 10分 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. (12分) 【解答】 (1)解：抛物线C1:y=ax-2x+c与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），对称轴为直 线x=1,且过点C0,-3, -2=1 得2a (c=-3 解得 a=1 c=-3 故抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 3分 (2)解：四边形ADHF是矩形， 证明：根据题意， y=X2-2x-3=x-1P-4抛物线的顶点为D .D1,-4, 当y=X2-2x-3=x-1-4=0 解得X1=-1,X2=3, .A-1,0,B3,0 设Fm,n,Ht,0,Gp,0, ,抛物线C1绕点E4,0旋转180°得到新抛物线C2,抛物线C2顶点为F,与x轴分别交于G、H两点 m2=4,”-0分=4，空3-4 2 2 解得m=7,n=4,t=9,p=5, .F7,4,G5,0,H9,0, ∴新抛物线C,的解析式为y=-X-7+4=-×2+14X-45 设直线AF的解析式为y=kx+p, 将A-1,0,F7,4代入直线AF的解析式得： -k+p=0 7k+p=4 1 k= 解得 2 1 P-2 直线AF的解析式为：y方X+号 设直线DH的解析式为y=mx+n, 将D1,-4,H9,0代入直线AF的解析式得： m+n=-4 9m+n=0' 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 2 BI E 103 解得 m-2 n=- 92 直线DH的解析式为：y方× 2 AF‖DH 同理可证，ADFH ∴.四边形ADHF是平行四边形， “AH=9--1=10,DF=7-1+-4-4=10 ..AH=DF, 四边形ADHF是矩形。 8分 (3)解：设新抛物线的解析式为 y=-x-m2+n 1 由物线C,沿直线y-2X+2平移得到新抛物线C,顶点为Pm,n, n=吃m+2 y=-x-mr+吃m+分 .1 当抛物线经过点D1,一4时，抛物线与线段有一个交点， ·-4=-1-m2+是m 1 m+ 2 2 整理得2m2-5m-7=0, 解得m1=-1,m2=2 此时-15m子行分签套。 当抛物线经过点H9,0时，抛物线与线段有一个交点， 10 9-m+m 整理得2m2-37m+161=0, 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m3=7,m4= 23 2, 此时7<m≤ ，符合题意 3 综上所述，抛物线C,与线段DH只有一个交点时，m的取值范围-1≤m< 或7<m 23 2 12分 12/12