专题08 图形的相似29大题型87题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题08 图形的相似 基础·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割（重点） 题型3 相似多边形 题型4 平行线分线段成比例（重点） 题型5 相似三角形的判定（重点） 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型8 网格中的相似三角形 题型9 相似三角形的动点问题（重点） 题型10 图形的位似 题型11 重心的有关性质（重点） 题型12 用相似三角形解决问题 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（重点） 题型14 黄金分割综合（重点） 题型15 相似多边形的性质综合 题型16 相似形的判定综合（重点） 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（重点） 题型18 相似三角形的动点综合（重点） 题型19 相似三角形的综合问题 题型20 重心的有关性质（重点） 题型21 图形位似综合 题型22 相似三角形的实际问题综合（重点） 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（难点） 题型24 相似三角形与函数结合（难点） 题型25 相似三角形的旋转综合（难点） 题型26 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型27 相似三角形的最值问题（难点） 题型28 相似三角形的模型问题（难点） 题型29 相似三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 【易错】比例内项、外项易混淆，等积式化比例式容易写反；设参数求值时，忽略线段长度大于 0 的隐含限制 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 2．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（2025九年级上·江苏连云港·期中）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 题型2 黄金分割（共3小题） 【易错】一条线段有两个黄金分割点，常漏掉一个；分不清较长段、全段的比例关系，数值代换出错。 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长为______． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为______． 题型3 相似多边形（共6小题） 【易错】判定需要角相等且边成比例，只看边长判定；容易混淆相似比，面积比不是相似比本身。 7．（2025九年级上·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 8．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型4 平行线分线段成比例（共3小题） 【易错】找错对应线段，上下线段不交叉列式；平行线未截两腰时不能套用定理，线段对应关系易混乱。 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 11．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】SSA 不能判定相似；找角时误把非对应角当作等角，直角三角形相似判定条件容易记混。 13．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 15．（2025九年级上·全国·期中）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 【易错】忽略已有一组等角，添加边时必须是夹边；条件写为 SSA，忽略多种可行情况，答案写不全。 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，补充一个条件仍无法判断是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 18．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 题型7 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 【易错】周长比等于相似比，面积比是相似比平方；经常直接用相似比当作面积比，对应边匹配错误。 19．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分交边于点D． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型8 网格中的相似三角形（共3小题） 【易错】计算边长时勾股定理算错；找对应角凭肉眼直观判断，未计算角度，对应顶点匹配出错。 22．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点F、G，连接，使∽，且； (2)在图②中，在边上画点H，使得． 23．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线， (2)在图②中，在上找一点，使； (3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上． 24．（25-26九年级上·吉林松原·期末）已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形． (1)在图①中画，使得，且相似比为； (2)在图②中画，使得，且周长比为． 题型9 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生多组相似，对应顶点不确定，分类不全；算出结果不检验，舍去不能构成三角形的解。 25．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，求t的值． 26．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 27．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 题型10 图形的位似（共3小题） 【易错】位似中心可在图形内外，常只考虑同侧；位似比与坐标缩放关系搞反，漏另一侧位似图形。 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将的各边放大为原来的2倍得到． (1)在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）； (2)计算的面积． 29．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到； (2)在（1）的条件下，与的面积之比为____________； (3)在线段上画一个点，使． 30．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． (4)已知的面积为2.5，则四边形的面积为________． 题型11 重心的有关性质（共3小题） 【易错】重心分中线为 2:1，易记成 1:2；混淆重心、垂心、外心概念，错把线段比例搞颠倒。 31．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）如图，点是的重心，，连接、并延长，分别交、于点D，E，连接，则的长为____________． 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，中，，与边相交于点D，与边相交于点E．如果过重心G点，且，那么的长是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 33．（2026·辽宁丹东·二模）阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 题型12 用相似三角形解决问题（共3小题） 【易错】建模时找错相似三角形；忽略实际场景，边长取值不符合现实，计算后缺少检验步骤。 34．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 35．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 36．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某数学小组为了测量云龙山上宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆垂直立于地面上的点处，当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米；再将标杆沿方向平移11米至点处（即米，米），当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，已知，，，点、、、、在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出云龙山上宝塔的高度． 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（共3小题） 37．（25-26八年级下·全国·期中）若，则的值为__________． 38．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 39．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，M，N分别为，的中点，，，，划分四边形形成的7个区域，面积分别为，，，，，，，若，，则_____． 题型14 黄金分割综合（共3小题） 40．（2026·江苏宿迁·二模）综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则． 一、感知计算 (1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”） 二、应用生活 (2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开； ④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形； (3)四边形是______形． (4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） (5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 41．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 42．（2026·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 题型15 相似多边形的性质综合（共3小题） 43．（25-26九年级上·四川达州·期末）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 44．（2025九年级上·全国·期中）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 45．（2025·山东济宁·一模）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 题型16 相似形的判定综合（共3小题） 46．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 47．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 48．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（共3小题） 49．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 50．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知：四边形的两条对角线相交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 51．（25-26九年级上·江苏南京·期末）在，，，、、分别为、、边上的点，且． (1)求证：； (2)当是的中点时，连接，若，，则的长为 ． 题型18 相似三角形的动点综合（共3小题） 52．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 53．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当________时与相似； (2)当的面积等于时，求t的值． 54．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型19 相似三角形的综合问题（共3小题） 55．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 56．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 57．（2026·河南新乡·三模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点． 根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系：__________，与的数量关系：__________； (2)迁移探究 小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下： 将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4．若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由； (3)拓展应用 如图5，已知正方形纸片的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：__________，点G的运动路径长度为：__________（直接写出答案即可）． 题型20 重心的有关性质（共3小题） 58．（2026·江苏泰州·三模）如图是一块质量均匀的三角形纸板，当手指尖托在F点处时，纸板能保持平衡，若，，则______． 59．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）如图，在中，点分别是的中点，相交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 60．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点E、F，则的值为______． 题型21 图形位似综合（共3小题） 61．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以坐标原点为位似中心，画出与位似的三角形，使，并求的面积． 62．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在网格图中，与是位似图形． (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为_________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为_________，计算四边形的面积为_________． 63．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，线段的中点坐标为，当满足时，称点，互为“对消点”．如，是互为“对消点”． (1)已知函数图象上的点，互为“对消点”． ①若的横坐标为2，则的坐标是_________； ②记，的横坐标分别为，，点为线段的中点，若，求点坐标； (2)已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求的值． 题型22 相似三角形的实际问题综合（共3小题） 64．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为米，求旗杆的高度； (2)如图：第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，求出树的高度． 65．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用a，b，c表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 66．（25-26九年级上·河北衡水·期中）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（共3小题） 67．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 68．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 69．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、． 下面四个结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③当时，四边形的面积为； ④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 题型24 相似三角形与函数结合（共3小题） 70．（2026九年级上·江苏·期中）如图，在函数和的图象上，分别有A，B两点，若轴，交y轴于点C，且，已知，，则线段的长为_____． 71．（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 72．（2026·江苏淮安·一模）如图，平面直角坐标系中，二次函数图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，图象的对称轴交x轴于D点．点P是线段上一动点，从O向D运动，H是射线上一点． (1)直接写出A、B两点的坐标：A（ ），B（ ）； (2)求直线的函数表达式； (3)如图①，在P点运动过程中，若中有一个内角等于，求的长； (4)如图②，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接，则的最小值为 ． 题型25 相似三角形的旋转综合（共3小题） 73．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 74．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合，将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，线段与射线相交于点Q． (1)如图①，当点Q在线段上时， ①求证：； ②连接，求证：平分； (2)如图②，当点Q在线段的延长线上时，若，时，求点P、Q两点间的距离． 75．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 题型26 相似三角形的判定与性质综合（共3小题） 76．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 77．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 78．（2026·江苏泰州·模拟预测）将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点、、的对应点分别为、、． (1)如图1当点落在上时．连接、交于点，求证：； (2)若，， ①如图2，当过点时．求出的长度． ②当时，作，绕点转动，当直线经过时，直线交边于，直接写出的值______．（可在备用图上画出草图求解）． 题型27 相似三角形的最值问题（共3小题） 79．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 80．（2026·湖北恩施·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求最大值； (4)如图3，点，要是四边形周长最小，求出m的值，并求出周长最小值． 81．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上存在一点P，使的值最小，求此最小值； (3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型28 相似三角形的模型问题（共3小题） 82．（26-27九年级上·重庆江北·期中）如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 83．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为______． 84．（2026九年级上·全国·期中）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 题型29 相似三角形的新定义问题（共3小题） 85．（2026·河南南阳·二模）定义：在凸四边形中，如果一组对角相等且另一组对角不相等，我们把这样的凸四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，平分，交于点，点为上一点，若，，当点，，，构成的凸四边形为“奋进四边形”时，的长为________． 86．（25-26九年级上·四川成都·期末）定义：我们可以把“对角线相等且互相垂直的四边形”称为“西区之星四边形”．已知中，，，，点P为直线上一动点，D在上，且．如图1，若点P为中点，且四边形为“西区之星四边形”，则此时周长为______；如图2，若四边形也是“西区之星四边形”，当取得的最小值时，______．    87．（2026·江苏盐城·二模）【问题情境】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边的“比中项妙点”． (1)在Rt中，，于点，则点 （填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”； 【操作探究】 (2)①如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点（的中点除外）． ②尺规作图：如图，为线段上一点，在直线上找一点，使为中边上的“比中项妙点”，其中为钝角． 【拓展提升】 (3)如图，平行四边形中，，点为边上一点，连接交对角线于点，点恰好是中边上的“比中项妙点”． ①请直接写出、、数量关系 ； ②连接并延长交于点，若点是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形的相似 基础·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割（重点） 题型3 相似多边形 题型4 平行线分线段成比例（重点） 题型5 相似三角形的判定（重点） 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型8 网格中的相似三角形 题型9 相似三角形的动点问题（重点） 题型10 图形的位似 题型11 重心的有关性质（重点） 题型12 用相似三角形解决问题 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（重点） 题型14 黄金分割综合（重点） 题型15 相似多边形的性质综合 题型16 相似形的判定综合（重点） 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（重点） 题型18 相似三角形的动点综合（重点） 题型19 相似三角形的综合问题 题型20 重心的有关性质（重点） 题型21 图形位似综合 题型22 相似三角形的实际问题综合（重点） 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（难点） 题型24 相似三角形与函数结合（难点） 题型25 相似三角形的旋转综合（难点） 题型26 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型27 相似三角形的最值问题（难点） 题型28 相似三角形的模型问题（难点） 题型29 相似三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 【易错】比例内项、外项易混淆，等积式化比例式容易写反；设参数求值时，忽略线段长度大于 0 的隐含限制 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． 2．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 3．（2025九年级上·江苏连云港·期中）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 题型2 黄金分割（共3小题） 【易错】一条线段有两个黄金分割点，常漏掉一个；分不清较长段、全段的比例关系，数值代换出错。 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 【详解】解：由题知， 点是的黄金分割点（）， ； （）． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 题型3 相似多边形（共6小题） 【易错】判定需要角相等且边成比例，只看边长判定；容易混淆相似比，面积比不是相似比本身。 7．（2025九年级上·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似图形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：B． 8．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论. 【详解】解：如图2， ∵正八边形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵内部阴影是正八边形， ∴， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， ∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似， 所以正八边形与阴影部分的面积比为 ， 故选：B. 9．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边的比相等是解题的关键． 根据相似多边形的性质得到，结合题意得到，即可求出结果． 【详解】解：矩形与矩形相似， ，即， ∵， ∴， ， ：， 故选：． 题型4 平行线分线段成比例（共3小题） 【易错】找错对应线段，上下线段不交叉列式；平行线未截两腰时不能套用定理，线段对应关系易混乱。 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：． 12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据由平行截线的性质，列出比例式，再代入已知线段的长即可求解． 【详解】解：∵，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】SSA 不能判定相似；找角时误把非对应角当作等角，直角三角形相似判定条件容易记混。 13．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知是公共角， 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项符合题意； 当添加时，公共角，不是对应边成比例，无法判断，该选项符合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 当添加时，公共角，由对应两边成比例且夹角相等，能判定，该选项不合题意； 故选：B． 14．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，是，上的高， ∴， ∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由，得到，结合夹角相等，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 15．（2025九年级上·全国·期中）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）略 （2）略 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 【易错】忽略已有一组等角，添加边时必须是夹边；条件写为 SSA，忽略多种可行情况，答案写不全。 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，补充一个条件仍无法判断是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】， ，即， 对于A， ，但夹角不一定相等，不能判定，故A符合题意； 对于B，，且， ，即，故B不符合题意； 对于C，，， ，即，故C不符合题意； 对于D，，， ，即，故D不符合题意． 故选：A． 17．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 先由推出，再根据相似三角形的判定定理，分别分析四个条件是否能使． 【详解】解：因为．所以，即． ①，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ②，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ③，仅这组边成比例，不能结合判定； ④，即，结合，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得． 综上，能使的条件是①②④， 故选：B 18．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】 （1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 题型7 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 【易错】周长比等于相似比，面积比是相似比平方；经常直接用相似比当作面积比，对应边匹配错误。 19．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合夹角相等即可证明； （2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ∴． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分交边于点D． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1) 证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴； (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是关键； （1）由三角形内角和及角平分线得，从而得； （2）由已知可求得，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)8 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，则，再结合，故，最后结合两组角对应相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据相似三角形的性质列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 题型8 网格中的相似三角形（共3小题） 【易错】计算边长时勾股定理算错；找对应角凭肉眼直观判断，未计算角度，对应顶点匹配出错。 22．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点F、G，连接，使∽，且； (2)在图②中，在边上画点H，使得． 【答案】(1) 所作图形如图所示： (2) 所作图形如图所示： 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； （1）在网格中作的平行线，分别交、于点F、G，则问题可求解； （2）根据相似三角形的性质可直接进行作图． 【详解】（1）略 （2）略 23．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线， (2)在图②中，在上找一点，使； (3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上． 【答案】(1) 如图，取格点G、H，连接交于点，连接，则为所作的中线； (2) 取格点P、F，连接交于点E，则； (3) 如图，延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形． 【分析】本题考查了用无刻度直尺在格点图中作图，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质等知识，掌握相关知识是关键． （1）取格点G、H，连接交于点，连接即可； （2）取格点P、F，连接交于点E，则点E满足条件，即为所作的点； （3）延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． 24．（25-26九年级上·吉林松原·期末）已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形． (1)在图①中画，使得，且相似比为； (2)在图②中画，使得，且周长比为． 【答案】(1) 画图如下： ； (2) 画图如下： ． 【分析】本题考查相似三角形性质及判定，勾股定理求线段长． （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）根据相似比等于周长比得出将各边扩大倍，通过计算得到扩大后各边长度，连接各点即可得到图形； 【详解】（1）解：∵，且相似比为， ∴应将中各边均扩大2倍画出图形， ∵， ∴， （2）解：∵，且周长比为， ∴应将中各边均扩大倍画出图形， ∵， ∴， 题型9 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生多组相似，对应顶点不确定，分类不全；算出结果不检验，舍去不能构成三角形的解。 25．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，求t的值． 【答案】t的值为2.4秒或秒 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．首先表示出，，然后根据题意分和两种情况讨论，然后利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动， ∴，， 当时，，即， 解得（秒）； 当时，，即，解得． 综上所述，t的值为5.4秒或秒． 26．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 【答案】(1) (2)秒或秒 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）根据勾股定理求出的值即可； （2）分两种情况进行讨论：当或时，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知：，，则， ∵， 当或时，与相似， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 当或2.5秒时，与相似． 27．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3秒或秒 (3)2.4秒或秒或 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用面积法求出； （2）先表示出，再判断出，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论； （3）根据题意画出图形，分，，三种情况，利用相似三角形进行求解． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴． （2）由(1)知， 由运动知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①， ∴， 即， 解得：． ② ∴， 即， 解得：， 综上，t为3秒或秒时，与相似； （3） ①若，如图1， 则． 解得∶． ②若，过点P作，垂足为H，如图2所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 解得：． ③若，过点Q作垂足为E，如图3所示， 同理可得∶ ， ∴， ∵，， ∴， 则， ． 综上所述∶当t为2.4秒或秒或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理和动点三角形，利用等腰三角形“三线合一”将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键． 题型10 图形的位似（共3小题） 【易错】位似中心可在图形内外，常只考虑同侧；位似比与坐标缩放关系搞反，漏另一侧位似图形。 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将的各边放大为原来的2倍得到． (1)在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）； (2)计算的面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求 (2)6 【详解】（1） 略 （2）的面积为 29．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到； (2)在（1）的条件下，与的面积之比为____________； (3)在线段上画一个点，使． 【答案】(1) 如图所示． (2) (3) 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查图形的位似变换，相似三角形的面积比，线段的定比分点． （1）根据位似中心点，相应的线段均扩大倍，得到． （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到答案． （3）利用网格线构造对应比例的平行线，找到点． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∵相似三角形的面积比等于位似比的平方即， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点使得，过点作交于点． 30．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． (4)已知的面积为2.5，则四边形的面积为________． 【答案】(1) 解：如图：P即为所画； (2) 解：如图：即为所画； (3)， (4)7.5 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握位似中心的确定方法、位似图形的画法以及位似图形的面积比与相似比的关系． （1）利用位似图形对应点的连线相交于位似中心来确定点P的位置； （2）根据位似比和位似中心在第三象限画出位似图形； （3）根据位似变换的坐标变化规律求出，的坐标； （4）利用位似图形的面积比等于相似比的平方求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：已知，以原点为位似中心，位似比为，且在第三象限， 的坐标为，的坐标为， 故答案为：，； （4）解：与的位似比为2：1， 它们的面积比为， ， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 题型11 重心的有关性质（共3小题） 【易错】重心分中线为 2:1，易记成 1:2；混淆重心、垂心、外心概念，错把线段比例搞颠倒。 31．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）如图，点是的重心，，连接、并延长，分别交、于点D，E，连接，则的长为____________． 【答案】4 【分析】先得出点为的中点，点为的中点，再利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点是的重心， ∴点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，中，，与边相交于点D，与边相交于点E．如果过重心G点，且，那么的长是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的重心的性质，相似三角形的判定和性质等知识．如图，连接并延长交于H．利用重心的性质以及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于H． ∵G是重心， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 33．（2026·辽宁丹东·二模）阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 【答案】(1)三角形的中位线定理，相似三角形的性质 (2)①；② 【分析】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质， （1）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解即可； （2）①首先根据重心的性质得到，然后求解即可； ②首先得到点O是的重心，求出，利用重心的性质求解即可． 【详解】（1）依据1：三角形的中位线定理； 依据2：相似三角形的性质； （2）①∵G是的重心， ∴， ∵， ∴ ∴； ②∵中线、相交于点O， ∴点O是的重心， ∴， ∴ 故． 题型12 用相似三角形解决问题（共3小题） 【易错】建模时找错相似三角形；忽略实际场景，边长取值不符合现实，计算后缺少检验步骤。 34．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】3.6m． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质得，，再说明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案． 【详解】解：由题易得：四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：木杆的高度为． 35．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】 （1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量；（答案不唯一） （2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）略； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 36．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某数学小组为了测量云龙山上宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆垂直立于地面上的点处，当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米；再将标杆沿方向平移11米至点处（即米，米），当塔尖、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，已知，，，点、、、、在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出云龙山上宝塔的高度． 【答案】云龙山塔的高度是24米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先证明，，利用其性质可得，，即可得，，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 又∵，， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴云龙山塔的高度是24米． 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（共3小题） 37．（25-26八年级下·全国·期中）若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据比例关系设元，代入表达式化简计算． 本题考查了见比设k，熟练掌握根据比例关系设元是解题的关键． 【详解】解：设 ，，（），则 分子：， 分母：， ∴原式 ． 38．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】此题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． （1）设，则，代入即可求出的值； （2）根据，，得出，求出k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴，， ． （2）解：，， ， ， ． 39．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，M，N分别为，的中点，，，，划分四边形形成的7个区域，面积分别为，，，，，，，若，，则_____． 【答案】10 【分析】过作的垂线，利用为中点和成比例线段可得中位线关系，从而将四边形的面积表示为，同时用三角形面积公式表示与，由为中点得，相加后代入中位线关系可得，通过等式两边消去公共项和最终得到，代入已知数即得． 【详解】解：过A作于E，过M作于H，过B作于Q， 则， ∴， ∵M为中点， ， ∴H为中点， ∴是梯形的中位线， ∴， ∵， ， ， ∵N为中点， ∴， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型14 黄金分割综合（共3小题） 40．（2026·江苏宿迁·二模）综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则． 一、感知计算 (1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”） 二、应用生活 (2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开； ④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形； (3)四边形是______形． (4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） (5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)菱形 (4)证明：由折叠可知，正方形的边长为，即， ∵将与重合对折，折痕为， ∴是的中点， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴， 在矩形中，宽为长为， ∴， ∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形， ∴矩形是黄金矩形； (5)    【小问5】+ 【分析】（1）根据黄金分割点的定义得到，分别求出和即可得到答案； （2）用总时长乘以即可得到答案； （3）证明，根据菱形的判定即可得到结论； （4）求出，，则，根据定义即可得到结论； （5）作出线段的两个黄金分割点，再分别以为圆心，为半径画弧，相交于点B，再分别在射线上截取，顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴ ∴ （2）解：， 即乐曲到达高潮的时间是分钟； （3）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （4）略 （5）略 41．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 42．（2026·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点作于点 ，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ， ，， ， 在中，， ， 是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 题型15 相似多边形的性质综合（共3小题） 43．（25-26九年级上·四川达州·期末）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形， ， ，即， 四边形ABFE是矩形， 是的平分线，且， ， 四边形ABFE是正方形， ， 又四边形ABCD是黄金矩形，且， ， 设，则， ， ， ， 则，， 即，选项A正确； ，， 即，选项B正确； ，， 即，选项C错误； ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键． 44．（2025九年级上·全国·期中）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 45．（2025·山东济宁·一模）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2) 证明：设，由（1）可得：， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． (3) 证明：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【分析】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可； （2）由（1）可知：，折叠推出四边形为正方形，进而求得，即可得证； （3）易得，得到，折叠得到，，，进而推出，即可得证． 【详解】（1）解：设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为， ∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）略 题型16 相似形的判定综合（共3小题） 46．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 47．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2) 解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定定理、勾股定理及其逆定理的综合应用． （1）先利用正方形性质得到，再结合已知条件求出相关线段的长度，计算对应边的比例，最后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明； （2）通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 48．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线分线段成比例进行求解即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得出相等的角，再利用等角对等边，最后利用平行线分线段成比例进行证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，利用同高（等高）的三角形面积比等于底的比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（共3小题） 49．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 【答案】(1) 证明：是边上的高线， 于点， 在边上取点，与交于点， ， ， ， △△． (2)的面积是4．△的面积是6 【分析】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△△是解题的关键． （1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△． （2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得． 【详解】（1）略 （2）解：为的中点，△的面积为1， ， ，， △△． ， ， ， △的面积是6． 50．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知：四边形的两条对角线相交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形的两条对角线相交于点， ， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 由四边形的两条对角线相交于点，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； 由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，而，，，所以，求得． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ，，， ， ， 的长是． 51．（25-26九年级上·江苏南京·期末）在，，，、、分别为、、边上的点，且． (1)求证：； (2)当是的中点时，连接，若，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）由，得，根据平角的定义以及三角形内角和定理可得，即可得； （2）设，由，根据相似三角形的性质可得，则，可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是的中点， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型18 相似三角形的动点综合（共3小题） 52．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 53．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当________时与相似； (2)当的面积等于时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)或3 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据题意表示出，分当时，当时，两种情况讨论即可； （2）过点P作于点D，证明，求出， 再根据，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， 设运动时间为t秒，则， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： ∴秒或秒后，与相似； （2）解：如图，过点P作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴ 解得或3． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 54．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 题型19 相似三角形的综合问题（共3小题） 55．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 【答案】(1) (2) 如下图：在线段上取一点P，使得，即等腰邻相似三角形， 证明∶∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是一个边上的“等腰邻相似三角形”， (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等边对等角得出，再结合已知条件进一步即可解决问题； （2）在线段上取一点P，使得，则即为所求，然后证明即可． （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】（1）解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． （2）略 （3）解：由题意是等腰直角三角形， ∵与，与相似， ∴，都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段上，时， ∵，，都是等腰直角三角形； ∴，，，，, ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 如图5中，当点P在线段上，时， 作交的延长线于E． 则， 又∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，四边形不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 56．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 【答案】(1)等腰梯形；，理由见解析 (2)的大小不变， (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合正方形的性质得到，即可得解；连接，根据正方形的性质证明，得到，由垂直平分线的性质得到，等量代换即可得证； （2）连接，，证明，得到，由垂直平分线的性质证明，得到，等边对等角结合邻补角的定义证明，再由四边形内角和定理得到，得到是等腰直角三角形，即可得证； （3）由勾股定理依次求解，的长，证明，得到，的长，过点作交于，设，则，，在中，利用勾股定理解直角三角形可求得，的长，证明，即可求得的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ，即， ， ， ， 四边形的形状是等腰梯形； ，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）解：的大小不变，； 如图，连接，， 由正方形的对称性可知，点、关于对称， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：，， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， 如图，过点作交于，交于N，则，， ， 设，则，， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ，， ， ， ，即， 解得． 57．（2026·河南新乡·三模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点． 根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系：__________，与的数量关系：__________； (2)迁移探究 小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下： 将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4．若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由； (3)拓展应用 如图5，已知正方形纸片的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：__________，点G的运动路径长度为：__________（直接写出答案即可）． 【答案】(1)； (2)能， (3)， 【分析】（1）根据折叠的性质先证明得到，再利用再证明即可； （2）利用折叠的性质和矩形的性质先证明，利用三角形相似比等于对应边的比证明即可； （3）先确定点的运动轨迹，点是在为直径的圆上，点的运动路径为圆，即可求点的运动路径，再根据点是圆心，结合当、、三点共线时，有最小值求解即可． 【详解】（1）如图：    根据折叠的性质得：， 点的对应点落在上， ， 在与中， ， ， ， ； ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：，． （2）能，； 推理如下：由折叠可知，， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵矩形中，， ∴． （3）如图：   动点E，F同时开始运动，且速度相同， ， 是边长为2的正方形，由（1）知， 点是在为直径的圆上， 动点在边上由点向终点匀速运动，当动点运动到点时，点的运动路径为圆，其路径长为：． 如图：作的中点，连接   点是在为直径的圆上，点的运动路径为圆，且圆心为， ， 当、、三点共线时，有最小值， ， ， ． 【点睛】本题考查了几何的综合问题及结合圆的动点问题，重点掌握三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆外一点到圆上的最短距离是解题的关键． 题型20 重心的有关性质（共3小题） 58．（2026·江苏泰州·三模）如图是一块质量均匀的三角形纸板，当手指尖托在F点处时，纸板能保持平衡，若，，则______． 【答案】2 【分析】得到F点为的重心，作出辅助线，结合直角三角形斜边中线定理以及重心的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可知，F点为的重心， 延长交于点E，如图， ∵F点为的重心， ∴为边的中线， ∵，， ∴， ∴． 59．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）如图，在中，点分别是的中点，相交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据三角形的中线求三角形的面积，三角形重心的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据三角形重心的性质得出，根据三角形中线的性质得出，从而求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵、为的中线， ∴点F为的重心， ∴，即， ∵的面积为24，、为的中线， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 60．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点E、F，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的重心的性质、三角形中位线定理，取中点，连接，由题意可得，是中点，连接并延长交于，则点为的中点，即，过点作交的延长线于，证明，证明为的中位线，得出，，结合题意可得，证明，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵点G是的重心， ∴是中点， 连接并延长交于，则点为的中点， ∴， 过点作交的延长线于， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，是中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型21 图形位似综合（共3小题） 61．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以坐标原点为位似中心，画出与位似的三角形，使，并求的面积． 【答案】 如图，即为所求，的面积为 【分析】根据位似的性质作图即可；再利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：图略， 的面积为． 62．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在网格图中，与是位似图形． (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为_________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为_________，计算四边形的面积为_________． 【答案】(1) (2)如图，即为所求． (3)如图，点P即为所求． ，，18 【分析】（1）利用点A和的坐标画出平面直角坐标系，然后写出B点坐标即可； （2）利用网格特点，根据位似的性质取的中点和的中点，则和位似，且位似比为； （3）连接、、，它们的交点即为点P，由图写出点P的坐标，再计算四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，由点A和的坐标建立平面直角坐标系， 由图可得，点B的坐标为． （2）略 （3）解：图略， 由图可得，点P的坐标为， 如图，设与交于点，由，，， ∴ ． 63．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，线段的中点坐标为，当满足时，称点，互为“对消点”．如，是互为“对消点”． (1)已知函数图象上的点，互为“对消点”． ①若的横坐标为2，则的坐标是_________； ②记，的横坐标分别为，，点为线段的中点，若，求点坐标； (2)已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求的值． 【答案】(1)①或；②点M的坐标为 (2) 【分析】（1）①先求解，结合函数图象上的点，互为“对消点”，可得，进一步求解即可；②由，，可得，再进一步求解即可； （2）证明与互相平分．可得四边形为平行四边形，且中心为．设A“对消点”为，可得点P所在的直线为．该直线过平行四边形的对角线的交点，进一步求解即可. 【详解】（1）解：①∵，点在函数图象上， ∴， ∵函数图象上的点，互为“对消点”， ∴， 解得：或， B的坐标为或． ②由题意，∵点A，B为函数图象上互为“对消点”．且A，B的横坐标分别为a，b， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴，，      ∴点M的坐标为 （2）解：由题意，∵，，，， ∴的中点为，的中点为． ∴与互相平分． ∴四边形为平行四边形，且对角线的交点坐标为． 设A“对消点”为， ∴，即点P所在的直线为． 又∵A的“对消点”所在的直线能将该四边形的面积平分， ∴该直线过平行四边形的对角线的交点， ∴， ∴． 【点睛】 题型22 相似三角形的实际问题综合（共3小题） 64．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为米，求旗杆的高度； (2)如图：第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质． (1)设旗杆的高度为米，根据同一时刻影长与物体的实际高度成比例，可得，解方程求出的值即为旗杆的实际高度； (2)过点作，交于点，可知四边形是矩形，四边形是矩形，可证，根据相似三角形的性质可得，从而求出的长度，根据求出大树的高度． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米， 根据题意可得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米； （2）解：如下图所示，过点作，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 米，米，米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 解得：米， 米． 65．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用a，b，c表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由反射特点可知，证明，，即可求得． （2）由反射特点可知，，证得，，有，，，，可得． 【详解】解：（1）由反射特点可知， ， ∴， ∴， ∵，，， 即， ∴， （2）由反射特点可知，， ， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 解得； 答：海关大楼的高度为． 66．（25-26九年级上·河北衡水·期中）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（共3小题） 67．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 68．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质即可判断①正确，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可计算得出，即②正确，通过证明，得到对应线段成比例，进行等量代换后得到点是线段的黄金分割点，继而得到，即③正确，根据，得出，即可判断④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴，故③正确； ∵且， ∴，故④错误． 故选：． 69．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、． 下面四个结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③当时，四边形的面积为； ④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】①② 【分析】对于①：证明，则，，则，即可证明四边形为平行四边形；对于②：延长交于点，，那么，即可证明；对于③：先证明，同理，则可求，，，再相加即可求解四边形的面积；对于④：先证明，再证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 连接， 由旋转可得，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， 同理， ∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形，故①正确； 延长交于点， ∴ ∴， ∴，即，故②正确； 当时，点共线，共线，共线，共线，如图， ∵由旋转以及矩形可得，， ∴ ∵ ∴，同理 ∴，， ∵ ∴，故③错误； 当四边形为矩形时， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 同上可得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，与上式矛盾，故④错误， 综上其中正确结论的序号是①②． 题型24 相似三角形与函数结合（共3小题） 70．（2026九年级上·江苏·期中）如图，在函数和的图象上，分别有A，B两点，若轴，交y轴于点C，且，已知，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，其中，，，则，，，，先根据三角形的面积公式可得，，再证出，进而可得的值，然后求出，的值，由此即可得． 【详解】解：∵轴，轴轴， ∴轴，点，的纵坐标相等， 设点的坐标为，点的坐标为，其中，，， 则，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 又∵，， ∴，， ∴． 71．（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用线段比例关系确定点坐标与点坐标的关系，再由求出参数，进而确定反比例函数解析式，求出点坐标． （2）用参数表示出点、、的坐标，计算的长度和点到直线的距离，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：点在上， 设点的坐标为， 过点C作轴于点E， ∴， 又点在线段上，且， ∴， 点的坐标为， 轴于点， 点的坐标为， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为， ， 直线的方程为，点的坐标为， 点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 反比例函数解析式为． 72．（2026·江苏淮安·一模）如图，平面直角坐标系中，二次函数图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，图象的对称轴交x轴于D点．点P是线段上一动点，从O向D运动，H是射线上一点． (1)直接写出A、B两点的坐标：A（ ），B（ ）； (2)求直线的函数表达式； (3)如图①，在P点运动过程中，若中有一个内角等于，求的长； (4)如图②，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)； (2) (3)长为或3 (4) 【分析】（1）求出函数值为0时x的值即可得到答案； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）可证明，，则可证明；当时，证明，得到，求出的长即可得到答案；当时，取点，连接，则，证明，得到，求出的长即可得到答案； （4），连接，可求出对称轴为直线，则；可证明，则可，得到；作点M关于对称轴的对称点T，连接，则，可证明，则当T、Q、O三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：与，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴； 当时，如图所示，取点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或3； （4）解：如图所示，连接， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵Q点运动速度是P点运动速度的2倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，作点M关于对称轴的对称点T，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当T、Q、O三点共线时，有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的最小值为． 题型25 相似三角形的旋转综合（共3小题） 73．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正方形的性质得到边相等、角相等，通过证明，得到对应角相等，再结合对顶角与三角形内角和，推导出； （2）连接，根据正方形对角线与边长的关系，得到与的比例关系，同时推出，从而证明(相似比为)，进而得出与的比值为； （3）连接，交于点，作过的，证明，在中，当越小越大，又， 即越小时，越大，接着证明当时，最小，此时圆与射线相切于点，达到最大，延长交于点，连接，证明，利用三角形相似求得答案． 【详解】（1）解：设交于点， ∵正方形与正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：连接、， ∵正方形与正方形， ∴，，， ∴，且， ∴，相似比为​， ∴； （3）解：存在，，理由如下： 连接，交于点， ∵正方形的边长， ∴，，， ∴， ∵， ∴所在的直线垂直平分， 作的垂直平分线直线，作直线的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴都在上，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当达到最大值时，最大， ∵在中，， ∴随的减小而越大， 又∵， ∴即当取最小值时，最大， 过点作于，如图所示： ∵， ∴当与重合时，即时，最小， 此时圆与射线相切于点，最小，此时达到最大， 如图所示，，延长交于点，连接： ∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故存在点，． 74．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合，将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，线段与射线相交于点Q． (1)如图①，当点Q在线段上时， ①求证：； ②连接，求证：平分； (2)如图②，当点Q在线段的延长线上时，若，时，求点P、Q两点间的距离． 【答案】(1) 证明：①∵和是两个全等的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2)5 【分析】（1）①由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得； ②根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可结论； （2）连接，先证明，根据相似三角形的对应边成比例，求得的长，即可得的长，继而求得与的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，． 75．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 【答案】 （1），证明如下： ， 又，， ∴ ． （2）①，；② （3） 【分析】（1）根据相似的性质，得到，进而得到，利用两边对应成比例，夹角相等，得到即可； （2）①求出，中点推出，延长与相交于点，与相交于点，证明再证明，得到，得到；②证明求出的长，中位线定理求出的长； （3）过点作，过点作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的长，证明求出的长，根据三角形的三边关系求出的最小值即可． 【详解】解：（1）略 （2）①如图，在中，， ， ∵D、E， M分别是中点， ∴， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ，， ∴， 又， ， ， ， ， ，即：． 故答案为：；． ②如图，连接， ，， ∴， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； （3）如图，过点作，过点作，连接， ，， ， 又 ， ， ， ， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的判定与性质等，解答本题的关键在于会添加合适的辅助线，利用平行线的性质求解，是一道综合性较强的压轴题． 题型26 相似三角形的判定与性质综合（共3小题） 76．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 【答案】(1)解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：如图，作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)证明：如图，过点作于点，作于点，连接， 则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1），证明过程为：延长至点，使得，连接，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）作，交延长线于点，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作于点，作于点，连接，先得出，则，再得出，由此即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 77．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)45 (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， 由（1）得：， ∴在和中，，， ∴， 由翻折知， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由翻折的性质可得：，，，证明，即可求出； （2）利用（1）的结论可得出，再加上公共角，即可证明； （3）将绕点旋转至，使与重合，连接，证明，可得，由，可得，进而得出，再利用，，可求出，，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折的性质可得：，，， ∴，， ∵在与中， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：如图，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， 由（1）得，， ∴， ∴，即， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 78．（2026·江苏泰州·模拟预测）将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点、、的对应点分别为、、． (1)如图1当点落在上时．连接、交于点，求证：； (2)若，， ①如图2，当过点时．求出的长度． ②当时，作，绕点转动，当直线经过时，直线交边于，直接写出的值______．（可在备用图上画出草图求解）． 【答案】(1)证明：如图，连接、、． 旋转， ，，， ， ， ， 、、共线， ，，， ， ， 又 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； (2)①；② 【分析】（1）连接、、．先证明、、共线，进而证明，则四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （2）①作于，于．根据三角形面积公式求出，证明四边形是矩形，再利用勾股定理求出、，即可解决问题； ②连接，由矩形和旋转可得，，则，证明，利用相似三角形对应边成比例，即可得出的值． 【详解】（1）证明：略 （2）解：①如图，作于，于． 旋转， ，， 在中，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； ②如图，连接， 四边形是矩形， ，，， 旋转， ，， ， ， 在中，， ，， ， ． 题型27 相似三角形的最值问题（共3小题） 79．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【分析】（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． 80．（2026·湖北恩施·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求最大值； (4)如图3，点，要是四边形周长最小，求出m的值，并求出周长最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)，四边形周长的最小值． 【分析】（1）将代入二次函数，求解即可； （2）过点作，交轴于点，过作于，如下图，利用相似三角形的性质，求得点坐标，进而求得解析式，即可求解； （3）延长于点，使得轴，过作于点，作轴，交于，过作于点，利用相似三角形的性质得到，设直线的解析式为，将两点代入得到解析式为，当时，求得点的坐标为，设，利用二次函数求解即可； （4）由勾股定理可得：，，四边形的周长为，则四边形周长的最小值就是求的最小值，利用平移以及对称变换，求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数可得： ，解得 即解析式为：； （2）由题意可得：， ∵ ∴ 设，则，由勾股定理可得： 解得 即，， 过点作，交轴于点，过作于，如下图，    则 ∴，四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 设，则， ∴，解得 即， 即，可得解析式为： 联立二次函数和一次函数得：，解得或（舍去） 即点D的坐标； （3）延长于点，使得轴，过作于点，作轴，交于，过作于点，如下图：    则 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 设直线的解析式为，将两点代入可得 ，解得 得到解析式为， 当时， 即，所以 设，则 ∵ ∴的最大值为 则的最大值为：； （4）由勾股定理可得：， 四边形的周长为：， 则四边形周长的最小值就是求的最小值， 将向下平移一个单位，得到点，则， 则 作点关于的对称点，连接，    则，且 则， 由两点之间线段最短可得，的最小值为，    由勾股定理可得： 即的最小值为， 四边形周长的最小值， 设直线解析式为：， 将，代入可得： 解得 即 将代入可得， 即 可得，解得 综上，，四边形周长的最小值． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质求解最值，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质求解最小值，勾股定理等，综合性比较强，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 81．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上存在一点P，使的值最小，求此最小值； (3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)当Q的坐标为或时，以A、C、Q为顶点的三角形与相似 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）由正方形的性质和判定求出点O关于直线的对称点就是，进一步推出有最小值且等于的长度，求出点A的坐标，利用勾股定理求出的长即可得到答案． （3）先求出点D的坐标，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，得到，则分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴，                     把代入得：， ∴，                         由点B、C在抛物线上可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）所得，可知以线段为邻边的四边形为正方形，其第四个顶点的坐标为，记为． 由正方形的性质可知点O关于直线的对称点就是． ∵与O关于对称， ∴， ∴， ∴当在一条直线上时，有最小值且等于的长度．       当，即时， 解得或， ∴， ∴， ∴的最小值为10； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴点D的坐标为， 又∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， ∴， ∴ 综上所述，当Q的坐标为或时，以A、C、Q为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，勾股定理和勾股定理的逆定理，正方形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型28 相似三角形的模型问题（共3小题） 82．（26-27九年级上·重庆江北·期中）如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，连接，，与交于点，设正方形边长为，根据正方形和得到，，，，，再根据，求出，，接着证明，得到是等腰直角三角形，得到，推出，则四边形为平行四边形，，，最后根据，求出，代入计算即可． 【详解】解：延长至，使，连接，，与交于点， 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 83．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为______． 【答案】 【分析】延长，交的延长线于M，延长，交的延长线于N．根据勾股定理可求，从而可求出．又易证，即可求得，结合勾股定理可求得的长．又易证，即可求得的长．再根据即可求得答案． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于M，延长，交的延长线于N． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵在中，， ∴． ∵平分，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 84．（2026九年级上·全国·期中）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴； (2)证明：①∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知：，即， ∴， ∴； ②由可知：点D、C、B在以点A为圆心，半径为的圆上，如图， ∴， 由①可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）①由题意易得，，则有，由（1）可知，进而问题可求证； ②由题意易得点D、C、B在以点A为圆心，半径为的圆上，则有，然后可得，则有，进而可设，则有，则有，所以有，最后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型29 相似三角形的新定义问题（共3小题） 85．（2026·河南南阳·二模）定义：在凸四边形中，如果一组对角相等且另一组对角不相等，我们把这样的凸四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，平分，交于点，点为上一点，若，，当点，，，构成的凸四边形为“奋进四边形”时，的长为________． 【答案】3或/或3 【分析】分两种情况求解：当时，证明即可求解；当时，由面积法求出，由勾股定理求出，再证明即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∵中，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“奋进四边形”． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“奋进四边形”． 作于点D，作于点E，作于点F， ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为3或． 86．（25-26九年级上·四川成都·期末）定义：我们可以把“对角线相等且互相垂直的四边形”称为“西区之星四边形”．已知中，，，，点P为直线上一动点，D在上，且．如图1，若点P为中点，且四边形为“西区之星四边形”，则此时周长为______；如图2，若四边形也是“西区之星四边形”，当取得的最小值时，______．    【答案】 / 【分析】（1）P为中点，得为的中线，， ，由勾股定理得，即可解答； （2）作于G，作于N，证，求得，；再证，得，F的运动轨迹为平行于的直线，且平行线间距离为，作A关于F轨迹的对称点，当，F，D共线时最小，作于T，由，求出，即可解答． 【详解】解：（1）连接交于点G， ∵四边形为“西区之星四边形”， ∴，， ∵，，点P为中点， ∴， ∵中，， ∴为中线， ∴， ∴点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）作于G，作于N， ∵，，， ∴， ∵ ，， ∴ ∴即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴F 的运动轨迹为平行于的直线，且平行线间距离为 ， 作A关于F轨迹的对称点，当，F，D 共线时 最小， 作于T， 则，， ∵，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质判断出点F的轨迹路线是解题的关键． 87．（2026·江苏盐城·二模）【问题情境】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边的“比中项妙点”． (1)在Rt中，，于点，则点 （填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”； 【操作探究】 (2)①如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点（的中点除外）． ②尺规作图：如图，为线段上一点，在直线上找一点，使为中边上的“比中项妙点”，其中为钝角． 【拓展提升】 (3)如图，平行四边形中，，点为边上一点，连接交对角线于点，点恰好是中边上的“比中项妙点”． ①请直接写出、、数量关系 ； ②连接并延长交于点，若点是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】(1)是 (2)①边上的一个“比中项妙点”点如图所示： ②使为中边上的“比中项妙点”，其中为钝角的点如图所示： (3)①；② 【分析】（1）证明，即可得到，则点是中边上的“比中项妙点”； （2）①取格点，连接交于，则，得到，，即可得到，即可根据（1）同理得到，即点是中边上的“比中项妙点”； ②作为直径的，再作交于，最后以为圆心长为半径画圆，与直线交点中选择使为钝角点即为点；由为直径得到，根据（1）同理得到，则，即为中边上的“比中项妙点”； （3）①∵点恰好是中边上的“比中项妙点”，得到，则，由平行四边形，证明，得到代入整理即可得到； ②由得到，平行四边形，得到，再得到，由得到，即可得到，，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是中边上的“比中项妙点”； （2）①略 ②略 （3）解：①∵点恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 即、、数量关系为； ②∵， ∴，， ∵平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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