第二十九章 圆 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十九章 圆 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列结论错误的是（　　） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】C 【解答】解：A、圆是轴对称图形，原说法正确，不符合题意；B、圆是中心对称图形，原说法正确，不符合题意；C、半圆是弧，原说法错误，符合题意；D、直径是圆中最长的弦，原说法正确，不符合题意；故选：C． （来源：2025秋•宜昌期末） 2．（3分）如图所示，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：圆中的弦有：BC、CE，共两条，故选：A． （来源：2026秋•宿城区校级月考） 3．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以5cm长为半径 C．以点O为圆心，5cm长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：圆心确定，半径确定后才可以确定唯一一个圆，故选：C． （来源：2025秋•固原校级期中） 4．（3分）如图，点O是△ABC的外心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 【答案】D 【解答】解：由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝2×70°＝140°，故选：D． （来源：2025秋•泰兴市期中） 5．（3分）已知AB＝7cm，则过点A，B，且半径为2cm的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【解答】解： ∵AB＝7cm，半径为2cm的圆的直径为4cm，4＜7， ∴A，B两点，且半径为2cm的圆没有．故选：A． （来源：2025秋•新沂市校级月考） 6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则弧CDE的长是（　　） A．3π B．π C．4π D．5π 【答案】C 【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE， ∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6， ∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3， ∴弧CDE的长是=4π．故选：C． （来源：2026•西湖区校级模拟） 7．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【解答】解：A、错误．弧是圆上两点间的部分．B、如图，弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误；C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径；故错误．D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确；故选：D． （来源：2025秋•新会区期末） 8．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8，那么球的半径长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：过O点作MN⊥EF，垂足为M，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EF＝CD＝MN＝8．设OF＝x，则OM＝8﹣x，MF＝4，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，即球的半径为5．故选：B． （来源：2026•榆树市模拟） 9．（3分）若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为16π，则它的母线长为 ． 【答案】 【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得•2π•3•l＝16π，解得l=，即圆锥的母线长为．故答案为． （来源：2026•雨花区校级二模） 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 ． 【答案】9π 【解答】解：连接OB、OC，如图： ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC, ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC, ∴△ABC外接圆的圆心是O，半径是OA,而OA＝3， ∴△ABC外接圆的面积为π•32＝9π，故答案为：9π． （来源：2026春•新城区校级月考） 11．（3分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm． 【答案】6π 【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×=6π（cm）．故答案为6π． （来源：2026•襄城区校级模拟） 12．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径约为 m（结果保留整数） 【答案】28 【解答】解：如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于点D，由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为Rm， ∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m， ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AD＝BD=AB=（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2， ∴（+（R﹣7）2＝R2，解得R=≈28（m）．故答案为：28． （来源：2026春•宝安区校级月考） 13．（3分）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 ． 【答案】1：2 【解答】解：设这个圆的半径为r，则×2πr：×2πr＝1：2．故答案为：1：2． （来源：2026春•上海校级期中） 14．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝15cm，分别以A、C为圆心，以AB的长为半径作圆，从Rt△ABC中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为 cm2．（结果保留π） 【答案】（45﹣9π） 【解答】解：如图， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ABD﹣S扇形CEF=×6×15- ＝（45﹣9π）cm2，故答案为：（45﹣9π）． （来源：2025秋•江阴市校级月考） 15．（3分）如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（的圆得到图③…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积是 ． 【答案】（1-12n-1）π 【解答】解：图②中阴影部分的面积为：π×12﹣π×（×2＝π-π＝（1-）π=π；图③中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（]2×22＝π-π＝（1-）π=π；图④是半径为1的圆，在其中挖去23个半径为（的圆得到的，则图④中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（]2×23＝π-π＝（1-）π=π；…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（﹣1]2×2n﹣1＝π-π＝（1-）π．故答案为：（1-）π． （来源：2026•衡东县自主招生） 16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】2+π6 【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′===，CD的长l==， ∴阴影部分周长的最小值为+．故答案为：+． （来源：2025秋•东营区期末） 17．（6分）求下列图形阴影部分的面积． （1） （2） 【答案】见解析 【解答】解： （1）8÷2＝4（cm），×42π-×4×4＝（8π﹣8）（cm2）， ∴阴影部分的面积是（8π﹣8）cm2． （2）（2×2）2﹣22π＝（16﹣4π）（dm2）， ∴阴影部分的面积是（16﹣4π）dm2． （来源：2025秋•明水县期末） 18．（6分）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线． （1）求证：∠DAB＝∠DCE； （2）若∠DAB＝65°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∵∠DCE+∠DCB＝180°， ∴∠DAB＝∠DCE； （2）解： ∵∠ACB＝70°， ∴∠ADB＝∠ACB＝70°， ∴∠ABD＝180°﹣65°﹣70°＝45°． （来源：2025秋•盐都区期末） 19．（6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解答】解：①分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于D、E两点，连接DE；②分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于G、F两点，连接GF；③直线DE与GF相交于点O，以O为圆心，以OA的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置． （来源：2025春•莱西市校级月考） 20．（6分）如图，已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的．（π取3.14） （1）求阴影部分的周长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的．阴影部分的周长由弧BI、弧DI、弧BD长组成；已知n＝90°，r＝1，R＝2，弧BI的长===，弧DI的长===，弧BD的长===π，则阴影部分的周长=++π=2π=6.28； （2）阴影部分的面积是一个大扇形（BCD），加上一个小扇形（BFI），再去掉一个小扇形（DHI），去掉两个小的正方形（HIGC、BFIG），即大扇形的面积减去长方形BFHC的面积，扇形BCD的面积===π，长方形BFHC＝BF×BC＝2，阴影部分的面积＝π﹣2＝1.14． （来源：2026春•浦东新区校级期中） 21．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC＝60°，求弧BC的长度． （2）连接BD，求证：DE＝DB． 【答案】见解析 【解答】（1）解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示： ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴弧BC的长度==π． （2）证明：连接BE，如图2所示： ∵E是△ABC的内心， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠DEB＝∠1+∠3，∠DBE＝∠4+∠5∠5＝∠2， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝DB． （来源：2025秋•蓬江区校级期中） 22．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴，解得，， ∴BC＝2a＝3． （来源：2025秋•邗江区校级月考） 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC． （1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB． （2）求证：①AB∥EF．②AD＝EF． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵AC是圆的直径， ∴∠ABC＝90°，由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠CFE＝30°， ∴∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°； （2）证明：① ∵∠CFE＝∠BDC，∠BDC＝∠CAB， ∴∠BAC＝∠CFE， ∴AB∥EF；②如图，在ADC上取一点P，使AP＝BC，则AP=BC， ∴∠ADP＝∠BDC， ∴∠ADP＝∠CFE， ∵∠APD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ECF＝180°， ∴∠APD＝∠ECF， ∵CE＝BC，BC＝AP， ∴AP＝EC，在△ECF和△APD中，， ∴△ECF≌△APD（AAS）， ∴EF＝AD． （来源：2025秋•界首市期末） 24．（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，BC的延长线交△ADC的外接圆于点E，作AF∥BE交AEC于点F，连结DF交AC于点M，记k=．【认识图形】求证：∠ACB＝∠CDF．【探索关系】求证：DF＝kAC．【问题解决】若点M与点E关于CF对称．①当=时，求k的值．②求k的最大值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，连接AF，延长FH交 AB于点T，设圆F的半径为rcm，由题意可知，FT⊥AB， ∴∠AHF＝90°，AH=BH=AB， ∵AB=DC， ∴弓形高EG＝TH＝2cm，AB＝CD＝8cm， ∴AH=AB=4cm，FH＝FT﹣TH＝（r﹣2）cm，在直角△AFH中，AF2＝FH2+AH2， ∴r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5， ∴FH＝r﹣2＝3cm．答：圆心F 到AB的距离为3cm． （2）如图，延长QM，KO交于点W，由题意可知，OK∥PR，∠OSN＝90°，在直角△OSK中，cos∠NOS=， ∴OS＝ON•cos∠NOS＝10×cos20°≈9.40cm， ∵OQ由ON绕点O顺时针旋转90°得到， ∴ON＝OQ＝10cm，∠QON＝90°， ∴∠QOW＝180°﹣∠QON﹣∠NOS＝70°， ∵QM⊥PR，OK∥PR， ∴∠NMW＝∠W＝90°， ∴∠OQW＝180°﹣∠W﹣∠QOW＝20°，在直角△OQW中，sin∠OQW=， ∴OW＝OQ•sin∠OQW＝10×sin20°≈3.42cm， ∵∠OSN＝∠NMW＝∠W＝90°， ∴四边形NSWM是矩形， ∴MN＝WS＝OW+OS＝12.82≈12.8cm．答：MN的长度约为12.8cm． （来源：2025秋•滨江区校级月考） 25．（10分）材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】变强 【解答】解： （1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，故答案为：变强； （3）∠CAD＝2∠BAC，理由如下：连接OA，则：OA＝OB， ∴∠ABC＝∠OAB， ∵AD为切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAB+∠BAD＝90°， ∵BC⊥AC， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝∠OAB， ∴∠BAD＝∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC； （4） ∵水滴弧的长度为：l=， ∴=n， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． （来源：2026春•江阴市校级月考） 26．（10分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3．点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足=．设BQ＝x，CP＝y． （1）求半圆O的半径． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．当△PQR为直角三角形时，求x的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图1，连接OD，设半径为r， ∵CD切半圆于点D， ∴OD⊥CD， ∵BE⊥CD， ∴OD∥BE， ∴△COD∽△CBE， ∴=， ∴=，解得r=， ∴半圆O的半径为； （2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×=， ∵=，BQ＝x， ∴AP=x， ∴CP＝AP+AC， ∴y=x+； （3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形， ∴PR＝QE， ∵PR＝PC×sinC=y=x+， ∴x+=3-x， ∴x=，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，则四边形PHER是矩形， ∴PH＝RE，EH＝PR， ∵CR＝CP•cosC=y=x+1， ∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ， ∴∠EQR＝∠ERQ＝45°， ∴∠PQH＝45°＝∠QPH， ∴HQ＝HP＝3﹣x，由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）=x+， ∴x=，综上，x的值为或； （来源：2026春•建邺区校级月考） 27．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点D是BC中点，点P从点C出发，沿CA向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接PD，QD，PQ，将△PQD绕点D旋转180°得△RTD，连接PT，QR．设运动时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题： （1）当t为何值时，RT∥BC？（2）当t为何值时，四边形PQRT是菱形？（3）设四边形PQRT的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在△ABC的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接PQ、QR、PT，由旋转知：DP＝DR，DQ＝DT， ∴四边形PQRT为平行四边形，当TR∥BC时，则 PQ∥BC， ∴=， ∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB==10cm，依题意得：AQ＝3tcm，CP＝2tcm， ∴AP＝（6﹣2t）cm，BQ＝（10﹣3t）cm， ∴=， ∴60﹣20t＝18t， ∴38t＝60， ∴t=，当t=时，RT∥BC； （2）由（1）知，四边形PQRT为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形知，当DP⊥DQ，即∠PDQ＝90°时，平行四边形PQRT为菱形，过Q作QN⊥BC于N， ∴∠QND＝90°， ∴∠QDN+∠DQN＝90°， ∵∠PDQ＝90°， ∴∠PDC+∠QDN＝90°， ∴∠PDC＝∠DQN， ∵∠PCD＝∠DNQ＝90°， ∴△PCD∽△DNQ， ∴=①， ∵∠BNQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B， ∴△BNQ∽△BCA， ∴==，即==， ∴QN=（10﹣3t）cm，BN=（10﹣3t）cm， ∴CN＝BC﹣BN＝8﹣8+t（cm）， ∴DN＝CN﹣CD=t﹣4（cm），由①等式知：=， ∴6t-t2=t﹣8， ∴30t﹣9t2＝24t﹣40， ∴9t2﹣6t﹣40＝0， ∴t==，舍去负根， ∴t=，检验t=是原方程的根， ∴t=； （3） ∵四边形PQRT为平行四边形， ∴S▱PQRT＝2S△PQR＝4S△PDQ，过P作PM⊥AQ于M，过点Q作QN⊥BD于N，由（2）知QN＝（6-t）cm，在Rt△APM中，AP＝（6﹣2t）（cm）， ∴PM＝AP•sinA＝（6﹣2t）×=-t（cm）， ∴S△PDQ＝S△ABC﹣S△PCD﹣S△APQ﹣S△BDQ=×6×8-×2t×4-×3t×（-t）-×4×（6-t）＝24﹣4t-t+t2-12+t=t2-t+12， ∴y＝4S△PDQ=t2-t+48（0＜t＜3）； （4）过C作CH⊥AB于H， ∴CH×AB＝AC×BC＝2S△ABC， ∴CH==cm，连接CT， ∵QD＝DT，CD＝DB，∠CDT＝∠BDQ， ∴△CDT≌△BDQ（SAS）， ∴∠B＝∠DCT， ∴CT∥BA， ∴当Q在AB上运动时，T也在过C点与AB平行的直线上运动，取AB中点O连OC作OM⊥CT于M，则四边形OHCM为矩形，OM＝CH，若T在△ABC的外接圆上，则OT＝OC=AB＝5cm， ∵OM⊥CT， ∴CM＝MT， 又 ∵CM===， ∴CT＝2MC=， ∵△BQD≌△CPD， ∴CT＝BQ=cm，即10﹣3t=， ∴t=，即当t=时，T在△ABC的外接圆上． （来源：2026•市北区校级开学） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十九章 圆 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列结论错误的是（　　） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】C 【解答】解：A、圆是轴对称图形，原说法正确，不符合题意；B、圆是中心对称图形，原说法正确，不符合题意；C、半圆是弧，原说法错误，符合题意；D、直径是圆中最长的弦，原说法正确，不符合题意；故选：C． （来源：2025秋•宜昌期末） 2．（3分）如图所示，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：圆中的弦有：BC、CE，共两条，故选：A． （来源：2026秋•宿城区校级月考） 3．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以5cm长为半径 C．以点O为圆心，5cm长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：圆心确定，半径确定后才可以确定唯一一个圆，故选：C． （来源：2025秋•固原校级期中） 4．（3分）如图，点O是△ABC的外心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 【答案】D 【解答】解：由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝2×70°＝140°，故选：D． （来源：2025秋•泰兴市期中） 5．（3分）已知AB＝7cm，则过点A，B，且半径为2cm的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【解答】解： ∵AB＝7cm，半径为2cm的圆的直径为4cm，4＜7， ∴A，B两点，且半径为2cm的圆没有．故选：A． （来源：2025秋•新沂市校级月考） 6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则弧CDE的长是（　　） A．3π B．π C．4π D．5π 【答案】C 【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE， ∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6， ∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3， ∴弧CDE的长是=4π．故选：C． （来源：2026•西湖区校级模拟） 7．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【解答】解：A、错误．弧是圆上两点间的部分．B、如图，弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误；C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径；故错误．D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确；故选：D． （来源：2025秋•新会区期末） 8．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8，那么球的半径长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：过O点作MN⊥EF，垂足为M，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EF＝CD＝MN＝8．设OF＝x，则OM＝8﹣x，MF＝4，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，即球的半径为5．故选：B． （来源：2026•榆树市模拟） 9．（3分）若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为16π，则它的母线长为 ． 【答案】 【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得•2π•3•l＝16π，解得l=，即圆锥的母线长为．故答案为． （来源：2026•雨花区校级二模） 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 ． 【答案】9π 【解答】解：连接OB、OC，如图： ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC, ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC, ∴△ABC外接圆的圆心是O，半径是OA,而OA＝3， ∴△ABC外接圆的面积为π•32＝9π，故答案为：9π． （来源：2026春•新城区校级月考） 11．（3分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm． 【答案】6π 【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×=6π（cm）．故答案为6π． （来源：2026•襄城区校级模拟） 12．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径约为 m（结果保留整数） 【答案】28 【解答】解：如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于点D，由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为Rm， ∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m， ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AD＝BD=AB=（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2， ∴（+（R﹣7）2＝R2，解得R=≈28（m）．故答案为：28． （来源：2026春•宝安区校级月考） 13．（3分）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 ． 【答案】1：2 【解答】解：设这个圆的半径为r，则×2πr：×2πr＝1：2．故答案为：1：2． （来源：2026春•上海校级期中） 14．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝15cm，分别以A、C为圆心，以AB的长为半径作圆，从Rt△ABC中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为 cm2．（结果保留π） 【答案】（45﹣9π） 【解答】解：如图， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ABD﹣S扇形CEF=×6×15- ＝（45﹣9π）cm2，故答案为：（45﹣9π）． （来源：2025秋•江阴市校级月考） 15．（3分）如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（的圆得到图③…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积是 ． 【答案】（1-12n-1）π 【解答】解：图②中阴影部分的面积为：π×12﹣π×（×2＝π-π＝（1-）π=π；图③中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（]2×22＝π-π＝（1-）π=π；图④是半径为1的圆，在其中挖去23个半径为（的圆得到的，则图④中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（]2×23＝π-π＝（1-）π=π；…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（﹣1]2×2n﹣1＝π-π＝（1-）π．故答案为：（1-）π． （来源：2026•衡东县自主招生） 16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】2+π6 【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′===，CD的长l==， ∴阴影部分周长的最小值为+．故答案为：+． （来源：2025秋•东营区期末） 17．（6分）求下列图形阴影部分的面积． （1） （2） 【答案】见解析 【解答】解： （1）8÷2＝4（cm），×42π-×4×4＝（8π﹣8）（cm2）， ∴阴影部分的面积是（8π﹣8）cm2． （2）（2×2）2﹣22π＝（16﹣4π）（dm2）， ∴阴影部分的面积是（16﹣4π）dm2． （来源：2025秋•明水县期末） 18．（6分）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线． （1）求证：∠DAB＝∠DCE； （2）若∠DAB＝65°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∵∠DCE+∠DCB＝180°， ∴∠DAB＝∠DCE； （2）解： ∵∠ACB＝70°， ∴∠ADB＝∠ACB＝70°， ∴∠ABD＝180°﹣65°﹣70°＝45°． （来源：2025秋•盐都区期末） 19．（6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解答】解：①分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于D、E两点，连接DE；②分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于G、F两点，连接GF；③直线DE与GF相交于点O，以O为圆心，以OA的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置． （来源：2025春•莱西市校级月考） 20．（6分）如图，已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的．（π取3.14） （1）求阴影部分的周长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的．阴影部分的周长由弧BI、弧DI、弧BD长组成；已知n＝90°，r＝1，R＝2，弧BI的长===，弧DI的长===，弧BD的长===π，则阴影部分的周长=++π=2π=6.28； （2）阴影部分的面积是一个大扇形（BCD），加上一个小扇形（BFI），再去掉一个小扇形（DHI），去掉两个小的正方形（HIGC、BFIG），即大扇形的面积减去长方形BFHC的面积，扇形BCD的面积===π，长方形BFHC＝BF×BC＝2，阴影部分的面积＝π﹣2＝1.14． （来源：2026春•浦东新区校级期中） 21．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC＝60°，求弧BC的长度． （2）连接BD，求证：DE＝DB． 【答案】见解析 【解答】（1）解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示： ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴弧BC的长度==π． （2）证明：连接BE，如图2所示： ∵E是△ABC的内心， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠DEB＝∠1+∠3，∠DBE＝∠4+∠5∠5＝∠2， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝DB． （来源：2025秋•蓬江区校级期中） 22．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴，解得，， ∴BC＝2a＝3． （来源：2025秋•邗江区校级月考） 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC． （1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB． （2）求证：①AB∥EF．②AD＝EF． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵AC是圆的直径， ∴∠ABC＝90°，由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠CFE＝30°， ∴∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°； （2）证明：① ∵∠CFE＝∠BDC，∠BDC＝∠CAB， ∴∠BAC＝∠CFE， ∴AB∥EF；②如图，在ADC上取一点P，使AP＝BC，则AP=BC， ∴∠ADP＝∠BDC， ∴∠ADP＝∠CFE， ∵∠APD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ECF＝180°， ∴∠APD＝∠ECF， ∵CE＝BC，BC＝AP， ∴AP＝EC，在△ECF和△APD中，， ∴△ECF≌△APD（AAS）， ∴EF＝AD． （来源：2025秋•界首市期末） 24．（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，BC的延长线交△ADC的外接圆于点E，作AF∥BE交AEC于点F，连结DF交AC于点M，记k=．【认识图形】求证：∠ACB＝∠CDF．【探索关系】求证：DF＝kAC．【问题解决】若点M与点E关于CF对称．①当=时，求k的值．②求k的最大值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，连接AF，延长FH交 AB于点T，设圆F的半径为rcm，由题意可知，FT⊥AB， ∴∠AHF＝90°，AH=BH=AB， ∵AB=DC， ∴弓形高EG＝TH＝2cm，AB＝CD＝8cm， ∴AH=AB=4cm，FH＝FT﹣TH＝（r﹣2）cm，在直角△AFH中，AF2＝FH2+AH2， ∴r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5， ∴FH＝r﹣2＝3cm．答：圆心F 到AB的距离为3cm． （2）如图，延长QM，KO交于点W，由题意可知，OK∥PR，∠OSN＝90°，在直角△OSK中，cos∠NOS=， ∴OS＝ON•cos∠NOS＝10×cos20°≈9.40cm， ∵OQ由ON绕点O顺时针旋转90°得到， ∴ON＝OQ＝10cm，∠QON＝90°， ∴∠QOW＝180°﹣∠QON﹣∠NOS＝70°， ∵QM⊥PR，OK∥PR， ∴∠NMW＝∠W＝90°， ∴∠OQW＝180°﹣∠W﹣∠QOW＝20°，在直角△OQW中，sin∠OQW=， ∴OW＝OQ•sin∠OQW＝10×sin20°≈3.42cm， ∵∠OSN＝∠NMW＝∠W＝90°， ∴四边形NSWM是矩形， ∴MN＝WS＝OW+OS＝12.82≈12.8cm．答：MN的长度约为12.8cm． （来源：2025秋•滨江区校级月考） 25．（10分）材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】变强 【解答】解： （1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，故答案为：变强； （3）∠CAD＝2∠BAC，理由如下：连接OA，则：OA＝OB， ∴∠ABC＝∠OAB， ∵AD为切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAB+∠BAD＝90°， ∵BC⊥AC， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝∠OAB， ∴∠BAD＝∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC； （4） ∵水滴弧的长度为：l=， ∴=n， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． （来源：2026春•江阴市校级月考） 26．（10分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3．点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足=．设BQ＝x，CP＝y． （1）求半圆O的半径． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．当△PQR为直角三角形时，求x的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图1，连接OD，设半径为r， ∵CD切半圆于点D， ∴OD⊥CD， ∵BE⊥CD， ∴OD∥BE， ∴△COD∽△CBE， ∴=， ∴=，解得r=， ∴半圆O的半径为； （2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×=， ∵=，BQ＝x， ∴AP=x， ∴CP＝AP+AC， ∴y=x+； （3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形， ∴PR＝QE， ∵PR＝PC×sinC=y=x+， ∴x+=3-x， ∴x=，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，则四边形PHER是矩形， ∴PH＝RE，EH＝PR， ∵CR＝CP•cosC=y=x+1， ∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ， ∴∠EQR＝∠ERQ＝45°， ∴∠PQH＝45°＝∠QPH， ∴HQ＝HP＝3﹣x，由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）=x+， ∴x=，综上，x的值为或； （来源：2026春•建邺区校级月考） 27．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点D是BC中点，点P从点C出发，沿CA向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接PD，QD，PQ，将△PQD绕点D旋转180°得△RTD，连接PT，QR．设运动时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题： （1）当t为何值时，RT∥BC？（2）当t为何值时，四边形PQRT是菱形？（3）设四边形PQRT的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在△ABC的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接PQ、QR、PT，由旋转知：DP＝DR，DQ＝DT， ∴四边形PQRT为平行四边形，当TR∥BC时，则 PQ∥BC， ∴=， ∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB==10cm，依题意得：AQ＝3tcm，CP＝2tcm， ∴AP＝（6﹣2t）cm，BQ＝（10﹣3t）cm， ∴=， ∴60﹣20t＝18t， ∴38t＝60， ∴t=，当t=时，RT∥BC； （2）由（1）知，四边形PQRT为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形知，当DP⊥DQ，即∠PDQ＝90°时，平行四边形PQRT为菱形，过Q作QN⊥BC于N， ∴∠QND＝90°， ∴∠QDN+∠DQN＝90°， ∵∠PDQ＝90°， ∴∠PDC+∠QDN＝90°， ∴∠PDC＝∠DQN， ∵∠PCD＝∠DNQ＝90°， ∴△PCD∽△DNQ， ∴=①， ∵∠BNQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B， ∴△BNQ∽△BCA， ∴==，即==， ∴QN=（10﹣3t）cm，BN=（10﹣3t）cm， ∴CN＝BC﹣BN＝8﹣8+t（cm）， ∴DN＝CN﹣CD=t﹣4（cm），由①等式知：=， ∴6t-t2=t﹣8， ∴30t﹣9t2＝24t﹣40， ∴9t2﹣6t﹣40＝0， ∴t==，舍去负根， ∴t=，检验t=是原方程的根， ∴t=； （3） ∵四边形PQRT为平行四边形， ∴S▱PQRT＝2S△PQR＝4S△PDQ，过P作PM⊥AQ于M，过点Q作QN⊥BD于N，由（2）知QN＝（6-t）cm，在Rt△APM中，AP＝（6﹣2t）（cm）， ∴PM＝AP•sinA＝（6﹣2t）×=-t（cm）， ∴S△PDQ＝S△ABC﹣S△PCD﹣S△APQ﹣S△BDQ=×6×8-×2t×4-×3t×（-t）-×4×（6-t）＝24﹣4t-t+t2-12+t=t2-t+12， ∴y＝4S△PDQ=t2-t+48（0＜t＜3）； （4）过C作CH⊥AB于H， ∴CH×AB＝AC×BC＝2S△ABC， ∴CH==cm，连接CT， ∵QD＝DT，CD＝DB，∠CDT＝∠BDQ， ∴△CDT≌△BDQ（SAS）， ∴∠B＝∠DCT， ∴CT∥BA， ∴当Q在AB上运动时，T也在过C点与AB平行的直线上运动，取AB中点O连OC作OM⊥CT于M，则四边形OHCM为矩形，OM＝CH，若T在△ABC的外接圆上，则OT＝OC=AB＝5cm， ∵OM⊥CT， ∴CM＝MT， 又 ∵CM===， ∴CT＝2MC=， ∵△BQD≌△CPD， ∴CT＝BQ=cm，即10﹣3t=， ∴t=，即当t=时，T在△ABC的外接圆上． （来源：2026•市北区校级开学） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十九章 圆 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十九章 圆 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列结论错误的是（　　） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 2．（3分）如图所示，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以5cm长为半径 C．以点O为圆心，5cm长为半径 D．以上都不对 4．（3分）如图，点O是△ABC的外心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 5．（3分）已知AB＝7cm，则过点A，B，且半径为2cm的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则弧CDE的长是（　　） A．3π B．π C．4π D．5π 7．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 8．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8，那么球的半径长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为16π，则它的母线长为 　　　　 ． 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 　　　　 ． 11．（3分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 　　　　 cm． 12．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径约为 　　　　 m（结果保留整数） 13．（3分）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 　　　　 ． 14．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝15cm，分别以A、C为圆心，以AB的长为半径作圆，从Rt△ABC中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为 　　　　 cm2．（结果保留π） 15．（3分）如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（的圆得到图③…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积是 　　　　 ． 16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）求下列图形阴影部分的面积． （1） （2） 18．（6分）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线． （1）求证：∠DAB＝∠DCE； （2）若∠DAB＝65°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． 19．（6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 20．（6分）如图，已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的．（π取3.14） （1）求阴影部分的周长； （2）求阴影部分的面积． 21．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC＝60°，求弧BC的长度． （2）连接BD，求证：DE＝DB． 22．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC． （1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB． （2）求证：①AB∥EF．②AD＝EF． 24．（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，BC的延长线交△ADC的外接圆于点E，作AF∥BE交AEC于点F，连结DF交AC于点M，记k=． 【认识图形】求证：∠ACB＝∠CDF． 【探索关系】求证：DF＝kAC． 【问题解决】若点M与点E关于CF对称．①当=时，求k的值．②求k的最大值． 25．（10分）材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而　　　　 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 26．（10分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3．点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足=．设BQ＝x，CP＝y． （1）求半圆O的半径． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．当△PQR为直角三角形时，求x的值． 27．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点D是BC中点，点P从点C出发，沿CA向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接PD，QD，PQ，将△PQD绕点D旋转180°得△RTD，连接PT，QR．设运动时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题： （1）当t为何值时，RT∥BC？ （2）当t为何值时，四边形PQRT是菱形？ （3）设四边形PQRT的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在△ABC的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十九章 圆 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章 圆 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十九章 圆 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列结论错误的是（　　） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦 2．（3分）如图所示，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以5cm长为半径 C．以点O为圆心，5cm长为半径 D．以上都不对 4．（3分）如图，点O是△ABC的外心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 5．（3分）已知AB＝7cm，则过点A，B，且半径为2cm的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则弧CDE的长是（　　） A．3π B．π C．4π D．5π 7．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．弧是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．在圆中直角所对的弦是直径 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 8．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8，那么球的半径长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为16π，则它的母线长为 　　　　 ． 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 　　　　 ． 11．（3分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 　　　　 cm． 12．（3分）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径约为 　　　　 m（结果保留整数） 13．（3分）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 　　　　 ． 14．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝15cm，分别以A、C为圆心，以AB的长为半径作圆，从Rt△ABC中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为 　　　　 cm2．（结果保留π） 15．（3分）如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（的圆得到图③…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积是 　　　　 ． 16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）求下列图形阴影部分的面积． （1） （2） 18．（6分）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线． （1）求证：∠DAB＝∠DCE； （2）若∠DAB＝65°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． 19．（6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 20．（6分）如图，已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的．（π取3.14） （1）求阴影部分的周长； （2）求阴影部分的面积． 21．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC＝60°，求弧BC的长度． （2）连接BD，求证：DE＝DB． 22．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 23．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC． （1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB． （2）求证：①AB∥EF．②AD＝EF． 24．（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，BC的延长线交△ADC的外接圆于点E，作AF∥BE交AEC于点F，连结DF交AC于点M，记k=． 【认识图形】求证：∠ACB＝∠CDF． 【探索关系】求证：DF＝kAC． 【问题解决】若点M与点E关于CF对称．①当=时，求k的值．②求k的最大值． 25．（10分）材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而　　　　 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 26．（10分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3．点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足=．设BQ＝x，CP＝y． （1）求半圆O的半径． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．当△PQR为直角三角形时，求x的值． 27．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点D是BC中点，点P从点C出发，沿CA向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接PD，QD，PQ，将△PQD绕点D旋转180°得△RTD，连接PT，QR．设运动时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题： （1）当t为何值时，RT∥BC？ （2）当t为何值时，四边形PQRT是菱形？ （3）设四边形PQRT的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在△ABC的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $