第二十九章 圆 单元自测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 圆 单元自测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．在⊙O中，最长的弦是（　　） A．半径 B．直径 C．弧 D．弦心距 2．下列图形中，对称轴最多的是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．圆 D．正六边形 3．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若AB=8，OD=3，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．下列说法正确的有（    ） （1）同一条弦所对的两条弧一定是等弧； （2）平分一条弦的直径必然垂直这条弦； （3）任意一个三角形有且只有一个外接圆； （4）在圆中直角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 6．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．如图，在中， ，过点A作AE⊥BC于点E，且AE=2CE，过点A，C，交边于点D，且 ，则的长为（    ） A．2 B．4 C．2 D．4 8．如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．3 9．在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角∠ACB的度数为（　　） A．40° B．80° C．160° D．20° 10．下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．在⊙O中，同一条弦所对的两个圆周角（分别在弦的两侧）之和为__________°． 12．若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角是__________． 13．圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为__________． 14．已知的直径是6，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在的__________（填“内部”、“外部”、“上”） 15．正六边形的外接圆半径为4，则正六边形的边长为__________． 三、解答题（共8题，共65分） 16．（7分）已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． (1)求扇形的弧长； (2)求扇形的面积． 17．（7分）已知等边三角形ABC的边长为4，求它的外接圆半径． 18．（8分）AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径． (1)求证：四边形ACBD是正方形； (2)若⊙O的半径为3，求四边形ACBD的周长． 19．（8分）如图，已知的两条弦相交于点E，连接，且．求证：． 20．（8分）在⊙O中，弦AB所对的圆心角为120°，半径长为6，求弦AB的长． 21．（8分）如图，点A、B、C在⊙O上，且弧AB=弧BC=弧CA． (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若⊙O的半径为4，求△ABC的边长． 22．（9分）已知线段的长是，试用阴影部分表示到点的距离不小于，且到点的距离小于的点的集合． 23．（10分）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第二十九章 圆 单元自测卷 参考答案 1. 【答案】B 解题步骤： ① 圆中所有弦都经过圆内，长度最大不超过直径。 ② 直径是经过圆心的弦，长度为半径的2倍，是圆中最长的弦。 ③ 故选B。 【知识点睛】圆的概念：直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦；半径是圆心到圆上任意一点的距离。 2. 【答案】C 解题步骤： ① 等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴。 ② 圆有无数条对称轴（任何一条直径所在直线都是对称轴）。 ③ 所以对称轴最多的是圆，故选C。 【知识点睛】圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 3. 【答案】B 解题步骤： ① 半径OC垂直于弦AB，由垂径定理得AD=BD=AB=4。 ② 连接OA，在Rt△OAD中，OD=3，AD=4，由勾股定理得OA==5。 ③ 所以⊙O的半径为5，故选B。 【知识点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。已知弦长和弦心距求半径，连接圆心与弦的一个端点，用勾股定理求解。 4. 【答案】A 解题步骤： ① (1)同一条弦所对的两条弧不一定是等弧（除非这条弦是直径），原说法错误。 ② (2)平分弦的直径垂直这条弦，需补充“弦不是直径”这一条件，原说法不严谨，错误。 ③ (3)任意一个三角形有且只有一个外接圆，原说法正确。 ④ (4)应说“90°的圆周角所对的弦是直径”，“直角”表述不准确，原说法错误。 ⑤ 正确的只有(3)，共1个，故选A。 【知识点睛】圆的性质辨析：等弧必须在同圆或等圆中；垂径定理中“平分弦的直径垂直弦”要求弦不是直径；任意三角形有且只有一个外接圆；90°的圆周角所对的弦是直径。 5. 【答案】C 解题步骤： ① A：过圆心的弦是直径，而“过圆心的直线”不是弦，A错误。 ② B：直径是弦，但弦不一定是直径（只有经过圆心的弦才是直径），B错误。 ③ C：半圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，C正确。 ④ D：只有在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，D错误。故选C。 【知识点睛】圆的概念辨析：直径是过圆心的弦；弦不一定经过圆心；半圆是轴对称图形；等弧要求在同圆或等圆中且长度相等。 6. 【答案】D 解题步骤： ① 由折叠可知DE=DA，所以点E在以点D为圆心、DA为半径的圆上运动。 ② 连接DF，由两点之间线段最短，当D、E、F三点共线时EF最小，此时EF=DF−DE=1，即DF=DE+1=DA+1。 ③ 设BC=AD=2x，则CF=BC=x；在Rt△DCF中，CD=AB=2，DF=DA+1=2x+1。 ④ 由勾股定理(2x+1)²=(2)²+x²，展开得3x²+4x−39=0，解得x=3（x=舍去），BC=2x=6，故选D。 【知识点睛】折叠+动点最值：折叠对应线段相等（DE=DA），点E的轨迹是圆；两点之间线段最短，共线时EF最小；设未知数用勾股定理列方程求解，注意检验根的合理性。 7. 【答案】B 解题步骤： ① 由题干，AE⊥BC于点E。∵AD=AC（已知），∴△ACD是等腰三角形，由等腰三角形三线合一，得E是CD的中点，AE垂直平分CD，CD=2CE。 ② 在Rt△ABE中，∠B=45°，△ABE是等腰直角三角形，AE=BE=AB/==4。 ③ 由题干 AE=2CE，得 CE===2。 ④ 所以CD=2CE=4，故选B。 【知识点睛】圆与三角形综合：由等弦推等腰三角形，用“三线合一”得垂直平分；在直角三角形中用等腰直角三角形性质与已知边比求线段长。 8. 【答案】C 解题步骤： ① ∵CD是直径，所以∠CBD=90°（直径所对的圆周角是直角）。 ② ∵点B是弧CD的中点，所以BC=BD，△BCD是等腰直角三角形。 ③ 由∠ABC=30°（圆周角），得弧AC=60°，所对圆心角∠AOC=60°；又OA=OC，所以△AOC是等边三角形，r=OA=OC=AC=3，直径CD=2r=6； ④ 由勾股定理CD==×BC，得6=×BC，BC==3，故选C。 【知识点睛】直径所对的圆周角是直角；弧的中点平分弧，对应的弦相等。等腰直角三角形中斜边=直角边×。 9. 【答案】A 解题步骤： ① 圆周角定理：同弧（或等弧）所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ② 弦AB所对的圆心角∠AOB=80°，所对的圆周角∠ACB=×80°=40°。 ③ 故选A。 【知识点睛】圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。解题关键是识别哪条弧对应圆心角和圆周角。 10. 【答案】B 解题步骤： ① 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长。 ② 四个选项中，B是扇形。 ③ 故选B。 【知识点睛】圆锥的侧面展开图是扇形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的底面是圆。 11. 【答案】180 解题步骤： ① 一条弦把圆分成两条弧，弦两侧的圆周角分别对着这两条弧。 ② 这两个圆周角所对的弧合起来是整圆（360°），由圆周角定理，两角之和=×360°=180°。 ③ 所以同一条弦所对的两个圆周角之和为180°。 【知识点睛】同弦两侧的两个圆周角互补（和为180°）。也可理解为圆内接四边形对角互补的特殊情形。 12. 【答案】135° 解题步骤： ① 圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长：2πr=。 ② 代入r=30，l=80，得n=360°×=360°×=135°。 ③ 所以侧面展开图的圆心角为135°。 【知识点睛】圆锥侧面展开图是扇形：扇形的弧长等于底面圆的周长 2πr，由此得圆心角 n=360°×（l 为母线长）。先列弧长等式，再代入半径与母线长求解。 13. 【答案】15π 解题步骤： ① 圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长。 ② S侧=πrl=π×3×5=15π。 ③ 所以圆锥的侧面积为15π。 【知识点睛】圆锥侧面积公式：S侧=πrl（r为底面半径，l为母线长）。圆锥的全面积=πrl+πr²。 14. 【答案】外部 解题步骤： ① 解方程x²−4x−12=0，因式分解得(x−6)(x+2)=0，解得x=6或x=−2。 ② 距离d取正值，所以d=6。 ③ ⊙O的直径是6，半径r=3；d=6>r=3，所以点P在⊙O的外部。 【知识点睛】点与圆的位置关系：d<r在圆内，d=r在圆上，d>r在圆外。求d时先解方程，取符合实际意义的正根。 15. 【答案】4 解题步骤： ① 正六边形中心角=360°÷6=60°，每条边对应一个60°的圆心角。 ② 正六边形的边长与半径围成等边三角形（半径+半径+边，夹角60°）。 ③ 所以正六边形的边长等于外接圆半径4。 【知识点睛】正多边形与圆：正六边形的中心角为60°，相邻顶点与圆心构成等边三角形，所以正六边形边长=外接圆半径。 16. 【答案】(1)4πcm；(2)12πcm² 解题步骤： ① (1)弧长公式：l=，代入n=120°，r=6cm，得l=120×π×=4πcm。 ② (2)扇形面积公式：S=nπr²/360=120×π×=12πcm²。 ③ (2)也可用S=lr=×4π×6=12πcm²验证。 【知识点睛】弧长公式l=；扇形面积公式S=或S=lr（l为弧长）。代入圆心角和半径直接计算。 17. 【答案】 解题步骤： ① 等边三角形ABC的外接圆圆心是三条高的交点，也是重心，外接圆半径R=×高。 ② 等边三角形的高h=×a=×4=2。 ③ 外接圆半径R=×h=×2==。 【知识点睛】等边三角形的外接圆半径R=a（a为边长）：R=×高，高=×a。内心、外心、重心三心重合。 18. 【答案】(1)见解析；(2)12 解题步骤： ① (1)OA=OB=OC=OD=r，且∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°。 ② (1)AC=CB=BD=DA==（勾股定理），四边形ACBD四条边相等；又∠ACB=90°（直径所对圆周角）。 ③ (1)四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形。 ④ (2)r=3时，边长=3，周长=4×3=12。 【知识点睛】两条互相垂直的直径把圆分成四个直角扇形，顺次连接四个端点是正方形。判定：先证四边相等（菱形），再加一个直角。 19. 【答案】见解析 解题步骤： ① 由AB=CD（弦相等），得弧AB=弧CD（同圆中弦等则弧等）。 ② 等式两边同时加上弧BC，得弧AB+弧BC=弧CD+弧BC，即弧AC=弧BD。 ③ 等弧所对的弦相等，所以AC=BD。 【知识点睛】同圆或等圆中：弦相等⇔所对的弧相等。证明两条弦相等，可转化为证它们所对的弧相等，利用“等量加等量”找等弧。 20. 【答案】6 解题步骤： ① 在⊙O中，OA=OB=6，∠AOB=120°。 ② 作OC⊥AB于点C，由垂径定理AC=BC，且OC平分∠AOB，∠AOC=60°。 ③ 在Rt△AOC中，∠AOC=60°，∠OAC=30°，30°所对的直角边OC=OA=3，AC===3。 ④ 所以AB=2AC=6。 【知识点睛】已知圆心角求弦长：作弦心距把圆心角平分，在直角三角形中用30°直角三角形的性质（30°所对直角边=斜边一半）和勾股定理求半弦长。 21. 【答案】(1)等边三角形；(2)边长4 解题步骤： ① (1)弧AB=弧BC=弧CA，同圆中等弧所对的弦相等，所以AB=BC=CA。 ② (1)三边相等的三角形是等边三角形，所以△ABC是等边三角形。 ③ (2)弧AB=弧BC=弧CA，把圆周分成三等份，每份圆心角120°；弦AB所对圆心角120°。 ④ (2)作OC⊥AB，在Rt△AOC中OA=4，∠AOC=60°，AC===2，AB=4。 【知识点睛】等弧⇔等弦：把圆三等分的三个点构成等边三角形。等边三角形外接圆半径R与边长a满足a=。 22. 【答案】见解析 解题步骤： ① 以点A为圆心、3cm为半径画圆，圆内及圆上的点到A的距离都不大于3cm，圆外的点到A的距离大于3cm。 ② 以点B为圆心、2cm为半径画圆，圆内的点到B的距离小于2cm。 ③ 所求的点集是：在⊙A外且在⊙B内的部分，即阴影部分为⊙A外与⊙B内的公共区域。 【知识点睛】用圆表示点集：到定点距离等于定长的点在圆上，小于定长在圆内，大于定长在圆外。多个条件用多个圆划分区域后取交集。 23. 【答案】(1)25m；(2)需要提前增加货物，至少增加120吨 解题步骤： ① (1)设桥拱圆弧所在圆的半径为xm，圆心为O，由垂径定理，拱高所在直线平分弦，设OM=OQ=x，OP=x−10。 ② (1)在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，即(x−10)²+20²=x²，解得x=25。 ③ (2)设EF=AB=14m，连接OE，在Rt△OEG中，EG=7，OE=25，得OG==24，所以拱顶到EF的竖直距离=25−24=1m。 ④ (2)船顶到EF的竖直距离=15−13.2−1=0.8m＜2m，不能安全通过，需要增加货物使船身下降； ⑤ (2)安全距离为2m，需下降2−0.8=1.2m；每增加10吨船身下降0.1m，1.2÷0.1×10=120（吨），所以至少增加120吨。 【知识点睛】垂径定理的实际应用（拱桥问题）：建直角模型，用“半径−拱高”表示弦心距，勾股定理列方程求半径；安全通过需满足船高与拱顶间距不小于安全值，用下降量与装载量的关系计算。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $