第二十九章 圆 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

人y=冬，得4=合，解得k=8“反比例函数的解析式为y=(2)两个函数图象的 另一交点的坐标为（一2，一4）. 17.解：(1)：抛物线的顶点为(2,3)，∴.设抛物线的函数解析式为y=a(x一2)2十3.将 (4,5)代人，得5=a(4-2)2+3,解得a=号.“抛物线的函数解析式为y=分(x-2)2 十3.（②）：抛物线的函数解析式为y一号（红一2）2+3，∴在抛物线对称轴直线x=2的 左侧，y随x的增大而减小.：一4<一2，y>y2. 18.解：(1)根据题意，得△=(-2m)2-4(m2-m-1)≥0，解得m≥-1.(2)：x1,x2是 方程的两个实数根，.x1十x2=2m,x1x2=m2-m-1.'x1十x2=1一x1x2,.2m=1一 (m2-m-1),解得m1=1,m2=-2.m≥-1，∴.m=1. 19.解：（间题1D230(何题2）设CD段函数解折式为y-二将(24,16)代入，得16 -一会解得=384.y-38当y=24时，x=16,CD段温度为24℃的时刻为16 时.易得AB段函数解析式为y=2x+16.把y=24代人，得24=2x十16，解得x=4, ∴AB段温度为24℃的时刻为4时.16-4=12(h).答：大棚在0-24时内，温度不低于 24℃的时长是12h. 20,解：1抛物线)-2x+红+c的对称轴是直线工=号一2x之-一号解 b 得b=2..y=-2x2+2x十c.把B(2,0)代人，得-8十4十c=0,解得c=4.∴.抛物线的 函数解析式为y=-2x2+2x十4.(2)把x=0代入y=-2x2+2x十4，得y=4.∴.C(0, (2k+t=0, 4).设直线BC的函数解析式为y=kx十t.把B(2,0),C(0,4)代人，得 解得 (t=4, k=一2， .直线BC的函数解析式为y=-2x十4.设点P的坐标为(m,-2m2+2m十 t=4. 4),且0<m<2,则点M的坐标为(m,-2m十4)..PM=MH,.-2m+2m+4= 2(-2m+4),解得m1=1,m2=2(舍去).∴.点P的坐标为(1,4).，C(0,4),.CP=1. ∴S=3CP·p=号×1X4=2. 21.解：(1)①C②k>0(2):抛物线的顶点坐标为(b,c十b),且顶点为该函数图象 上的一个“自对应点”，∴.b=c十b.c=b-b.(3)根据题意，得y=(x一20)(30-x)= 一x2十50x-600.令x=一x2+50x一600，解得x1=25,x2=24,.该函数是“自对应点 函数”.“自对应点”表达的实际意义为：在这段时间内，当每件商品的售价为24元或25 元时，销售利润与其相等. 第二十八章质量评估 1.C2.B3.A4.D5.D6.B7.A8.C9.B10.D 11.(2,-1)12.7213.135°14.1或W3 15.解：(1).点A(a,b)和点B(m,n)关于原点对称，∴.m=一a,n=-b,a十b=2,.m 十n=一a-b=一(a十b)=一2.(2)如图所示. 0 B (第15题图) (第16题图) 16.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)如图，△A2B2C即为所求，A2(一5，一3)， B2(0,-4). 37 17.解：(1)等腰三角形(2)由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD,AC= AE.∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=20,∠ACE=∠AEC=合(180-∠CAE) =20°.CE⊥BD,.∠ECB=90°.∠ACB=∠ECB-∠ACE=70°.∴.∠BAC=180 -∠B-∠ACB=90°. 18.解：(1)(2)如图所示.（答案不唯一） 图① 图② 19.(1)证明：由旋转的性质，得AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°， ·∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF..△ABE≌△ACF(SAS). .BE=CF.(2)解：，四边形ABDF为菱形，.DF=AF=AB=2,DF∥AB.∠AFC =∠ACF=∠BAC=45°.∴.∠CAF=180°-∠AFC-∠ACF=90°.∴.CF= √AC+AF=2√2. 20.解：(1)四边形BEGF为正方形.理由如下：由旋转的性质，得∠F=∠BEC=90°， ∠EBF=90°，BF=BE,∴.∠BEG=180°-∠BEC=90°..四边形BEGF为矩形.又 ,BE=BF,.四边形BEGF为正方形.(2)设正方形BEGF的边长为x,则AF=x十 1,BF=x.在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AF2十BF2=AB,即(x十1)2十x2=52, 解得x=3(负值已舍去)..AF=4.∴.CE=AF=4..CG=CE+GE=7. 21.(1)解：BD=CE.证明如下：由旋转的性质，得AD=AE,∠DAE=60°.：△ABC是 等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE.∴∠BAC-∠CAD=∠DAC- ∠CAD,即∠BAD=∠CAE.∴.△ABD≌△ACE(SAS)..BD=CE.(2)证明：由旋转 的性质，得AD=AE,∠DAE=60°..△ADE是等边三角形.∴.∠ADE=∠AED= 60°.·∠ADB=180°-∠ADE=120°.，△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC= 60°=∠DAE.∴∠BAC-∠CAD=∠DAC-∠CAD,即∠BAD=∠CAE.∴△ABD≌ △ACE(SAS).∴.∠AEC=∠ADB=120°.∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=60°. ∴∠AEB=∠BEC,即EB平分∠AEC.(3)解：4十2√3【解析】连接AE.由旋转的性 质，得AD=DE,∠ADE=60°，∴.△ADE是等边三角形..AE=AD.同(1)可证BD= CE,∴.CAcE=CD+CE+DE=CD+BD+AD=BC+AD=4+AD.当AD⊥BC时， AD的长最小，此时△DCE的周长最小.：△ABC是等边三角形，AD⊥BC,∴.BD= 号BC=2.∴AD=VAB-BD=2V反.：△DCE的周长的最小值为4+2E 第二十九章质量评估 1.C2.D3.A4.D5.D6.D7.D8.C9.A10.B 1.BD是直径12.38°13.214.号x-25 15.(1)证明：AB=CD,.AB=CD..AB-AD=CD-AD,即BD=AC.∠A= ∠B.AD∥BC.(2)解：∠BAC=90°，AB=6,BC=10,.AC=√BC-AB=8. :D是BC的中点，AD=号BC=5.”点B,D,C均在⊙A外，0<<5. 16.解：AB是⊙0的直径，∠ADB=90.AD=AD,∠ABD=∠ACD=30°. .AB=2AD=8cm.∴.⊙O的直径为8cm. 17.证明：连接0A,0C,0D.·∠1=合∠A0D,∠2=合∠C0D.:∠1=∠2， .∠AOD=∠COD.∴.AD=DC.·四边形ABCD内接于⊙O,.∠BAD+∠BCD= 180°.，∠DCE+∠BCD=180°，.∠A=∠DCE.又，AB=CE,.△ABD≌△CED (SAS)..'BD=ED. —38 18.(1)证明：：AC=BD,AC=BD.∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.∴∠A ∠D.(2)解：连接OC,OD.AC⊥BD,.∠AED=90°..∠A=∠ADE=45. ∠C0D=2∠A=90.:⊙0的半径为2,1临=90mX2=元 180 19.解：(1)由题意可知CB=BD=号CD=6m,:0A⊥CD,设半径长为rm在 Rt△OBC中，由勾股定理，得OC=OB2+BC,即2=(r-4.5)2+62,解得r=6.25. 答：这个圆弧形洞口的半径OC的长度为6.25m.(2)100° 20.解：(1)正确.设AB所对的半径为R,CD所对的半径为r,∠COD=∠AOB=n°.由题 意，得R-=d花坛的面积为合马R-合=名··R-之··r=名· 0(R-)=之·需(R+rR-)=号(+需)·d=合4+)d.(2)360 -135°=225°.灯罩的上边缘花边长为25X12=15元(cm),灯罩的下边缘花边长为 180 225xX24=30x(cm),至少需要花边15π十30元=45元(cm).新灯罩所需环保材料的面 180 积为号15x+0)×24-12)+·(受）°-105(cm). 4 21.解：(1)，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°.∠BCD =2∠BAD,.3∠BAD=180°..∠BAD=60°.(2)①过点O作OE⊥BD于点E,连接 OB,OD..BE=DE,∠BOD=2∠BAD=120°，OB=OD=5.∴.∠OBD=∠ODB= 合180-∠B0D)=30.∴0E=号0B=号.在R△B0E中，BE=VOB-0E- 9.BD=2BE=5原.②延长CD至点P,使DF=BC,连接AP,则BC+CD=DF +CD=CF.·'CA平分∠BCD,·∠DCA=∠BCA.易得AB=AD.'∠ABC+∠ADC =180°，∠ADC+∠ADF=180°，.∠ABC=∠ADF..△ABC≌△ADF(SAS).AC =AF,∠DAF=∠BAC.∴.∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+∠BAC=∠BAD= 60°.∴.△ACF为等边三角形.∴.CF=AC.当AC为⊙O的直径时，AC的长最大，此时 BC+CD有最大值，最大值为5×2=10.(3)BC+2CD=√3AB.【解析】延长BC,AD交 于点G,·AC是⊙O的直径，.∠B=∠ADC=90°.∴∠G=90°-∠BAD=30°.∴.AG =2AB,CG=2CD.在Rt△ABG中，由勾股定理，得BG=√AG一AB=√3AB.又 BG=BC+CG,∴.BC+2CD=√3AB. 第三十章质量评估 1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.A8.B9.A10.D 11.212.313.69°14.2或-2或0 15.(1)证明：连接OD.AD平分∠BAC,.∠OAD=∠CAD.,OA=OD,.∠ODA =∠OAD.∴.∠ODA=∠CAD..AG∥OD.∠ODG+∠G=180°.又DG是⊙O的 切线，∠ODG=90°.∠G=180°-∠ODG=90°..DG⊥AG.(2)解：过点C作CD⊥ AB于点D.:∠ACB=90°，AC=5,BC=12,∴AB=V√AC+BC=13.:S△ABC= 合CD·AB=AC,BC,CD=ACBC=0当⊙C与斜边AB有公共点时，7 AB 的取值范围为鹘<<12。 16.解：(1)点M的坐标为(3,2).(2)⊙M与y轴相交.理由如下：由勾股定理，得MA= √12+3z=√10，即⊙M的半径r=√10.，3<√10，∴.⊙M与y轴相交. 17.解：1：正五边形ABCDE内接于⊙0，∠A0C=360×号=144.∠ADC= 名∠A0C-72.(2):∠A0C-14,00的半径为1，扇形A0C(阴影部分)的面积 39第二十九章质量评估 (时间：90分钟满分：100分) 西 一 选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题均有A, B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确) 新 题号 5 6 7 6 9 10 答案 1.已知⊙O的半径为4，若PO=5,则点P与⊙O的位置关系是 ( A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 部 C.点P在⊙O外 D.无法确定 2.如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=100°，则∠E的度数为( A.80° B.60° C.50° D.40° (第2题图) (第5题图) (第6题图) 3.已知线段AB=7,经过A,B两点且直径为5的圆有( A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 4.圆维底面圆的半径为6cm,母线长为10cm,则此圆锥的侧面 时， 积为 ) A.30πcm2 B.40πcm2 C.50πcm D.60πcm2 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,C为BD的中点.若∠A= 50°，则∠CBD的度数为 ( ) 棕 A.50° B.40° C.30° D.25° 6.如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，且AB=CD,OE⊥AB于 的 点E,OF⊥CD于点F,连接OA,OB,OC,OD,则下列结论错 误的是 ( A.AB=CD B.OE=OF C.∠AOB=∠COD D.AC=BC 7.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点O,并且分别与x 轴、y轴相交于A,B两点.已知A(一3,0)，B(0,4),则⊙P的 半径为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2.5 —31 Po A Or (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，若AC=8,BC=6, 根据尺规作图痕迹，则线段AG的长为 A.3√2 B.4√2 C.52 D.102 9.沈括的《梦溪笔谈》是我国古代科技的杰作，其中收录了计算 圆弧长度的“会圆术”.如图，AB是以点O为圆心，OA长为半 径的圆弧，C是AB的中点，CD⊥AB于点B,“会圆术”给出 AB的长L的近似值1'的计算公式1=AB+当OA=2。 ∠AOB=90°时，|l-'I的值为（精确到0.1） ( A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 10.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，AB=6,D是AC上一 动点（不与点A,C重合）.下列结论不一定成立的是 A.DB平分∠ADC B.DA-DC C.当DB最长时，DB=2DC D.⊙O的半径为2√3 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 11.对于圆内接四边形ABCD,要用反证法证明：“如果∠A≠ ∠C,那么BD不是直径”时，第一步应假设 12.如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，且AC=CD,若 ∠ABC=26°，则∠DAB的度数是 (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC,垂足为D,DO的 延长线交⊙O于点E,连接BC.若AC=2√3，DE=3,则BC 的长是 14.如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰 好落在AB上的点C处，则图中阴影部分的面积为 32 三、解答题（本大题共7题，共54分，解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分8分)(1)如图，AB,CD为⊙O内两条相交的弦， 交点为E,且AB=CD.求证：AD∥BC (2)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10,D是 BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A.若点B,D,C 均在⊙A外，求r的取值范围. 16.(本题满分6分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D均在⊙O 上，∠ACD=30°，AD=4cm,求⊙O的直径. 17.(本题满分6分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠1=∠2， 延长BC到点E,使得CE=AB,连接ED.求证：BD=ED. 52.0 —33 18.（本题满分8分)如图，在⊙O中，弦AC,BD相交于点E,连 接AD,已知AC=BD. (1)求证：∠A=∠D; (2)若AC⊥BD,⊙O的半径为2，求CD的长 E D 19.(本题满分8分)如图，某景区要在月亮洞洞口安装装饰灯 带，需要先确定洞口的尺寸和相关角度： (1)测量得洞口（圆孤形）的水平宽度CD约12m,洞高AB 约4.5m(B为CD的中点)，为了定制刚好贴合洞口边缘 的灯带，请计算出这个圆弧形洞口的半径OC的长度； (2)景区计划在洞顶CD上安装1个监控探头M(点M在CD 上)，已知圆心角∠COD=160°，该探头看洞口CD时的 视角∠CMD的度数是 —34— 20.（本题满分8分)【阅读材料】在学习扇形的面积公式时，已知 扇形弧长1，半径为，则扇形面积S=红 【问题探究】(1)某小区设计的花坛形状如图①的阴影部分， 已知AB和CD所在圆心都是点O,AB的长为l1,CD的长 为l2,AC=BD=d,求花坛的面积.甲同学发现扇形面 积类似于三角形面积公式，类比梯形面积公式，他猜想 花坛的面积S=2(化十)d.他的猜想正确吗？如果正 确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由， 【问题解决】(2)乙同学发现家中的台灯灯罩是一个有上底面 无下底面的圆台，如图②，阴影部分为灯罩的侧面展开 图，经测量，OA=24cm,OC=12cm,∠AOB=135°.若 在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），则 至少需要多长的花边？若为台灯更换一种环保材料的 灯罩，则新灯罩所需环保材料的面积为多少平方厘米？ (结果保留π) 灯罩 图① 图② —35 21.(本题满分10分)已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 且∠BCD=2∠BAD. 图① 图② 图③ (1)如图①，求∠BAD的度数. (2)若⊙O的半径为5. ①如图①，连接BD,求BD的长 ②如图②，连接CA,若CA平分∠BCD,求BC十CD的 最大值 (3)如图③，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB,BC,CD 之间的数量关系. 36