专题07勾股定理的简单应用同步培优讲义（重点知识梳理+15大核心题型+分层练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题07勾股定理的简单应用同步培优讲义 ✺知识框架 1.勾股定理的简单应用：实际问题建模（梯子滑动、距离测量、方位）；折叠问题，利用折叠全等，构造直角三角形列方程； 2.立体图形表面最短路径（圆柱、长方体，长方体需分类讨论展开方式）； 3.勾股定理与逆定理综合，先证直角再计算；构造直角三角形求线段、多边形面积。 ✺学习目标 1.能从实际情境抽象直角三角形模型，掌握建模解题步骤，运用方程思想求未知线段。 2.掌握折叠性质，在折叠图形中找到等线段，锁定直角三角形，利用勾股定理列方程计算。 3.掌握立体表面最短路径解法：立体展开为平面，依据两点之间线段最短求解；会对长方体多种展开方案分类讨论。 4.综合运用勾股定理及其逆定理：先用逆定理判定直角，再求线段长、多边形面积。 5.体会建模、转化、方程思想，规范几何解题格式，解决相关综合问题。 ✺知识梳理 知识点一、勾股定理解决实际问题 核心思想：建模，实际问题转化为直角三角形计算。 解题步骤： ①画示意图，标注已知线段； ②找出垂直关系，确定直角三角形； ③设未知边长为x，用含x代数式表示相关线段； ④ 根据勾股定理列方程； ⑤ 解方程，舍去负根，检验作答。 常见模型： 1.梯子模型：梯子长度不变，梯子、墙面、地面构成直角三角形；滑动前后斜边不变，直角边改变。 2.测量模型：构造垂直，形成直角三角形，间接测量不可直接丈量的长度。 3.方位模型：正北、正东互相垂直，常结合逆定理判定直角。 知识点二、折叠问题中的勾股定理 折叠性质：折叠前后图形全等，对应线段、对应角相等。 解题要点： 1.利用折叠找相等线段，等量代换；2.定位含有未知数的直角三角形； 3.设未知数，表达直角三角形三边；4.依据勾股定理列方程求解。 提示：折叠问题的核心难点是线段等量代换。 知识点三、立体图形表面最短路径问题 原理：两点之间，线段最短。 几何体中最短路径基本模型如下： 1.圆柱：沿母线剪开，侧面展开为长方形，底面周长为长方形一条边。 2.长方体：存在多种展开方案，需分别计算路径长度，比较取最小值。 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 知识点四、勾股定理与逆定理综合应用 解题顺序：逆定理证直角 → 勾股定理计算 适用场景：只给边长，无直接直角条件。常连接对角线，将四边形拆分为两个三角形，求面积。 易错提醒 1.使用勾股定理，必须存在垂直关系，无直角不能直接使用。 2.折叠问题找准等线段与目标直角三角形，避免线段代换错误。 3.长方体最短路径要分类计算所有展开方案，不能只算一种。 4.边长为正数，解方程舍去负根，结果要符合实际意义。 5.区分两个定理：判定直角用逆定理；已知直角求边长用勾股定理。 6.立体最短路径沿物体表面，圆柱只能沿侧面剪开，不可穿过内部。 ✺题型精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为．已知点，请按要求设计，使，． (1)在图中，的长为无理数，，的长均为有理数； (2)在图中，的长为有理数，，的长均为无理数； (3)在图中，三边的长均为无理数． 题型2.勾股定理与折叠问题 1．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 3．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，求的面积． 题型3.求旗杆高度 1．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 2．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 3．春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． (1)风筝的垂直高度______米； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 题型4.求梯子滑落高度 1．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 2．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 3．某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯向阳兴趣小组想利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿；第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；已知， 计算过程      请根据上述方案中的内容，计算的长． 题型5.求小鸟飞行距离 1．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 2．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 3．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 题型6.求大树折断前的高度 1．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    3．折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 题型7.解决水杯中筷子问题 1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 3．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 题型8.解决航海问题 1．如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（   ） A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里 2．在某海防观测站的正东方向处有A，B两艘船，A船以的速度往正南方向航行，B船则以的速度向正北方向漂流，则经过____h后，观测站及A，B两船恰好成一个直角三角形． 3．在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） ． 题型9.求河宽 1．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 2．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长_____m（结果精确到）．    3．如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 题型10.求台阶上地毯长度 1．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D．    2．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 3．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 题型11.判断汽车是否超速 1．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 2．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 3．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 题型12.判断是否受台风影响 1．如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 3．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型13.选址使到两地距离相等 1．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 2．如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 3．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 题型14.求最短路径 1．如图，圆柱形水杯高，底面周长为，一只蚂蚁在杯底外壁A点，在水杯内壁离杯顶的B处有一滴蜂蜜，蚂蚁从水杯外壁A处爬行至杯内壁B处．爬行最短路径长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要_____． 3．完成以下问题 (1)如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物点，均在圆柱的外壁，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ） A．   B．    C．    D． (2)这只蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 3．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），判断该车是否符合安全标准并说明理由． ✺分层练习 一、单选题 1．如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（   ） A．10米 B．12米 C．8米 D．16米 2．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 4．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 二、填空题 5．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm． 6．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 7．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 三、解答题 8．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 9．近日，经国务院批复同意，文化和旅游部印发《旅游强国建设“十五五”规划》，郑州入选旅游枢纽城市，洛阳、开封入选重点旅游城市．开封万岁山武侠城热度不断，如图为景区附近新开发的一个停车场．已知． (1)在停车场中开辟一条通道，求的长； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 10．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求，两点之间的距离； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 11．综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 12．如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07勾股定理的简单应用同步培优讲义 ✺知识框架 1.勾股定理的简单应用：实际问题建模（梯子滑动、距离测量、方位）；折叠问题，利用折叠全等，构造直角三角形列方程； 2.立体图形表面最短路径（圆柱、长方体，长方体需分类讨论展开方式）； 3.勾股定理与逆定理综合，先证直角再计算；构造直角三角形求线段、多边形面积。 ✺学习目标 1.能从实际情境抽象直角三角形模型，掌握建模解题步骤，运用方程思想求未知线段。 2.掌握折叠性质，在折叠图形中找到等线段，锁定直角三角形，利用勾股定理列方程计算。 3.掌握立体表面最短路径解法：立体展开为平面，依据两点之间线段最短求解；会对长方体多种展开方案分类讨论。 4.综合运用勾股定理及其逆定理：先用逆定理判定直角，再求线段长、多边形面积。 5.体会建模、转化、方程思想，规范几何解题格式，解决相关综合问题。 ✺知识梳理 知识点一、勾股定理解决实际问题 核心思想：建模，实际问题转化为直角三角形计算。 解题步骤： ①画示意图，标注已知线段； ②找出垂直关系，确定直角三角形； ③设未知边长为x，用含x代数式表示相关线段； ④ 根据勾股定理列方程； ⑤ 解方程，舍去负根，检验作答。 常见模型： 1.梯子模型：梯子长度不变，梯子、墙面、地面构成直角三角形；滑动前后斜边不变，直角边改变。 2.测量模型：构造垂直，形成直角三角形，间接测量不可直接丈量的长度。 3.方位模型：正北、正东互相垂直，常结合逆定理判定直角。 知识点二、折叠问题中的勾股定理 折叠性质：折叠前后图形全等，对应线段、对应角相等。 解题要点： 1.利用折叠找相等线段，等量代换；2.定位含有未知数的直角三角形； 3.设未知数，表达直角三角形三边；4.依据勾股定理列方程求解。 提示：折叠问题的核心难点是线段等量代换。 知识点三、立体图形表面最短路径问题 原理：两点之间，线段最短。 几何体中最短路径基本模型如下： 1.圆柱：沿母线剪开，侧面展开为长方形，底面周长为长方形一条边。 2.长方体：存在多种展开方案，需分别计算路径长度，比较取最小值。 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 知识点四、勾股定理与逆定理综合应用 解题顺序：逆定理证直角 → 勾股定理计算 适用场景：只给边长，无直接直角条件。常连接对角线，将四边形拆分为两个三角形，求面积。 易错提醒 1.使用勾股定理，必须存在垂直关系，无直角不能直接使用。 2.折叠问题找准等线段与目标直角三角形，避免线段代换错误。 3.长方体最短路径要分类计算所有展开方案，不能只算一种。 4.边长为正数，解方程舍去负根，结果要符合实际意义。 5.区分两个定理：判定直角用逆定理；已知直角求边长用勾股定理。 6.立体最短路径沿物体表面，圆柱只能沿侧面剪开，不可穿过内部。 ✺题型精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由同圆半径相等得，在中用勾股定理求，则． 【详解】解：∵以点为圆心、为半径画弧交最上方的网格线于点， ∴． ∵，， ∴， ∴. 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为．已知点，请按要求设计，使，． (1)在图中，的长为无理数，，的长均为有理数； (2)在图中，的长为有理数，，的长均为无理数； (3)在图中，三边的长均为无理数． 【答案】(1)在图中，满足条件的如图： (2)在图中，满足条件的如图： (3)在图中，满足条件的如图： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型2.勾股定理与折叠问题 1．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，即可求解的值． 【详解】解：根据题意得，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故． 2．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， ∴． 3．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，求的面积． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，设，则，对运用勾股定理建立方程求解，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型3.求旗杆高度 1．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 2．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 3．春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． (1)风筝的垂直高度______米； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过作于， 由题意得：，米，米，米， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：设风筝沿方向下降米至点，连接， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线米． 题型4.求梯子滑落高度 1．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 2．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 【答案】4米/ 【分析】由题意可得米，米，，米，利用勾股定理可求得，，根据求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）． 3．某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯向阳兴趣小组想利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿；第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；已知， 计算过程      请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】 【详解】解：由题意得， 中，，， ∴， 解得（负值舍去）； 中，，， ∴， 解得（负值舍去）； ∴． 题型5.求小鸟飞行距离 1．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高14米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选：B． 2．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 3．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 题型6.求大树折断前的高度 1．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 2．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 3．折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 题型7.解决水杯中筷子问题 1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 2．如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 先求出尺，设尺，则芦苇的高度尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇， ∴尺， 设尺，则芦苇的高度尺， ∴， ， 解得：， 即芦苇的高度尺． 故答案为：． 3．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）图1中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型8.解决航海问题 1．如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（   ） A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/小时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：D 2．在某海防观测站的正东方向处有A，B两艘船，A船以的速度往正南方向航行，B船则以的速度向正北方向漂流，则经过____h后，观测站及A，B两船恰好成一个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形，根据勾股定理，建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，O为观测站， 设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形， 由题意得：，，， ∴， 在中，， 在中，； 在中，； ∴， 解得（舍去负值）； 故答案为2． 3．在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 【答案】遥控信号会相互干扰 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是通过设时间为未知数，结合两车距终点的距离和求出行驶时间，再利用勾股定理计算两车距离并判断是否干扰． 设行驶时间为秒，根据两车距的距离之和为列方程求；再利用勾股定理计算此时两车的距离，与比较得出结论． 【详解】解：设行驶时间为秒， 由题意得： ， 解得． 此时，小王的赛车距的距离为（）， 小林的赛车距的距离为（）． 由勾股定理，两车之间的距离为：（）． ∵， ∴遥控信号会相互干扰． 答：遥控信号会相互干扰． 题型9.求河宽 1．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 2．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长_____m（结果精确到）．    【答案】24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 3．如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 题型10.求台阶上地毯长度 1．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    2．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， 购买地毯需花费（元）． 3．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 题型11.判断汽车是否超速 1．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：略． 2．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答． 【详解】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 3．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2) 解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2） 略 题型12.判断是否受台风影响 1．如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 2．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 3．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受台风影响． 理由： 已知，，， 满足， 根据勾股定理逆定理，可得是直角三角形，且． 过点C作于D， 利用直角三角形的面积公式：， 代入数值计算：， 解得． ∵台风影响范围是以内，， 即点C到台风移动路线的最短距离小于台风影响半径， ∴海港C会受台风影响． (2)台风影响该海港的持续时间为7小时． 【分析】（1）首先根据三角形三边长度，用勾股定理逆定理判断的形状，确定为直角过点作的垂线段，利用直角三角形面积的两种计算方法求出到的最短距离，再将该距离与比较，判断海港是否受影响． （2）若受影响，以为圆心、为半径作圆，该圆与交于两点，计算两点间的弦长，再用弦长除以台风速度，得到影响持续时间． 【详解】（1）略． （2）解：设台风中心在上的E点时，（海港C刚进入受影响状态），移动到F点时，（海港C刚脱离受影响状态）， 则就是台风影响海港时台风中心移动的路程． 在中，由勾股定理得： 由等腰三角形三线合一（），可得． 已知台风速度为， 因此影响持续时间为：． 题型13.选址使到两地距离相等 1．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 2．如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 【答案】 6.875 【分析】（1）设，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和，根据建立方程求解即可； （2）利用割补法，用梯形的面积减去和的面积表示出的面积，根据面积范围列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设，则 ， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ，两村到加油站的距离相等 解得 ； （2）由题意得， ， 的面积不小于也不超过 解得 的取值范围是． 3．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 题型14.求最短路径 1．如图，圆柱形水杯高，底面周长为，一只蚂蚁在杯底外壁A点，在水杯内壁离杯顶的B处有一滴蜂蜜，蚂蚁从水杯外壁A处爬行至杯内壁B处．爬行最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过水杯侧面展开图得出矩形，利用轴对称的性质得出最短路径，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：水杯侧面展开图，如图所示，点与点关于直线对称，连接交于点，连接， 此时路径最短，路径为线段的长度， 根据题意得，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴爬行最短路径长为． 2．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要_____． 【答案】 【分析】根据“两点之间线段最短”，将长方体侧面展开，计算线段的长即可． 【详解】解：将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为4cm，点在边上，且， ∴， 根据“两点之间线段最短”得． 【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，解题的关键是展开立体图形，将所求路径转化为两点之间的线段长度． 3．完成以下问题 (1)如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物点，均在圆柱的外壁，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ） A．   B．    C．    D． (2)这只蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【答案】(1)A (2) 【详解】（1）解：沿点所在的竖直线切块后得到一个长方形，与点相对、离上底面的点在长方形中间竖直线上，各个选项中只有A选项符合条件； （2）解：如图：    由题意可得，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴这只蚂蚁需要爬行的最短路程是． 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 2．高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 【答案】5，12，13和9，12，15 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是利用基础勾股数及其倍数规律快速筛选，再通过“最长边优先”原则验证，减少无效计算． 先列出常见基础勾股数及其倍数，与题目中的钢条长度比对，直接锁定符合条件的组合；再按最长边优先原则验证，排除其余组合． 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数． 5，12，13为基础勾股数，故组合5，12，13满足条件． 9，12，15是3，4，5的3倍，故组合9，12，15满足条件． 其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 故答案为：5，12，13 和 9，12，15． 3．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），判断该车是否符合安全标准并说明理由． 【答案】该车符合安全标准． 【分析】利用勾股定理求出，由，可得，则和垂直，该车符合安全标准． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和垂直， ∴该车符合安全标准． ✺分层练习 一、单选题 1．如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（   ） A．10米 B．12米 C．8米 D．16米 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得， 即， 整理得，解得， 即的距离为12米． 2．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 3．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算各线段长度，通过全等判定验证A、C、D选项；对B选项使用反证法，构造截线三角形，依据三角形边长不相等推出内错角不相等，证明两直线不平行，找出错误选项． 【详解】解：设单个小正方形网格边长为 选项A，∵，，， ∵， ∴，故A项正确，不符合题意． 选项B，假设，则 ∵， ∴， ∴，这与矛盾， ∴与不平行．故B项错误，符合题意． 选项C，，故C项正确，不符合题意． 选项D，∵，，． ∴，故D项正确，不符合题意． 4．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 二、填空题 5．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm． 【答案】 【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 6．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 7．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【答案】140 【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 即． 在中，，， 由勾股定理得： ， （米）． 三、解答题 8．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 【答案】8米 【分析】先利用勾股定理求出的长；再根据风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，再次利用勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， 如图，当风筝沿方向再上升12米，到点时， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 9．近日，经国务院批复同意，文化和旅游部印发《旅游强国建设“十五五”规划》，郑州入选旅游枢纽城市，洛阳、开封入选重点旅游城市．开封万岁山武侠城热度不断，如图为景区附近新开发的一个停车场．已知． (1)在停车场中开辟一条通道，求的长； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：．理由如下： 在中，， ， ． 又， ， ． 【分析】（1）根据勾股定理解答； （2）根据勾股定理逆定理说明，再结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得； （2）略． 10．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求，两点之间的距离； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)，两点之间的距离为 (2)海港不受台风影响，理由如下： 过点作于， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港不受台风影响． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 11．综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 12．如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据折叠性质得到，从而得到对应边相等，再利用求三角形面积求出，根据三角形内角和定理得到是直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 根据三角形内角和定理得， ∴． （2）解：连接交于， ∵，为的中点， ∴， ∵（折叠的性质）， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 根据勾股定理得， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $