专题01三角形中的线段和角同步培优讲义（重点知识梳理+14大核心题型+分层练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题01三角形中的线段和角同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础概念：三角形定义、构成要素、三角形分类 2.三角形核心线段：高线、中线、角平分线（定义、性质、交点特征、几何语言） 3.三角形边角关系：三边数量关系、内角和定理、外角性质 4.核心应用：几何作图、面积计算、边长与角度计算、基础几何推理 ✺学习目标 1.掌握三角形的定义、分类及基本要素，能够准确识别各类三角形。 2.熟练掌握三角形高线、中线、角平分线的定义、画法与核心性质，能规范书写几何推理语言。 3.理解并掌握三角形三边关系、内角和定理与外角性质，能够熟练进行边长判断、角度计算。 4.能够利用三角形特殊线段性质解决面积问题与简单几何证明，培养几何逻辑思维。 5.准确区分三类特殊线段的异同，规避常见易错点，提升培优解题能力。 ✺知识梳理 知识点一、三角形的基础概念与分类 1.三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。三角形有3条边、3个顶点、3个内角，记作△ABC。 2.三角形的分类： 分类依据 类型 核心特征 按角分类 锐角三角形 三个内角均为锐角（小于90°） 直角三角形 有一个内角为90°，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角为钝角（大于90°小于180°） 按边分类 不等边三角形 三条边长全部不相等 等腰三角形 有两条边相等（等边三角形是特殊等腰三角形） 等边三角形 三条边相等，三个内角均为60° 知识点二、三角形的三条特殊线段 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。如下图，从△ABC的顶点A向线段BC作垂线，AD就是BC边上的高. 几何语言：（1）∵AD是△ABC中BC边上的高；∴∠ADB=∠ADC=90°。 ∵∠ADB=90°，∴AD是△ABC的高 数量：任意三角形有3条高，三条高一定交于同一点，这个交点叫垂心。 本质：AD是一条线段（不是直线、射线）。 核心性质：高与对应底边互相垂直，夹角为90°。 位置规律：（1）锐角三角形：三条高全部在三角形内部； （2）直角三角形：两条直角边互为高，一条高在内部； （3）钝角三角形：钝角对边的高在内部，另外两条高在三角形外部。 重要结论：三角形三条高所在直线交于一点，这点叫做三角形的垂心。 易错点：钝角三角形作高需先延长对边，高不一定都在图形内部。 2.三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 几何语言：(1)∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD. (2)∵BD=CD,∴AD是三角形的中线. 数量：任意三角形有3条中线，三条中线一定交于同一点，这个交点叫重心。 位置规律：任意三角形三条中线均在内部，交于重心。 面积核心性质：一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形。 原理：△ ABD与△ADC同高、等底（BD=DC），由面积公式S=ah得：== 拓展：三条中线将大三角形分成6个面积完全相等的小三角形。 3.三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 几何语言：（1）∵ AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC。 ∵∠BAD=∠CAD,∴AD是角平分线. 数量：任意三角形有 3 条角平分线，三条角平分线一定交于同一点，这个交点叫内心。 本质：三角形角平分线是一条线段。 核心性质：平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角。 位置规律：任意三角形三条角平分线均在内部，交于一点。 知识点三、三角形内角与边的关系（大边对大角） 1.大边对大角：同一个三角形中，较长的边所对的内角更大； 在△ABC中，BC>AC, ∠A>∠B 2.大角对大边：同一个三角形中，较大的内角所对的边更长。 在△ABC中，∠B>∠C,AC>AB 3. 三大基础应用 （1）已知两个内角，直接求第三个角； （2）已知三角比例、倍数关系，列方程求角度； （3）通过内角大小判断三角形形状。 知识点四、三角形内角与外角性质 1.内角和定理 文字表述：三角形三个内角和为180°。 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.三角形内角和定理证明方法（平行线辅助线法） 3. 三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角； （3）三角形外角和为 360°。 易错点总结 1.中线、角平分线一定在三角形内部；高可能在三角形外部。 2.高是线段，垂心是三条高线所在直线的交点，不可混淆。 3.外角公式仅适用于不相邻的两个内角。 4.中线等分面积是几何面积计算的核心常用结论。 ✺题型精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，所以只有选项D符合题意． 2．如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义． 根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：以为角的三角形是， 故答案为：． 3．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 【答案】，；，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案． 【详解】解：以为角的三角形有，， 以为边的三角形有，，． 题型2.三角形的个数问题 1．在如图所示的图形中，三角形的个数为（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义，即可得结论． 【详解】解：由图可得，图形中的三角形有：，，，，，， ∴图形中三角形的个数有6个． 2．如图：三角形有____________个． 【答案】15 【分析】本题主要考查三角形的计数，涉及对图形的观察、分类归纳能力，以及对“由不同数量小三角形组成的三角形”的识别，解题的关键点在于分类计数，易错点在于重复计数，分类混乱，遗漏计数；或者掌握利用“底边线段数”计数的方法也可以；方法一：由一个小三角形组成的有个；由两个小三角形组成的有个；由三个小三角形组成的有个；由四三角形组成的有个；最有还有个最大的三角形，加上总和即可．方法二：利用“底边线段数”计数，对于这种顶点固定、底边被分成若干段的三角形计数问题，先观察底边的分段，再计算底边的线段总数，线段总数的计算公式为：（其中是基本线段的数量），每一条底边的线段（无论是短的还是长的）都与顶点形成一个唯一的三角形，按公式计算即可． 【详解】底边线段分段数：5 三角形个数：（个） 故三角形有个． 3．如图． (1)图中有几个三角形？请分别表示出来． (2)，分别是哪些三角形的内角？ (3)以为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)图中有，，，，，，，共8个三角形 (2)是和的内角，是的内角 (3)以为边的三角形有和 【详解】（1）解：图中有，，，，，，，共8个三角形； （2）解：是和的内角，是的内角； （3）解：以为边的三角形有和． 题型3.构成三角形的条件 1．下列各组线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故不能组成三角形； B、，故能组成三角形； C、，故不能组成三角形； D、，故不能组成三角形． 2．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 3．已知长度分别为和的两条线段．在长度为的线段中，哪些线段能和已知的两条线段构成三角形，哪些线段不能？ 【答案】 能和已知线段构成三角形的线段有：；不能构成三角形的线段有： 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键．根据已知长度分别为和的两条线段，则能和这两条线段构成三角形的线段长度必须大于且小于，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 则能和这两条线段构成三角形的线段长度必须大于且小于， 所以能和已知线段构成三角形的线段有：； 不能构成三角形的线段有：． 题型4.确定第三边的取值范围 1．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，第三边长度必须大于两边之差且小于两边之和求解． 【详解】解：设第三根木棒长度为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即． 只有A不在范围内． 2．已知三角形的三边的长分别是5、、，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，计算可得的取值范围． 【详解】解：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 已知三角形三边长为，，， ， 化简得 ． 3．中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再满足周长为偶数即可． 【详解】解：中，，， ，即，且为整数， ∴或或， 的周长为偶数， . 题型5.三角形三边关系的应用 1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（     ） A．3，4，8 B．5，7，11 C．5，6，10 D．1，2，2 【答案】A 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，能组成三角形． 2．临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 【答案】13 【分析】根据三角形的三边关系即可列不等式组，解出即可得的取值范围，再根据x为整数，即可得x的最大值为13． 【详解】解：设第三条边长为x，则根据三角形三边关系得: ， ∴． ∵x为整数， ∴x的最大值为13． 3．已知三角形的两边长分别为7和11，第三边的边长为． (1)求的取值范围； (2)若为整数，当为何值时，组成的三角形周长最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，组成的三角形周长最小，最小值是23 【分析】（1）根据三角形三边关系进行求解即可； （2）根据，且为整数且要求周长最小，得出，然后求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ， 即． （2）解：由（1）得， 为整数且要求周长最小， ， 周长为：， 当时，组成的三角形周长最小，最小值是23． 题型6.大（小）边对大（小）角定理 1．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 3．如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【答案】证明：把绕点顺时针旋转到的位置，如图， ∴，而， ∴， ∴， 所以． 【分析】把绕点顺时针旋转到的位置，则，进而得到，，然后可得． 【详解】略 题型7.根据三角形中线求长度 1．在中，是边上的中线，若，，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角形中线的定义得到，再根据与的周长之差即可求得答案． 【详解】解：是边上的中线， ， 与的周长之差 ． 2．如图，在中，是边上的中线，若的周长是12，，则的周长为________． 【答案】9 【详解】解：已知在中，是边上的中线，所以， 则：的周长， ， ， 所以， 故：的周长 3．如图所示，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线，由三角形的中线得，由已知的周长差得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， 的周长比的周长大， ， ， 又， ． 题型8.根据三角形中线求面积 1．如图，是的中线，点E在线段上，且．若的面积是1，则的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴． 2．如图，为的中线，E为的中点，若的面积为24，则的面积为______． 【答案】 6 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵E为的中点， ∴． 3．如图，有一块三角形菜地，若从顶点修一条小路交于点，小路正好将菜地分成面积相等的两部分． (1)画出点的位置并说明理由． (2)在图中直接标出的中点E，连接，若的面积为12，直接写出的面积． 【答案】(1)如图，作的中点D，点即为所求； 理由：三角形的中线平分三角形的面积． (2)3 【分析】（1）取的中点D，根据和等底同高，面积相等得出答案； （2）根据（1）求出，同理得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）的结论，D是中点，因此， 又因为E是的中点，同理可得和等底同高，面积相等， 因此． 题型9.重心的概念 1．如图，点O为的重心，连接并延长交于点D，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点，据此即可获得答案． 【详解】解：∵点O是的重心，连接并延长交于点D， ∴是的中线， ∴． 2．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋，，围成，白棋，，，在中，则正好与的重心位置重合的是白棋___________（填或或或）． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心，确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图形可得三边中线的交点为， 所以，正好与的重心位置重合的是白棋， 故答案为：． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【答案】(1) 解：如图，即为所求， (2) (3) 解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 【分析】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义； （2）利用三角形面积公式即可解答； （3）根据重心的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，边上的高为， ； （3） 略 题型10.三角形角平分线的定义 1．如图，在中，为的平分线，下列选项正确的是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：为的平分线， ， 不能得到，，． 2．如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 解：∵是的角平分线（已知） ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【答案】角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；同角的补角相等 【分析】由角平分线的定义可得，结合题意得出，从而可得，再证明出，即可得证． 【详解】解：∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型11.画三角形的高 1．画中边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高． 2．如图，点在同一条直线上，在中，边上的高是线段________． 【答案】/ 【分析】根据三角形高线的定义，求解即可，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：由三角形高线的定义可得：中，边上的高是线段． 3．根据条件画图，并回答问题： (1)作出中边上的中线和三条高； (2)写出两个以为高的三角形． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义可得答案． 【详解】（1）略 （2） 略 题型12.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，，于点，，，，则的长为（     ） A．4 B．4.8 C．5 D．4.6 【答案】B 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴， ∵，，， ∴． 2．如图，在中，，边上的高，点P为上一点，于点E，于点F，则__________． 【答案】6 【分析】连接，根据求解即可． 【详解】解：连接， 则， ∵，为边上的高， ∴， 即． 3．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么， (1)的边上的高为__________，边上的高为__________． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义进行判断即可； （2）根据等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，垂足为B，，垂足为C， ∴由图形可知：的边上的高为，边上的高为． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型13.利用网格求三角形面积 1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，找出网格中图形的面积关系是解题关键．根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积求解即可得． 【详解】解：因为图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 所以图中阴影部分的面积是， 故选：B． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均在网格的格点上，则的面积是________． 【答案】5 【分析】网格中利用割补法求不规则三角形面积为周围的正方形面积减去三个直角三角形的面积． 【详解】解：由图可得． 3．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作三角形； (2)解：如图所示，为边上的中线； (3)解：如图所示，为边上的高线； (4)4 【分析】（1）首先根据对应点和可以确定平移的方向和距离，然后借助网格确定出，平移后的对应点，，进而可确定出； （2）观察网格可知，的长度等于长、宽分别为4和2的长方形的对角线的长度，因此它的长度的一半等于长、宽分别为2和1的长方形的对角线的长度，进而确定出的中点，再连接即可； （3）利用三角尺的直角，过点作边的延长线的垂线，垂足为，连接即为所求； （4）利用“割补法”求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图所示， ． 题型14.垂心 1．在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 【答案】D 【分析】根据锐角三角形的三条高交点在三角形内部，直角三角形的三条高交点为直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交点在三角形外部，判断即可． 【详解】解：∵三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部， ∴是钝角三角形， ∵， ∴与一个锐角一个钝角，具体谁是钝角无法确定， 故选：D． 2．△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为_____． 【答案】12：15：10 【分析】根据三角形三条高线交于一点，可得BF⊥AC，再根据三角形面积是一定的，即可得到CE：AD：BF值． 【详解】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F， ∴BF⊥AC， ∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF， ∵AB＝5，BC＝4，AC＝6， ∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF， ∴CE：AD：BF＝12：15：10． 故答案为：12：15：10． 【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟练掌握三角形面积公式，难点是得到BF⊥AC． 3．尺规作图题 (1)已知与是的高，请只用无刻度直尺画边上的高;    (2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形的高．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形三条高所在的直线交于一点作图即可； （2）先以为圆心，长为半径画弧与交于，再分别以、为圆心，长为半径画弧交于，连接交于，线段即为所求． 【详解】（1）如图所示    （2）如图所示    【点睛】本题考查三角形的高的性质及尺规作图作法，熟记相关性质是解题的关键． ✺分层练习 一、单选题 1．将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：由图可知，以为边的三角形有、、，共三个． 2．已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号化简． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ． 3．如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点．若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先根据是的重心，可得是边上的中线，是的中点；然后根据，求出的长度是多少即可． 【详解】解：是的重心， 是边的中线，是的中点； 又， ． 二、填空题 4．已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴． 5．在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】确定两个角对应的对边，利用大角对大边即可比较边长大小． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：在同一个三角形中，大角对大边． 的对边为，的对边为， 已知， 可得，即． 6．如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，逐步推导各三角形的面积关系即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴． 7．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为___________． 【答案】3 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为：3 三、解答题 8．如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，，． (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用直角三角形两种面积表示方法进行变形，计算斜边上的高； （2）由中线得到的长，结合高，用面积公式求的面积． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 故． （2）解：∵是边的中线，， ， 由（1）可知， ， 的面积是． 9．如图，在中，是高，于点，是的角平分线，且，试说明：． 【答案】解：是高，， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ． 【分析】先说明，根据平行线的性质，可得，，再根据角平分线的定义，说明，等量代换即可． 【详解】略 10．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是正整数． (1)若，，且c为奇数，，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）首先利用三角形三边关系得到，然后结合c为奇数，且求出，然后计算三角形周长即可； （2）首先利用三角形三边关系得到，，然后化简即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系定理，得， ∴． ∵c为奇数，且， ∴， ∴的周长． （2）解：由三角形的三边关系定理，得，， ∴，， ∴ ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形中的线段和角同步培优讲义 ✺知识框架 1.基础概念：三角形定义、构成要素、三角形分类 2.三角形核心线段：高线、中线、角平分线（定义、性质、交点特征、几何语言） 3.三角形边角关系：三边数量关系、内角和定理、外角性质 4.核心应用：几何作图、面积计算、边长与角度计算、基础几何推理 ✺学习目标 1.掌握三角形的定义、分类及基本要素，能够准确识别各类三角形。 2.熟练掌握三角形高线、中线、角平分线的定义、画法与核心性质，能规范书写几何推理语言。 3.理解并掌握三角形三边关系、内角和定理与外角性质，能够熟练进行边长判断、角度计算。 4.能够利用三角形特殊线段性质解决面积问题与简单几何证明，培养几何逻辑思维。 5.准确区分三类特殊线段的异同，规避常见易错点，提升培优解题能力。 ✺知识梳理 知识点一、三角形的基础概念与分类 1.三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。三角形有3条边、3个顶点、3个内角，记作△ABC。 2.三角形的分类： 分类依据 类型 核心特征 按角分类 锐角三角形 三个内角均为锐角（小于90°） 直角三角形 有一个内角为90°，两锐角互余 钝角三角形 有一个内角为钝角（大于90°小于180°） 按边分类 不等边三角形 三条边长全部不相等 等腰三角形 有两条边相等（等边三角形是特殊等腰三角形） 等边三角形 三条边相等，三个内角均为60° 知识点二、三角形的三条特殊线段 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在直线）作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。如下图，从△ABC的顶点A向线段BC作垂线，AD就是BC边上的高. 几何语言：（1）∵AD是△ABC中BC边上的高；∴∠ADB=∠ADC=90°。 ∵∠ADB=90°，∴AD是△ABC的高 数量：任意三角形有3条高，三条高一定交于同一点，这个交点叫垂心。 本质：AD是一条线段（不是直线、射线）。 核心性质：高与对应底边互相垂直，夹角为90°。 位置规律：（1）锐角三角形：三条高全部在三角形内部； （2）直角三角形：两条直角边互为高，一条高在内部； （3）钝角三角形：钝角对边的高在内部，另外两条高在三角形外部。 重要结论：三角形三条高所在直线交于一点，这点叫做三角形的垂心。 易错点：钝角三角形作高需先延长对边，高不一定都在图形内部。 2.三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 几何语言：(1)∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD. (2)∵BD=CD,∴AD是三角形的中线. 数量：任意三角形有3条中线，三条中线一定交于同一点，这个交点叫重心。 位置规律：任意三角形三条中线均在内部，交于重心。 面积核心性质：一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形。 原理：△ ABD与△ADC同高、等底（BD=DC），由面积公式S=ah得：== 拓展：三条中线将大三角形分成6个面积完全相等的小三角形。 3.三角形的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 几何语言：（1）∵ AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC。 ∵∠BAD=∠CAD,∴AD是角平分线. 数量：任意三角形有 3 条角平分线，三条角平分线一定交于同一点，这个交点叫内心。 本质：三角形角平分线是一条线段。 核心性质：平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角。 位置规律：任意三角形三条角平分线均在内部，交于一点。 知识点三、三角形内角与边的关系（大边对大角） 1.大边对大角：同一个三角形中，较长的边所对的内角更大； 在△ABC中，BC>AC, ∠A>∠B 2.大角对大边：同一个三角形中，较大的内角所对的边更长。 在△ABC中，∠B>∠C,AC>AB 3. 三大基础应用 （1）已知两个内角，直接求第三个角； （2）已知三角比例、倍数关系，列方程求角度； （3）通过内角大小判断三角形形状。 知识点四、三角形内角与外角性质 1.内角和定理：三角形三个内角和为180°。 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.三角形内角和定理证明方法（平行线辅助线法） 3. 三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角；（3）三角形外角和为 360°。 易错点总结 1.中线、角平分线一定在三角形内部；高可能在三角形外部。 2.高是线段，垂心是三条高线所在直线的交点，不可混淆。 3.外角公式仅适用于不相邻的两个内角。 4.中线等分面积是几何面积计算的核心常用结论。 ✺题型精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，是三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，写出一个以为角的三角形是____________． 3．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 题型2.三角形的个数问题 1．在如图所示的图形中，三角形的个数为（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．如图：三角形有____________个． 3．如图． (1)图中有几个三角形？请分别表示出来． (2)，分别是哪些三角形的内角？ (3)以为边的三角形有哪些？ 题型3.构成三角形的条件 1．下列各组线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 3．已知长度分别为和的两条线段．在长度为的线段中，哪些线段能和已知的两条线段构成三角形，哪些线段不能？ 题型4.确定第三边的取值范围 1．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度不可取（     ） A． B． C． D． 2．已知三角形的三边的长分别是5、、，则的取值范围是_________． 3．中，，，且的周长为偶数，求整数的长． 题型5.三角形三边关系的应用 1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（     ） A．3，4，8 B．5，7，11 C．5，6，10 D．1，2，2 2．临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 3．已知三角形的两边长分别为7和11，第三边的边长为． (1)求的取值范围； (2)若为整数，当为何值时，组成的三角形周长最小？最小值是多少？ 题型6.大（小）边对大（小）角定理 1．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 3．如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 题型7.根据三角形中线求长度 1．在中，是边上的中线，若，，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的中线，若的周长是12，，则的周长为________． 3．如图所示，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，求边的长． 题型8.根据三角形中线求面积 1．如图，是的中线，点E在线段上，且．若的面积是1，则的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，为的中线，E为的中点，若的面积为24，则的面积为______． 3．如图，有一块三角形菜地，若从顶点修一条小路交于点，小路正好将菜地分成面积相等的两部分． (1)画出点的位置并说明理由． (2)在图中直接标出的中点E，连接，若的面积为12，直接写出的面积． 题型9.重心的概念 1．如图，点O为的重心，连接并延长交于点D，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋，，围成，白棋，，，在中，则正好与的重心位置重合的是白棋___________（填或或或）． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 题型10.三角形角平分线的定义 1．如图，在中，为的平分线，下列选项正确的是（     ） A．B． C． D． 2．如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 解：∵是的角平分线（已知） ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型11.画三角形的高 1．画中边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点在同一条直线上，在中，边上的高是线段________． 3．根据条件画图，并回答问题： (1)作出中边上的中线和三条高； (2)写出两个以为高的三角形． 题型12.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，，于点，，，，则的长为（     ） A．4 B．4.8 C．5 D．4.6 2．如图，在中，，边上的高，点P为上一点，于点E，于点F，则__________． 3．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么， (1)的边上的高为__________，边上的高为__________． (2)若，，，求的长． 题型13.利用网格求三角形面积 1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均在网格的格点上，则的面积是________． 3．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 题型14.垂心 1．在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 2．△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为_____． 3．尺规作图题 (1)已知与是的高，请只用无刻度直尺画边上的高;    (2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形的高．    ✺分层练习 一、单选题 1．将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点．若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 4．已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 5．在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 6．如图，在中，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为______． 7．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为___________． 三、解答题 8．如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，，． (1)求的长度； (2)求的面积． 9．如图，在中，是高，于点，是的角平分线，且，试说明：． 10．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是正整数． (1)若，，且c为奇数，，求的周长； (2)化简：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $