学易金卷：八年级数学上学期期中模拟卷（江苏南京专用，新教材苏科版八上第1～3章：三角形+实数的初步认识+勾股定理）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3 2．如图所示的两个三角形全等，则x的值为（　　） A．82 B．72 C．63 D．45 3．如图，∠DAC＝∠BCA，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．BC＝DA B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DCA 4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）度． A．48 B．8 C．18 D．52 5．若a，b＝|﹣6|，c，则下列关系正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是（　　） A． B．a+b C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．实数，3.1415926，，π，，中，是无理数的是 _________________ ． 10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为 __________ ． 11．已知的整数部分为a，小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足，则x+y的值为_______ ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作BD的垂线，与BD，BC的延长线分别交于点M，N．若AM＝5，CN＝6，则BM的长为___________________ ． 13．近似数3.57×106精确到_____ 位． 14．若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长是 _________ ． 15．如图，点A、B、C都在格点上，连接AB、BC，则∠ABC的度数是 _______ °． 16．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．若AC＝9cm，则AD＝_____ cm． 17．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD的中线，若△ABE的面积是2.5，AB＝5，AC＝3，则△ABC的面积是 _____ ． 18．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，BM＝6，，∠BMC＝45°，则OM＝________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）求下列各式中的x： （1）x2＝36； （2）（x+1）3﹣27＝0． 20．（6分）如图所示，已知BC＝2，∠OCB＝90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧数轴于点A． （1）写出数轴上点A所表示的数为 _________________ ； （2）比较大小：点A所表示的数 _____ ﹣3.5（填写“＞”或“＜”）； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 21．（8分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 22．（8分）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 23．（8分）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC． （1）如图1，△ABC的外角∠ACF的平分线CP与BP交于点P．求证：； （2）如图2，AC的垂直平分线交BP于点Q，交AC于点G，过点Q作QM⊥BC于点M，QN⊥BA，交BA的延长线于点N，若BC＝9，BN＝7，求AN的长． 24．（8分）（1）在△ABC中，P，M分别是边AB，AC上的点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转，点M落在BC边上的M′处．设旋转角为α． ①如图①，若∠A＝∠B＝α，求证：△APM≌△BM′P． ②如图②，已知点M，∠B＝45°，求作点P，M′，使α＝45°． （要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） （2）如图③，在正方形ABCD中，P，M分别是边AB，CD上的点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转30°，点M恰好落在BC边上的M′处．若AP＝1，BM′＝3，则正方形ABCD的边长为__________________ ． 25．（10分）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求． 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值； （2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值； （3）请结合图形，求出的最小值． 26．（10分）在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC． （1）如图1，D为线段BC的延长线上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，已知AB＝8，AD＝17，求CD和BE的长． （2）如图2，点F是线段AC上一点，连接BF，过点B作BG⊥AC于点G，过点C作CH⊥BF于点H，连接GH． ①若，AC＝5，求S△BCH的值． ②求证：CH﹣BHHG． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ✉ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.MA][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 7.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共10小题， 每小题2分，共20分。 10. 11. 12 13 14. 16 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. (6分) (1) (2) B -5-4-3-2-1012345 21.(8分) G A 22.(8分) 四A 白C 111111 B B Lwnnnnnnnngnn 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) Y A Q G B -F B M C 图1 图2 24.(8分) C D M M M' M M 30 B A B P B ① ② ③ (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B B A。 D 图1 图2 图3 26.(10分) y G H C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3 2．如图所示的两个三角形全等，则x的值为（　　） A．82 B．72 C．63 D．45 3．如图，∠DAC＝∠BCA，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．BC＝DA B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DCA 4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）度． A．48 B．8 C．18 D．52 5．若a，b＝|﹣6|，c，则下列关系正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是（　　） A． B．a+b C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．实数，3.1415926，，π，，中，是无理数的是 _________________ ． 10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为 __________ ． 11．已知的整数部分为a，小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足，则x+y的值为_______ ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作BD的垂线，与BD，BC的延长线分别交于点M，N．若AM＝5，CN＝6，则BM的长为___________________ ． 13．近似数3.57×106精确到_____ 位． 14．若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长是 _________ ． 15．如图，点A、B、C都在格点上，连接AB、BC，则∠ABC的度数是 _______ °． 16．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．若AC＝9cm，则AD＝_____ cm． 17．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD的中线，若△ABE的面积是2.5，AB＝5，AC＝3，则△ABC的面积是 _____ ． 18．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，BM＝6，，∠BMC＝45°，则OM＝________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）求下列各式中的x： （1）x2＝36； （2）（x+1）3﹣27＝0． 20．（6分）如图所示，已知BC＝2，∠OCB＝90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧数轴于点A． （1）写出数轴上点A所表示的数为 _________________ ； （2）比较大小：点A所表示的数 _____ ﹣3.5（填写“＞”或“＜”）； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 21．（8分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 22．（8分）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 23．（8分）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC． （1）如图1，△ABC的外角∠ACF的平分线CP与BP交于点P．求证：； （2）如图2，AC的垂直平分线交BP于点Q，交AC于点G，过点Q作QM⊥BC于点M，QN⊥BA，交BA的延长线于点N，若BC＝9，BN＝7，求AN的长． 24．（8分）（1）在△ABC中，P，M分别是边AB，AC上的点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转，点M落在BC边上的M′处．设旋转角为α． ①如图①，若∠A＝∠B＝α，求证：△APM≌△BM′P． ②如图②，已知点M，∠B＝45°，求作点P，M′，使α＝45°． （要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） （2）如图③，在正方形ABCD中，P，M分别是边AB，CD上的点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转30°，点M恰好落在BC边上的M′处．若AP＝1，BM′＝3，则正方形ABCD的边长为__________________ ． 25．（10分）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求． 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值； （2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值； （3）请结合图形，求出的最小值． 26．（10分）在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC． （1）如图1，D为线段BC的延长线上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，已知AB＝8，AD＝17，求CD和BE的长． （2）如图2，点F是线段AC上一点，连接BF，过点B作BG⊥AC于点G，过点C作CH⊥BF于点H，连接GH． ①若，AC＝5，求S△BCH的值． ②求证：CH﹣BHHG． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9._______________ 13. ______________ 17. ______________ 10. _______________ 14. ______________ 18. ______________ 11. ________________ 15.________________ 12. ________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） （1） ；（2） ； 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） （2） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C D B A A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．π， 10．25cm2 11．﹣5 12． 13．万 14．10cm 15．45 16．3 17．8 18． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分） 解：（1）x2＝36， ∴x＝±6；······································3分 （2）（x+1）3﹣27＝0， （x+1）3＝27， x+1＝3， ∴x＝2．·······································6分 20．（6分） 解：（1）， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：；··································2分 （2）∵（﹣3.5）2＝12.25，， 又∵13＞12.25， ∴， 故答案为：＜；···································4分 （3）如图，点F表示的数为． ··················6分 ∵∠ODE＝90°，OD＝4，DE＝2， ∴， ∴． 21．（8分） 解：（1）BF⊥CE，理由：·······························1分 ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE；······································4分 （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°．·························8分 22．（8分） 解：（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即122+（24﹣x）2＝x2， 解得：x＝15， ∴AB＝15dm， ∴AB+AC＝15+12＝27（dm）， 答：绳子的总长度为27dm；·······························4分 （2）如图2， 由（1）得：DE＝9dm， 由题意可知，BE＝7dm，AD＝12dm，AB+AC＝27dm， ∴BD＝BE+DE＝7+9＝16（dm）， 由勾股定理得：AB20（dm）， ∴AC＝AB+AC﹣AB＝27﹣20＝7（dm）， ∴CD＝AD﹣AC＝12﹣7＝5（dm）， 答：此时物体C升高了5dm．······························8分 23．（8分） 解：（1）∵BP 平分∠ABC，与△ABC 的外角平分线CP交于点P， ∴， ∠PCF∠ACF， ∵∠ACF是△ABC的一个外角， ∴∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝∠ACF﹣∠ABC， ∵∠PCF是△PBC 的一个外角， ∴∠PCF＝∠PBC+∠P， ∴∠P＝∠PCF﹣∠PBC＝（；·····················3分 （2）如图，连接QA，QC， ∵BP平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA， ∴QM＝QN， ∵AC的垂直平分线交BC于点Q， ∴QA＝QC， 在Rt△QAN 和Rt△QCM 中， ， ∴Rt△QAN≌Rt△QCM（HL）， ∴AN＝MC， 在Rt△BQN 和 Rt△BQM中，， ∴Rt△BQN≌Rt△BQM（HL）， ∴BN＝BM， ∵BC＝9，BN＝7， ∴MC＝BC﹣BM＝BC﹣BN＝9﹣7＝2， ∴AN的长为2．····································8分 24．（8分） （1）①证明：∵将PM绕点P顺时针旋转，点M落在BC边上的M′处， ∴PM＝M′P． ∵∠APM+∠MPM′+BPM′＝180°，∠MPM′＝α， ∴∠APM+∠BPM′＝180°﹣α， ∵∠BPM′+∠B+∠PM′B＝180°，∠B＝α， ∴∠BPM′+∠PM′B＝180°﹣α， ∴∠APM＝∠BM′P， 在△APM和△BM′P中， ∴△APM≌△BM′P；···································2分 ②解：1．过点M作MD⊥AB于点D， 2．在BA的延长线上取一点E，使DE＝DM，连接EM， 3．在BA上截取BP＝EM，在BC上截取BM′＝PE， 4．连接PM，PM′，如图， ··························4分 则点P，M′为所求． 由作图可知：△DEM为等腰直角三角形，BP＝EM，PE＝BM′， ∴∠B＝∠MED＝45°， 在△MEP和△PBM′中， ， ∴△MEP≌△PBM′（SAS）， ∴PM＝PM′，∠EPM＝∠BM′P， ∵∠BPM′+∠BM′P＝180°﹣∠B＝135°， ∴∠BPM′+∠EPM＝135°， ∴∠MPM′＝180°﹣（∠BPM′+∠EPM）＝45°， 即α＝45°． ∴点P，M′为所求．···································6分 （2）解：在BA的延长线上取一点E，连接ME，使∠E＝30°，在AB的延长线上取一点F，连接M′F，使∠F＝30°，过点M作MH⊥AB于点H，如图， ∵将PM绕点P顺时针旋转30°，点M恰好落在BC边上的M′处， ∴PM＝M′P，∠MPM′＝30°， ∵BM′＝3， ∴FM′＝2BM′＝6， ∴BF3， 设正方形ABCD的边长为x，则PB＝AB﹣AP＝x﹣1， ∴PF＝PB+FB＝x﹣1+3． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∵MH⊥AB， ∴四边形ADMH为矩形， ∴MH＝AD＝x， ∵MH⊥AB，∠E＝30°， ∴ME＝2x， ∵∠EPM+∠MPM′+∠M′PF＝180°， ∴∠EPM+∠M′PF＝150°， ∵∠M′PF+∠BM′F＝180°﹣∠F＝150°， ∴∠EPM＝∠PM′F， 在△EPM和△FM′P中， ， ∴△EPM≌△FM′P（AAS）， ∴EM＝FP． ∴2x＝x﹣1+3， ∴x＝31． ∴正方形ABCD的边长为31． 故答案为：31．·································8分 25．（10分） 解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1， ∴AC＝CP，∠ACP＝90°， ∴∠CAP＝∠CPA＝45°， ∴PA， ∵点A关于直线l的对称点为A'， ∴PA′＝PA， ∴∠CPA′＝∠CPA＝45°， ∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°， ∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD， ∴BD＝PD＝2， ∴PB2， ∴AP+PB23；·······························2分 （2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3， 则四边形A′EDC是矩形， ∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC， ∵BD＝4﹣AC， ∴BD+AC＝BD+DE＝4， 即BE＝4， 在RT△A′BE中，A′B5， ∴AP+BP＝5；·····································6分 （3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA， 设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB， ∵DE＝AC＝2m﹣2， ∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3， ∴PA+PB＝A′B3， ∴的最小值是3．···················10分 26．（10分） 解：（1）在Rt△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABC＝90°， ∴， ∵AB＝BC＝8， ∴CD＝BD﹣BC＝15﹣8＝7，······························1分 ∵． ∴BE．·····························2分 （2）①∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴， ∴BC＝5， ∵， 设BH＝x，则HC＝2x， 在Rt△BCH中，BC2＝BH2+HC2＝5x2， ∴5x2＝52， ∴， ∴， ∴．·························6分 ②在CH上截取CM＝BH，连接GM， ∵AB＝BC，BG⊥AC，∠ABC＝90°， ∴BG＝AG＝CG， ∵BH⊥CH， ∴∠BHC＝∠BGC＝90°， 由8字模型倒角得∠GCM＝∠GBH， 在△GCM和△GBH中， ， ∴△GCM≌△GBH（SAS）， ∴GM＝GH，∠CGM＝∠BGH， ∴∠CGM+∠BGM＝∠BGH+∠BGM＝90°， ∴∠HGM＝90°， ∴△HGM是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴．·································10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3 【分析】根据负数没有平方根进行解答即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣3≥0， 即x≥3， 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根，理解负数没有平方根是解决问题的关键． 2．如图所示的两个三角形全等，则x的值为（　　） A．82 B．72 C．63 D．45 【分析】由全等三角形的对应角相等，即可得到答案． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴x＝180°﹣63°﹣45°＝72°． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对角相等． 3．如图，∠DAC＝∠BCA，添加下列条件后仍不能判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．BC＝DA B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DCA 【分析】由于∠DAC＝∠BCA，AC为公共边，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠DAC＝∠BCA，AC＝AC， 添加BC＝DA，利用SAS判定△ABC≌△CDA，故A正确； 添加∠B＝∠D，利用AAS判定△ABC≌△CDA，故C正确； 添加∠BAC＝∠DCA，利用ASA判定△ABC≌△CDA，故D正确； 但添加AB＝CD，不能判定△ABC≌△CDA，故B错误； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）度． A．48 B．8 C．18 D．52 【分析】根据等边对等角求出∠ABC的度数，中垂线的性质，推出∠ABD＝∠A，再利用角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝48°， ∴， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝48°， ∴∠DBC＝66°﹣48°＝18°； 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 5．若a，b＝|﹣6|，c，则下列关系正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【分析】根据绝对值、立方根、实数的乘方解决此题． 【解答】解：∵|﹣6|＝6， ∴63＝216． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴a＜c＜b． 故选：D． 【点评】本题主要考查绝对值、立方根、实数的乘方，熟练掌握查绝对值、立方根、实数的乘方是解决本题的关键． 6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故A选项不符合题意； B、62+82＝102，能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 7．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，根据勾股定理得c2＝a2+b2，继而S3＝S1+S2，结合已知条件得S1＝6，然后根据S△ABNS1＝3即图中阴影部分的面积． 【解答】解：如图所示： 设BC＝a，AC＝b，AB＝c， ∴依题意得：S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵S3+S1﹣S2＝12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2+b2， ∴S3＝S1+S2， ∴S1+S2+S1﹣S2＝12， ∴S1＝6， ∴S△ABNS1＝3， 即图中阴影部分的面积为3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了勾股定理，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解决问题的关键． 8．如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是（　　） A． B．a+b C． D． 【分析】因为C△AFD＝AD+AF+FDa+AF+FD，所以当AF+FD最小时，△ADF周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：连接CF并延长，作点A关于射线CF的对称点M，连接AM，CM，连接DM交CF延长线于点N，连接AN，如图： ∵△ABC和△AEF是等边三角形， ∴AB＝AC＝a，AE＝AF，∠BAC＝∠ABC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF， 即∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACF， ∵AB＝AC，AD＝CD， ∴BD⊥AC，且BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ACF＝30°， ∴∠BCF＝90°， 即点F在射线CF上运动， ∵点A和点M关于射线CF对称， ∴∠MCF＝∠ACF＝30°，CF⊥AM， ∴∠ACM＝60°， 又∵CA＝CM， ∴△ACM是等边三角形， ∴AM＝AC， ∵BD⊥AC， ∴DM＝BD＝b， 又∵C△ADF＝AD+AF+FDa+AF+FD， ∴当AF+FD最小时，△AFD周长取得最小值， 即AF+FD＝MN+DN时，△AFD周长取得最小值， ∴C△ADFa+DMa+b， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，能够根据题意作出相关的图形是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．实数，3.1415926，，π，，中，是无理数的是 　π，　 ． 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：3，是整数，属于有理数； 1，是整数，属于有理数； 实数，3.1415926，，π，，中，是无理数的是π，． 故答案为：π，． 【点评】本题主要考查了无理数，立方根和算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为 　25cm2 ． 【分析】由勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝25cm2，再由正方形的面积即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm， ∴AC2+BC2＝AB2＝25cm2， ∵正方形ADEC的面积为AC2，正方形BCFG的面积为BC2， ∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积和＝AC2+BC2＝AB2＝25cm2， 故答案为：25cm2． 【点评】本题考查勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．已知的整数部分为a，小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足，则x+y的值为　﹣5　 ． 【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数，的大小确定a、b的值，再将a、b的值代入x+y+a＝2b确定x、y的值即可． 【解答】解：∵32＝9，42＝16，而9＜11＜16， ∴34， ∴的整数部分a＝3， ∵23＝8，33＝27，而8＜11＜27， ∴23， ∴的整数部分为2，小数部分b2， ∵x+y+a＝2b，即x+y+3＝24， ∴x+y2﹣7， ∴x＝2，y＝﹣7， ∴x+y＝2﹣7＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作BD的垂线，与BD，BC的延长线分别交于点M，N．若AM＝5，CN＝6，则BM的长为　　 ． 【分析】根据已知条件先证明△ABM≌△NBM（ASA），得出AN的长度和AB＝BN，再由勾股定理得出AC的长度，设BC＝x，则AB＝BC+CN＝x+6，利用勾股定理列出方程求解x的值，得出AB的长度，最终利用勾股定理求出结果． 【解答】解：∵BM⊥AN， ∴∠AMB＝∠NMB＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠NBM， 在△ABM和△NBM中， ， ∴△ABM≌△NBM（ASA）， ∴AM＝MN＝5，即AB＝BN，AN＝2AM＝10， ∵CN＝6，AC⊥BN， 在Rt△ACN中，， 设BC＝x，则AB＝BC+CN＝x+6， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴（x+6）2＝82+x2， 12x+36＝64， 解得， ∴， 在Rt△ABM中，． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．近似数3.57×106精确到　万　 位． 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：3.57×106＝3570000，故近似数3.57×106精确到万位． 故答案为：万． 【点评】本题考查了近似数与有效数字，“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 14．若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长是 　10cm ． 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论：xx＝9或xx＝15． 【解答】解：设三角形的腰为x，如图：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD＝9或AB+AD＝15，分下面两种情况解． ①xx＝9， ∴x＝6， ∵三角形的周长为9+15＝24cm， ∴三边长分别为6，6，12， ∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； ②xx＝15 ∴x＝10 ∵三角形的周长为24cm ∴三边长分别为10，10，4． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 故答案为：10cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．如图，点A、B、C都在格点上，连接AB、BC，则∠ABC的度数是 　45　 °． 【分析】连接AC，由勾股定理求出AB、AC、BC的长，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接AC， 设每个小网格的边长为1， 由勾股定理得：AB，AC，BC， ∴AB＝AC，AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， 故答案为：45． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．若AC＝9cm，则AD＝　3　 cm． 【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，再根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出∠DBC＝90°，再根据含30度角的直角三角形即可求出答案． 【解答】解：如图，连接BD． ∵∠ABC＝120°，AB＝BC， ∴， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠DBA＝30°， ∴∠DBC＝90°， ∴CD＝2BD， ∵AC＝AD+CD＝9cm， ∴AD＝3cm． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，掌握其性质定理是解决此题的关键． 17．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD的中线，若△ABE的面积是2.5，AB＝5，AC＝3，则△ABC的面积是 　8　 ． 【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G，∵AD是角平分线， ∴DF＝DG， ∵BE是△ABD中的中线， ∴S△ABE＝S△BDES△ABD＝2.5． ∴S△ABD＝5， 设DF＝DG＝h， ∵AB＝5， ∴AB•DF5×DF＝5， ∴DF＝2， ∴DF＝DG＝2， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，AC＝3， ∴S△ABC＝S△ABDAC•DG＝53×2＝5+3＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是掌握角分线上的点到角两边的距离相等． 18．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，BM＝6，，∠BMC＝45°，则OM＝　　 ． 【分析】过点O作OP⊥OM，截取OP＝OM，连接PM，PC，并延长PC交OM于点H，交BM于点Q，连结OC，先证明△POC≌△MOB，得出CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，然后在证△CMQ是等腰直角三角形，求出CQ的长，再根据勾股定理求出OM的长． 【解答】解：如图，过点O作OP⊥OM，截取OP＝OM，连接PM，PC，并延长PC交OM于点H，交BM于点Q，连结OC，则∠POM＝90°， 在等腰直角△ABC中，O是斜边AB的中点， ∴CO⊥AB，， ∴∠COB＝∠POM＝90°， ∴∠POC＝∠MOB， ∴△POC≌△MOB（SAS）， ∴CP＝BM＝6，∠OPC＝∠OMB， ∠OHP＝∠QHM， ∴∠PQM＝∠POM＝90°， ∵∠BMC＝45°， ∴△CMQ是等腰直角三角形， ∴CQ＝QM5， ∴PQ＝PC+CQ＝6+5＝11， ∴PM， ∵△POM是等腰直角三角形， ∴OM， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）求下列各式中的x： （1）x2＝36； （2）（x+1）3﹣27＝0． 【分析】（1）利用开平方解方程； （2）利用开立方解方程． 【解答】解：（1）x2＝36， ∴x＝±6； （2）（x+1）3﹣27＝0， （x+1）3＝27， x+1＝3， ∴x＝2． 【点评】本题考查了利用平方根解方程，已知一个数的立方根，求这个数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 20．（6分）如图所示，已知BC＝2，∠OCB＝90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧数轴于点A． （1）写出数轴上点A所表示的数为 　　 ； （2）比较大小：点A所表示的数 　＜　 ﹣3.5（填写“＞”或“＜”）； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，（﹣3.5）2＝12.25，根据13＞12.25，得出即可； （3）过点D作DE⊥OD，且DE＝2，连接OE，以点O为圆心，OE为半径画弧，交数轴于点F，则点F即为所求作的点． 【解答】解：（1）， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）∵（﹣3.5）2＝12.25，， 又∵13＞12.25， ∴， 故答案为：＜； （3）如图，点F表示的数为． ∵∠ODE＝90°，OD＝4，DE＝2， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 21．（8分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得出∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE，故可得出∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°，故可得出∠BGC＝90°，据此得出结论； （2）由AC∥DE可知∠E＝∠ACG＝30°，再根据∠ACD＝60°即可得出结论． 【解答】解：（1）BF⊥CE，理由： ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE； （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 22．（8分）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 【分析】（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出AB的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即122+（24﹣x）2＝x2， 解得：x＝15， ∴AB＝15dm， ∴AB+AC＝15+12＝27（dm）， 答：绳子的总长度为27dm； （2）如图2， 由（1）得：DE＝9dm， 由题意可知，BE＝7dm，AD＝12dm，AB+AC＝27dm， ∴BD＝BE+DE＝7+9＝16（dm）， 由勾股定理得：AB20（dm）， ∴AC＝AB+AC﹣AB＝27﹣20＝7（dm）， ∴CD＝AD﹣AC＝12﹣7＝5（dm）， 答：此时物体C升高了5dm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 23．（8分）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC． （1）如图1，△ABC的外角∠ACF的平分线CP与BP交于点P．求证：； （2）如图2，AC的垂直平分线交BP于点Q，交AC于点G，过点Q作QM⊥BC于点M，QN⊥BA，交BA的延长线于点N，若BC＝9，BN＝7，求AN的长． 【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线定义进行角度推导．首先根据角平分线得出∠PBC和∠PCF与∠ABC、∠ACF的倍数关系；然后分别对△ABC和△PBC运用外角定理（外角等于不相邻两内角和），建立等量关系，通过代换消元即可证得； （2）作辅助线构建全等模型：先由角平分线性质得QM＝QN，再由垂直平分线性质得QA＝QC，进而证明Rt△QAN≌Rt△QCM得到AN＝MC；同时证明Rt△BQN≌Rt△BQM得到BN＝BM，最后结合已知线段长度通过简单的线段和差计算求出结果． 【解答】解：（1）∵BP 平分∠ABC，与△ABC 的外角平分线CP交于点P， ∴， ∠PCF∠ACF， ∵∠ACF是△ABC的一个外角， ∴∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝∠ACF﹣∠ABC， ∵∠PCF是△PBC 的一个外角， ∴∠PCF＝∠PBC+∠P， ∴∠P＝∠PCF﹣∠PBC＝（； （2）如图，连接QA，QC， ∵BP平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA， ∴QM＝QN， ∵AC的垂直平分线交BC于点Q， ∴QA＝QC， 在Rt△QAN 和Rt△QCM 中， ， ∴Rt△QAN≌Rt△QCM（HL）， ∴AN＝MC， 在Rt△BQN 和 Rt△BQM中，， ∴Rt△BQN≌Rt△BQM（HL）， ∴BN＝BM， ∵BC＝9，BN＝7， ∴MC＝BC﹣BM＝BC﹣BN＝9﹣7＝2， ∴AN的长为2． 【点评】题目考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题关键在于相关知识的灵活运用． 24．（8分）（1）在△ABC中，P，M分别是边AB，AC上的点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转，点M落在BC边上的M′处．设旋转角为α． ①如图①，若∠A＝∠B＝α，求证：△APM≌△BM′P． ②如图②，已知点M，∠B＝45°，求作点P，M′，使α＝45°． （要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） （2）如图③，在正方形ABCD中，P，M分别是边AB，CD上的点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转30°，点M恰好落在BC边上的M′处．若AP＝1，BM′＝3，则正方形ABCD的边长为　31　 ． 【分析】（1）①利用旋转的性质得到PM＝M′P，利用平角的定义和三角形的内角和定理求得∠APM＝∠BM′P，再利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用（1）的解题思路构造△MEP≌△PBM′即可； （2）在BA的延长线上取一点E，连接ME，使∠E＝30°，在AB的延长线上取一点F，连接M′F，使∠F＝30°，过点M作MH⊥AB于点H，设正方形ABCD的边长为x，则PB＝AB﹣AP＝x﹣1，由旋转的性质得到PM＝M′P，∠MPM′＝30°，利用矩形的判定与性质含30°角的直角三角形的性质得到PF＝PB+FB＝x﹣1+3，ME＝2x，利用全等三角形的判定与性质得到EM＝FP，从而得到2x＝x﹣1+3，解方程即可得出结论． 【解答】（1）①证明：∵将PM绕点P顺时针旋转，点M落在BC边上的M′处， ∴PM＝M′P． ∵∠APM+∠MPM′+BPM′＝180°，∠MPM′＝α， ∴∠APM+∠BPM′＝180°﹣α， ∵∠BPM′+∠B+∠PM′B＝180°，∠B＝α， ∴∠BPM′+∠PM′B＝180°﹣α， ∴∠APM＝∠BM′P， 在△APM和△BM′P中， ∴△APM≌△BM′P； ②解：1．过点M作MD⊥AB于点D， 2．在BA的延长线上取一点E，使DE＝DM，连接EM， 3．在BA上截取BP＝EM，在BC上截取BM′＝PE， 4．连接PM，PM′，如图， 则点P，M′为所求． 由作图可知：△DEM为等腰直角三角形，BP＝EM，PE＝BM′， ∴∠B＝∠MED＝45°， 在△MEP和△PBM′中， ， ∴△MEP≌△PBM′（SAS）， ∴PM＝PM′，∠EPM＝∠BM′P， ∵∠BPM′+∠BM′P＝180°﹣∠B＝135°， ∴∠BPM′+∠EPM＝135°， ∴∠MPM′＝180°﹣（∠BPM′+∠EPM）＝45°， 即α＝45°． ∴点P，M′为所求． （2）解：在BA的延长线上取一点E，连接ME，使∠E＝30°，在AB的延长线上取一点F，连接M′F，使∠F＝30°，过点M作MH⊥AB于点H，如图， ∵将PM绕点P顺时针旋转30°，点M恰好落在BC边上的M′处， ∴PM＝M′P，∠MPM′＝30°， ∵BM′＝3， ∴FM′＝2BM′＝6， ∴BF3， 设正方形ABCD的边长为x，则PB＝AB﹣AP＝x﹣1， ∴PF＝PB+FB＝x﹣1+3． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∵MH⊥AB， ∴四边形ADMH为矩形， ∴MH＝AD＝x， ∵MH⊥AB，∠E＝30°， ∴ME＝2x， ∵∠EPM+∠MPM′+∠M′PF＝180°， ∴∠EPM+∠M′PF＝150°， ∵∠M′PF+∠BM′F＝180°﹣∠F＝150°， ∴∠EPM＝∠PM′F， 在△EPM和△FM′P中， ， ∴△EPM≌△FM′P（AAS）， ∴EM＝FP． ∴2x＝x﹣1+3， ∴x＝31． ∴正方形ABCD的边长为31． 故答案为：31． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，尺规作图，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形到现在，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．（10分）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求． 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值； （2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值； （3）请结合图形，求出的最小值． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得△ACP和△BDP为等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA和PB，从而求得PA+PB； （2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值； （3）设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA；设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB，结合（2）即可求得． 【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1， ∴AC＝CP，∠ACP＝90°， ∴∠CAP＝∠CPA＝45°， ∴PA， ∵点A关于直线l的对称点为A'， ∴PA′＝PA， ∴∠CPA′＝∠CPA＝45°， ∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°， ∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD， ∴BD＝PD＝2， ∴PB2， ∴AP+PB23； （2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3， 则四边形A′EDC是矩形， ∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC， ∵BD＝4﹣AC， ∴BD+AC＝BD+DE＝4， 即BE＝4， 在RT△A′BE中，A′B5， ∴AP+BP＝5； （3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA， 设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB， ∵DE＝AC＝2m﹣2， ∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3， ∴PA+PB＝A′B3， ∴的最小值是3． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 26．（10分）在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC． （1）如图1，D为线段BC的延长线上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，已知AB＝8，AD＝17，求CD和BE的长． （2）如图2，点F是线段AC上一点，连接BF，过点B作BG⊥AC于点G，过点C作CH⊥BF于点H，连接GH． ①若，AC＝5，求S△BCH的值． ②求证：CH﹣BHHG． 【分析】（1）先利用勾股定理求出BD，CD，再利用S△ABD•AB•BD•AD•BE，求出BE，即可解决问题； （2）①如图2中，设BH＝x，CH＝2x，利用勾股定理可得x，求出BH，CH可得结论； ②如图3，在CH上截取CM＝BH，连接GM，证明△GCM≌△GBH，根据线段的差可得结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABC＝90°， ∴， ∵AB＝BC＝8， ∴CD＝BD﹣BC＝15﹣8＝7， ∵． ∴BE． （2）①∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴， ∴BC＝5， ∵， 设BH＝x，则HC＝2x， 在Rt△BCH中，BC2＝BH2+HC2＝5x2， ∴5x2＝52， ∴， ∴， ∴． ②在CH上截取CM＝BH，连接GM， ∵AB＝BC，BG⊥AC，∠ABC＝90°， ∴BG＝AG＝CG， ∵BH⊥CH， ∴∠BHC＝∠BGC＝90°， 由8字模型倒角得∠GCM＝∠GBH， 在△GCM和△GBH中， ， ∴△GCM≌△GBH（SAS）， ∴GM＝GH，∠CGM＝∠BGH， ∴∠CGM+∠BGM＝∠BGH+∠BGM＝90°， ∴∠HGM＝90°， ∴△HGM是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，最后一个问题有难度，见到线段的倍，考虑构建等腰直角三角形，所以构建△DGH是等腰直角三角形是②的突破点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $