精品解析：江苏 南京郑和外国语学校2026-2027学年第一学期九年级十月学情自测数学

2026/2027学年度南京郑和外国语学校第一次阶段性练习 数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（ ） A. 外 B. 内 C. 上 D. 无法确定 2. 下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 6. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 把一元二次方程化成一般形式：________． 8. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为______． 9. 把方程化成的形式，则的值是________． 10. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 11. 如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 12. 已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 13. 如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 14. 一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是_____． 15. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 16. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 三、解答题（共10题，共88分） 17. 解下列关于的方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 19. 如图，已知，M是射线上一点，．以点M为圆心、r为半径画． （1）当与射线相切时，求r的值； （2）写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）若，求与的值； （2）关于的不等式的解集为______； （3）连接，，若的面积为12，则的值为______． 21. 如图，等腰的顶点，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． （1）当，求的度数． （2）若点为的中点，求的度数． 22. 为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件．直播期间，按每件70元销售，第一天卖出了80件．直播结束后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 23. 如图，点为直线外一点，分别作出满足下列条件的． （1）过点，与直线相切于点Q； （2）过点，与直线相切于点P，的度数为； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 24. 在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 26. 结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积． 解：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为． 根据切线长定理，得，，． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：的内切圆与相切于点，，． 可以一般化吗？ （1）若，求证：的面积等于． 倒过来思考呢？ （2）若，求证：． （3）若，，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026/2027学年度南京郑和外国语学校第一次阶段性练习 数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（ ） A. 外 B. 内 C. 上 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 2. 下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 反比例函数的一般形式为（k为常数，），选项C为正比例函数，不符合反比例函数定义． 【详解】解：反比例函数形式为（）， A：，是反比例函数； B：，是反比例函数； C：，是正比例函数，不是反比例函数； D：，是反比例函数； 故选：C． 3. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴在每一象限内，反比例函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 4. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 5. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 6. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE求解． 【详解】分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵AC=CB， ∴OD=OE， 设A（-a，），则B（a，）， 故S△AOB=S梯形ADBE-S△AOD-S△BOE=（+）×2a-a×-a×=3． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC=BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解． 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 把一元二次方程化成一般形式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 8. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积计算，根据圆锥侧面展开面积公式进行计算即可，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开面积公式，其中表示圆锥的底面半径，表示母线长． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴它的侧面展开图扇形的面积为， 故答案为：． 9. 把方程化成的形式，则的值是________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴， 故答案为：11． 10. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：13． 11. 如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 14. 一次函数与反比例函数图象交于点，则当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，先求得直线与x轴的交点，然后两函数解析式联立成方程组，解方程组求得两函数的图象的交点，结合图象即可求得． 【详解】解：∵一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=图象交于点(1,4)， ∴4=-1+b，4=， ∴b=5，k=4， ∴一次函数为y1=-x+5，反比例函数为y2=， 把y=0代入y1=-x+5得，x=5， ∴一次函数y1=-x+5的图象交x轴于点(5,0)， 联立，解得：或， ∴一次函数y1=-x+b与反比例函数y2=图象交于点(1,4)和(4,1)，如图， 观察图象，当y1＞y2＞0时，x的取值范围是1＜x＜4． 故答案为：1＜x＜4． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据图象写出答案，考查了数形结合思想． 15. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在矩形中作出使成立的点P的轨迹，则可得出矩形中空白部分为使成立的点P形成区域，然后求出对应区域面积即可得解． 【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆． ，， 是等腰直角三角形，， 在中，所对圆周角均等于，， 则所有符合条件的点P形成的区域为矩形中空白部分， 矩形中空白部分的面积为， ，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等，矩形的性质，扇形面积的计算等知识，在矩形中作出使成立的点P的轨迹是解题关键． 16. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C在以E为圆心，为半径的圆上， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键． 三、解答题（共10题，共88分） 17. 解下列关于的方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：对于方程， ， 利用求根公式得， 即． 【小问2详解】 解：， 整理得， 移项得， 因式分解得， 或， ． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【小问1详解】 解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 【小问2详解】 解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 19. 如图，已知，M是射线上一点，．以点M为圆心、r为半径画． （1）当与射线相切时，求r的值； （2）写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围． 【答案】（1）r的值为1 （2） 由（1）可知，根据直线与圆的关系得到： 当时，与射线相切，只有一个公共点； 当时，与射线相离，没有公共点； 当时，与射线相交，有两个公共点； 当时，与射线只有一个公共点． 【解析】 【分析】（1）作于N，根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的关系得到当时，与射线相切； （2）根据直线与圆的关系进行分类讨论即可． 【小问1详解】 作于N，如图所示： ∵， ∴， ∴当与射线相切时，r的值为1； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）若，求与的值； （2）关于的不等式的解集为______； （3）连接，，若的面积为12，则的值为______． 【答案】（1）， （2）或 （3）9 【解析】 【分析】（1）将代入即可得出结果； （2）根据函数图象得出结论； （3）先求出，再得到，运用等面积的方法便可求出的值. 【小问1详解】 解：当时， 将代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为． 将代入得． ∴，. 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴由图象可知，或， ∴关于的不等式的解集为或. 【小问3详解】 解：∵点，在比例函数上， ∴，即， ∴， 又∵点，在一次函数上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， 设一次函数与轴交于点， ∴在中，当时，， ∴，即 ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的知识，掌握性质是解题的关键. 21. 如图，等腰的顶点，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． （1）当，求的度数． （2）若点为的中点，求的度数． 【答案】（1）的度数为 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质求出，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据圆周角定理，得出答案即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角，得出，即可得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵等腰中，顶角， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵等腰中，顶角， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 解得：． 22. 为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件．直播期间，按每件70元销售，第一天卖出了80件．直播结束后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 【答案】当售价定为63元/件或65元/件时，日销售利润为1950元 【解析】 【分析】以“日销售利润每件利润日销售量”为等量关系，设降价金额为未知数列方程求解． 【详解】解：设每件售价降低x元，则每件利润为元，日销售量为件， 根据题意，可得， 整理可得 解得 ， 当时，售价为（元/件）， 当时，售价为（元/件）， ∵均为非负数，且对应售价高于成本价，符合实际销售要求， ∴符合条件的售价为63元/件或65元/件， 答：当售价定为63元/件或65元/件时，日销售利润为1950元． 23. 如图，点为直线外一点，分别作出满足下列条件的． （1）过点，与直线相切于点Q； （2）过点，与直线相切于点P，的度数为； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1） 由切线的性质可得垂直于直线l，而点O在线段的垂直平分线上，故点O即为圆心； （2） 是等边三角形，则，由，推出，则，根据结合三角形内角和定理可推出（同（1）可证明点O是圆心）． 【解析】 【分析】（1）过点Q作直线l的垂线，作线段的垂直平分线交过点Q且与直线l垂直的直线于点O，以点O为圆心，的长为半径作圆即可； （2）过点A作直线l的垂线交直线l于点B，以点B为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线l于点D，作线段的垂直平分线交直线l于点P，过点P作直线l的垂线，作线段的垂直平分线交过点P且与直线l垂直的直线于点O，以点O为圆心，的长为半径作圆即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点F，连接，． ∵， ∴, 又∵， ∴O、D都在的垂直平分线上． ∴是垂直平分线， ∴，． ∵为的直径， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴． 又∵点D在上， ∴是的切线． （2）16 【解析】 【分析】（1）连接并延长交AB于点F，连接，．利用等弧所对的弦相等推出,再结合证明是垂直平分线，得出，，进而证明四边形是矩形，推出，即可证明是的切线； （2）先证是的中位线，推出，设的半径为r，用勾股定理解得，解得，两式联立解出r，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴是的中位线， ∴． 设的半径为r， 在中，， 在中，； ∴， 解得，（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的判定与性质，切线的判定，三角形中位线的判定与性质，勾股定理解直角三角形等知识点，涉及知识点比较多，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识． 25. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）①利用剪去矩形的长矩形硬纸片的长，即可求出结论； ②设剪去的正方形的边长为，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问2详解】 解：①根据题意得：剪去矩形的长为． ②设剪去的正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为． 26. 结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积． 解：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为． 根据切线长定理，得，，． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：的内切圆与相切于点，，． 可以一般化吗？ （1）若，求证：的面积等于． 倒过来思考呢？ （2）若，求证：． （3）若，，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明：如图所示， 设的内切圆分别与、相切于点，，的长为， 根据切线长定理，得，，， ∴， 而． 根据勾股定理，得， ∴． 整理，得． 所以 ； （2）证明：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为， 根据切线长定理，得，，， ∴， 而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴是直角三角形，即； （3） 【解析】 【分析】（1）设的内切圆分别与、相切于点、，的长为，仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到； （2）设的内切圆分别与、相切于点，，的长为，根据，得到，再证明，即可证明； （3）过点作，垂足为，在中，，，则， 在中根据勾股定理得，由此，据此代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，垂足为， 设的内切圆分别与、相切于点，，的长为， 根据切线长定理，得，，， ∴， 而， 在中， ， ∴， ∴ ∴，， 在中，根据勾股定理，得， ， ∴， ∴， ∴ ∴， 所以 ， 当，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $