4.4.2对数函数的图象和性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数函数的图象和性质 第四章　4.4.2　对数函数的图象和性质 索引 课时精练 一、对数函数的图象和性质 二、比较对数值的大小 三、反函数 课堂达标 内容索引 对数函数的图象和性质 一 探究1 请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=lox的图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y=log2x …                 … y=lox …                 … 提示　(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5　2　1　0　-1　-2　-3　-4　-5 (2)描点、连线. 4 探究2 为了更好地研究对数函数的性质,我们再选取底数a=3,4,,,你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗? 提示　 对数函数的图象和性质 知识梳理 项目 0<a<1 a>1 图象 定义域 __________ 值域 ____ (0,+∞) R 6 性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0 ____函数 ____函数 当0<x<1时,y>0; 当x>1时,y<0 当0<x<1时,y<0; 当x>1时,y>0 减 增 7 (1)函数图象只出现在y轴右侧. (2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故过定点(1,0). (3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴. (4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴. (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 温馨提示 8 (1)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则 例1 √ 根据C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象, 可得0<b<1,0<a<1,且b<a. A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 9 (2)若a>0,且a≠1,则函数y=loga(x-1)+1的图象恒过定点____________.  令x-1=1,得x=2,此时y=1. ∴y=loga(x-1)+1的图象过定点(2,1). (2,1) 10 1.有关对数函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过定点、图象的平移与翻折变换等求解. 2.求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m). 思维升华 11 (1)函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为 训练1 √ f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称. 当a>1时,y=loga|x|在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)上单调递减, 将y=loga|x|的图象向上平移一个单位长度,得f(x)的图象,因此选项C中图象符合题意. 12 (2)已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lg m+lg n的值是____________.  1 因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5), 故3-m=1,且n=5,则m=2,n=5. 所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1. 13 比较对数值的大小 二 14 √ (链接教材P133例3)(1)若a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正确的是 A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a 例2 因为函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数,a=log23=log49>log46>1,log32<1, 所以b<c<a. 15 √ (2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1) A.loga5.1<loga5.9 B.lo2.1>lo2.2 C.log1.1(a+1)<log1.1a D.log32.9<log0.52.2 选项A,因为a和1大小的关系不确定,无法确定函数的单调性,故A不成立; 选项B,因为以为底的对数函数是减函数,所以成立; 对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,所以不成立; 选项D,log32.9>0,log0.52.2<0,所以不成立,故选B. 16 思维升华 1.同底数的对数值比较大小: (1)同底数的对数式,直接利用对数函数的单调性. (2)若底数为同一参数的对数式,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 2.对于不同底的对数,可以估算范围,如1<log23<2,从而借助中间值比较大小. 17 (1)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b √ 训练2 lo=log23>log2e,则c>a. 因为b=ln 2=<1<log2e=a,所以a>b. 因此c>a>b,D正确. 18 (2)lo2与lo2的大小关系是____________.  lo2<lo2 ∵lo2=-,lo2=-, 又函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增, ∴log25>log23>0,从而-<-, 因此lo2<lo2. 19 反函数 三 20 探究3 给出函数f(x)=2x与g(x)=log2x. (1)两个函数的定义域、值域之间有什么关系? 提示　f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域. (2)在同一坐标系中,两函数的图象有什么关系? 提示　f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称. 21 1.一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为_________,它们的定义域和值域正好______. 2.互为反函数的两个函数的图象关于直线________对称. 知识梳理 反函数 互换 y=x 22 若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=,则f(2)+g(4)= A.3 B.4 C.5 D.6 √ 例3 法一　∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)==2x, ∴g(x)=log2x,∴f(2)+g(4)=22+log24=6. 法二　∵f(x)=,∴f(2)=4,故函数f(x)的图象经过点(2,4). ∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴函数g(x)的图象经过点(4,2), ∴f(2)+g(4)=4+2=6. 思维升华 互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. f(a+1)>f(2) 设函数y=ax的反函数为f(x),则f(a+1)与f(2)的大小关系是____________.  训练3 依题意,f(x)=logax, 当a>1时,f(x)是增函数, 由a+1>2,得f(a+1)>f(2). 当0<a<1时,f(x)是减函数, 由a+1<2,得f(a+1)>f(2), 综上可知,f(a+1)>f(2). 25 【课堂达标】 1.若a=log67,b=log76,c=loπ,则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a √ 易知a=log67>1,0<b<1, 且c=loπ<0,∴a>b>c. 2 3 4 1 2.若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(f(2))的值为 A.16 B.0 C.1 D.2 √ 函数y=2x的反函数是y=log2x, 则f(x)=log2x. ∴f(f(2))=f(log22)=f(1)=log21=0. 2 3 4 1 3.如图为函数y=m+lognx的图象,其中m,n为常数,则下列结论正确的是 根据图象可知,函数y=m+lognx(m,n是常数)是减函数,所以0<n<1. 又当x=1时,y<0,即y=m+logn1=m<0. √ A.m<0,n>1 B.m>0,n>1 C.m>0,0<n<1 D.m<0,0<n<1 2 3 4 1 4.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)过定点P,则点P的坐标是____________.  令2-x=1,得x=1,f(1)=3, 故P的坐标是(1,3). (1,3) 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.函数f(x)=log2x-2在[,8]上的值域为 A. B. C. D. 即log2x∈.故log2x-2∈, 即函数f(x)在[,8]上的值域为. 因为y=log2x在[,8]上单调递增,所以log2≤log2x≤log28, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.若对数函数y=log(a+1)x(x>0)是增函数,则实数a的取值范围是 A.(-1,0) B.(0,+∞) C.(-∞,-1) D.(0,1) 因为函数y=log(a+1)x在(0,+∞)上是增函数,所以a+1>1,则a>0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 3.设f(x)=3x+9,则其反函数的定义域是 A.(0,+∞) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(-∞,+∞) ∵3x>0,∴f(x)=3x+9>9, 因此其反函数的定义域为(9,+∞). √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 4.图中曲线分别表示y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象, 则a,b,c,d的大小关系是 √ A.0<a<b<1<d<c B.0<b<a<1<c<d C.0<c<d<1<a<b D.0<c<d<1<b<a 如图所示,当y=1时,x1=c,x2=d,x3=a,x4=b. ∵0<x1<x2<1<x3<x4, ∴0<c<d<1<a<b,故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 5.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是 A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 √ 依题意,得∴ 则有f(x)=log4(x-3). 由于函数f(x)的定义域是{x|x>3}, 则函数不具有奇偶性,很明显函数f(x)在定义域上是增函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.(多选)已知a=log32,b=ln 2,c=lo2,d=,则 A.a<b B.b<c C.a<d D.b>d √ 结合图象,易知0<a<b<1,A正确; 由于c=lo2<0,知B错误; 利用函数单调性,a=log32>log3==d,则C错误; 又b=ln 2>ln==d,知D正确. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是 √ √ 由ab=1,得=a, ∴g(x)=-logbx=lox=logax. 因此函数f(x)与g(x)具有相同的单调性,且两函数图象关于y=x对称,结合图象特征知A,B满足题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数f(x)=loga(10-3x)+9的图象恒过定点A,则点A的坐标为____________,若点A在幂函数g(x)的图象上,则g(8)=____________.  (3,9) 64 令10-3x=1,则x=3,y=9. ∴f(x)的图象恒过定点A(3,9), 又点A(3,9)在g(x)=xα的图象上, ∴3α=9,则α=2,g(x)=x2, 因此g(8)=82=64. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为____________.  b>a>c 因为f(x)=log0.2x为(0,+∞)上的减函数,且0.2<0.3<1<4. 则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24, 即c<0<a<1. 同理b=log26>log22=1,故b>a>c. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点,则a=____________.  因为点在y=f(x)的图象上, 所以点在y=ax的图象上, 则有=,即a2=2, 又因为a>0,所以a=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.比较下列各组中两个值的大小: (1)3log45,2log23;(2)log40.3,log50.3. (1)∵3log45=log4125,2log23=log23=log481,且函数y=log4x在区间(0,+∞)上是增函数,又125>81,∴3log45>2log23. (2)∵log0.35<log0.34<0, ∴<,即log40.3<log50.3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(9,2),则下列说法正确的是 A.a=2 B.函数f(x)为增函数 C.若x>3,则f(x)>1 D.若0<x1<x2,则>f √ √ 由loga9=2,得a=3,A错误; 由于f(x)=log3x是增函数,B正确; 当x>3时,f(x)>f(3)=1,C正确; 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 因为==log3,f=log3, 又0<x1<x2, 所以<, 所以log3<log3, 即<f,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知函数f(x)=则f(8)=____________,若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,则实数m的取值范围是________________.  3 {0}∪[2,+∞) 当x=8时,f(8)=log28=3; 作出函数f(x)的图象,如图所示, 若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,由图象可知, 当m≥2或m=0时满足条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示. 将点A(2,1),B(5,2)的坐标代入f(x), 得 解之得a=2,b=-1, 则f(x)=log3(2x-1),定义域. (1)求f(x)的解析式与定义域; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)函数f(x)的图象怎样由函数y=log3(2x)的图象得到? (3)求函数f(x)在[1,4]上的最大值和最小值. (2)f(x)=log3(2x-1)=log32, ∴f(x)的图象由y=log3(2x)的图象向右平移个单位长度得到. (3)易知f(x)为在[1,4]上的单调递增函数, ∴f(x)max=f(4)=log37,f(x)min=f(1)=log31=0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为____________.  ∴2logax=logax',则x'=x2.∴正方形ABCD的边长=|BC|=x2-x=2,解得x=2. 由已知,得AB垂直于x轴,∴A(x,3logax). 正方形ABCD边长=|AB|=3logax-2logax=logax=2,即loga2=2,∴a=. 设B(x,2logax),C(x',logax'),∵BC平行于x轴, 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,试借助图象比较f(a),f(b),f(c)的大小. 先作出函数y=lg x的图象, 再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方, 于是得f(x)=|lg x|的图象(如图), 由图象可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 由>a>b>1得f>f(a)>f(b), 而f==|-lg c|=|lg c|=f(c).∴f(c)>f(a)>f(b). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $