第二十八章 旋转（复习课件）数学新教材人教版九年级上册

第二十八章 旋转 复习课件 人教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 02 工具掌握 掌握旋转、中心对称的性质，会画出图形旋转、中心对称后的图形；熟记关于原点对称的点的坐标变化规律，完成坐标变换计算. 01 识别旋转、中心对称、中心对称图形，分清两个图形成中心对称与中心对称图形的区别，能找准旋转中心、旋转角、对称点. 概念识别 深化理解 理解中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，能区分旋转、轴对称、平移三种全等变换，综合利用性质解决几何证明与计算. 03 思想与应用 体会变换、数形结合思想，能利用旋转进行图案设计，会结合坐标系解决旋转、中心对称相关综合问题. 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 1. 在复杂图形中准确找到旋转中心、旋转角，灵活运用旋转性质进行线段、角度转化. 2. 区分“两个图形成中心对称”和“中心对称图形”两个概念，避免概念混淆. 3. 旋转与平面直角坐标系结合的综合题，旋转后点的坐标分析，多种图形变换综合运用. 1. 掌握图形旋转的概念与性质，能依据条件画出旋转之后的图形，识别旋转角与对应点. 2. 掌握中心对称、中心对称图形的性质，理解关于原点对称点的坐标变化规律. 3. 会综合运用旋转、中心对称性质进行几何计算、证明，辨别常见的中心对称图形. 重 点 难 点 4 知识图谱 旋转及其性质 中心对称 中心对称图形 关于原点对称的点的坐标 平移及其性质 轴对称及其性质 图案设计 5 考点串讲 ——1：图形的旋转 旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 如果图形上的点P经过旋转后变为点，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 归纳总结 （1）旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； （2）旋转只改变图形位置，不改变形状、大小； （3）旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角. O 旋转的性质：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角；旋转前后图形全等. 6 考点串讲 ——2：中心对称及其性质 归纳总结 （1）中心对称是旋转角为180°的特殊旋转； （2）对称中心是每一组对称点连线的中点； （3）成中心对称的两个图形一定全等. 中心对称：一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心. 中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分. 7 考点串讲 ——3：中心对称图形 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 归纳总结 （1）对象是一个图形，旋转180°后和自身重合； （2）常见图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆； （3）和“成中心对称”区分：前者是一个图形，后者是两个图形. 8 考点串讲 ——4：关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为. 归纳总结 （1）横、纵坐标全部变为相反数； （2）作图形关于原点对称图形：求出顶点对称点，再依次连接； （3）注意和x轴、y轴对称的坐标规律对比区分. 9 考点串讲 ——5：平移、轴对称、旋转综合应用 平移、轴对称和旋转都是全等变换，变换前后图形只改变位置，形状、大小保持不变，可以利用图形的变换进行图案设计. 归纳总结 （1）三者均为全等变换，对应线段、对应角不变； （2）图案设计：选定基本图形，通过旋转、轴对称、平移组合得到新图案； （3）几何中常用旋转实现线段、角的转移. 10 题型全解 题型01 旋转概念与性质应用 例：如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 【解析】根据等边三角形的三线合一定理可知是的中线、边上的高、的角平分线，根据三角形的高、角平分线的性质、旋转的性质即可求出角的度数． 解：是一个等边三角形，，，点为边的中点，，平分， ，， 由旋转可知， ， ， 又，是等边三角形，， ． 11 题型全解 方法总结 方法1：三要素分析法 ①找准旋转中心、旋转方向、旋转角； ②找到各组对应点，对应点到旋转中心距离相等； ③对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角. 方法2：全等转化法 ①旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等； ②将所求线段、角转化为它的对应线段、对应角； ③结合已知条件计算角度与线段长度. 题型01 旋转概念与性质应用 题型全解 题型02 画旋转、中心对称后的图形 例：如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后,点旋转后对应点的坐标. 【解析】（1）根据网格结构找出点、、旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点绕点顺时针旋转后的位置，然后写出坐标即可． 解：（1）如图所示 （2）由旋转的性质及网格特征可得，点的坐标为． 13 题型全解 方法总结 方法1：关键点作图法 ①找出多边形的各个顶点（关键点）； ②作出每个关键点旋转（或中心对称）后的对应点； ③按原顺序依次连接各对应点得到新图形. 方法2：依据性质定位法 ①旋转：利用“对应点到旋转中心距离相等”确定点； ②中心对称：延长线段，截取等长线段得到对称点. 题型02 画旋转、中心对称后的图形 例：下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型全解 题型03 中心对称与中心对称图形辨析 D 【解析】根据中心对称图形：将图形沿某点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形；轴对称图形：将图形沿某条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案． 解：A.选项图形不是中心对称图形，故不符合题意；B.选项图形不是轴对称图形，故不符合题意；C.选项图形不是轴对称图形，故不符合题意；D.既是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意．故选D. 15 题型全解 方法总结 方法1：定义判别法 ①两个图：旋转180°后互相重合⇒成中心对称； ②一个图：旋转180°后与自身重合⇒中心对称图形. 方法2：实例排除法 ①熟记常见中心对称图形； ②注意区分轴对称图形与中心对称图形，判断是否同时满足两种性质. 题型03 中心对称与中心对称图形辨析 题型全解 题型04 关于原点对称的点的坐标 例：如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称,则点关于原点对称的点的坐标为（     ）  A． B． C． D． C 【解析】根据已知条件,利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标,再利用待定系数法求出直线的解析式,令,求出点P的坐标,利用中心对称的性质求出点的坐标,从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 解：∵点，的坐标分别为，，，，是等腰直角三角形，，如图，过点A作交于点D，∴，∴，设直线解析式为， 则，解得，∴直线解析式为．令，则，，又点A与点关于点P成中心对称，点为的中点， ，∴点关于原点对称的点的坐标为． 17 题型全解 方法总结 方法1：直接代换法 ①点关于原点对称直接写； ②已知对称点，反向还原原来点的坐标. 方法2：图形描点法 ①求出多边形各顶点关于原点的对称点坐标； ②在坐标系描点，顺次连接，得到对称后的图形. 题型04 关于原点对称的点的坐标 题型全解 题型05 旋转综合几何题 例：【探究发现】 (1)如图1，的顶点在正方形两条对角线、的交点处，，将绕点旋转，在旋转过程中，的两边分别与正方形的边和边交于点和点（点与点，不重合）．猜想线段，，之间满足什么数量关系，并说明理由； 【类比应用】 (2)如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． 19 题型全解 题型05 旋转综合几何题 【解析】（1）先证明,得出,即可得出结论;（2）过点作于点,于点,取的中点,连接,先证明是等边三角形,再证明得出,证明得出,即可得出结论． 【答案】(1)解：，理由：∵四边形是正方形， ，，，，     ， ， ，在和中， ，，， ，，     ，，． (2)解：（1）中的结论不成立．应为．理由： 如图2，过点作于点，于点，取的中点，连接， 则，∵四边形是菱形，， ，，     ，，， 是等边三角形，，     ，， 即，，     ， 在和中，，， ，    ，     ． 题型全解 题型05 旋转综合几何题 题型全解 方法总结 方法1：旋转构造法 ①题目有相等边（等边、正方形），考虑旋转转移边角； ②确定旋转中心、角度，构造全等三角形； ③利用全等得到相等线段、相等角完成推导. 方法2：变换对比法 ①分清是平移、轴对称还是旋转变换； ②结合全等变换性质，梳理边角关系； ③结合图形条件完成计算或证明. 题型05 旋转综合几何题 针对训练 1．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． C 【解析】根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标特点，即可求解． 解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 即A、C两点关于原点对称， ∵， ∴． 针对训练 2．如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为_____平方米． 【解析】根据中心对称图形的性质可知阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 解：∵观赏鱼池是中心对称图形，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 针对训练 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)请画出关于原点中心对称的； (3)若绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标为______； (4)若存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标：_____________________． 【解析】（1）根据平移的性质作图即可；（2）根据中心对称的性质作图即可；（3）连接，，，相交于点，则点即为旋转中心；（4）结合平行四边形的性质确定点的坐标，以，，作为对角线分别讨论． 解:(1)如图所示；(2)如图所示. 针对训练 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)请画出关于原点中心对称的； (3)若绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标为______； (4)若存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标：_____________________． （3）如图，连接，，，相交于点，则旋转中心点的坐标为． ，， （4）以为顶点的平行四边形有三种情况，分别以，，作为对角线．所以点的坐标为，，. 针对训练 4．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【解析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 针对训练 解：如图所示：连接，过点O作，垂足为D， ∵是正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确，符合题意； 针对训练 ∵，，∴是等边三角形， ∴，故结论②正确，符合题意； ∵， ∴， 在中,,, ∴， ∴是直角三角形，， ∵是等边三角形，∴， ∴，故结论③正确，符合题意； 针对训练 四边形的面积为：， 过点O作， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴四边形的面积为，故结论④不正确，不符合题意； 针对训练 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，，∴，故结论⑤正确，符合题意； 综上所述：结论①②③⑤正确， 针对训练 4．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【解析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． A 解：（1）∵点是的中点，，， ∴，， ∵， ∴； 针对训练 5．在中，，点是的中点，连接，点是上的一点，连接． (1)如图，若，，求线段的长度； 【解析】（1）取的中点，连接，求出，，根据勾股定理即可求出答案； 针对训练 5．在中，，点是的中点，连接，点是上的一点，连接． (2)如图，若点是的中点，过点作于点，交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系并证明； 【解析】（2）过点作于点，过点作交于点，交于点，证明，则，证明，则，即可证明结论成立； 针对训练 (2)，理由如下： 过点作于点，过点作交于点，交于点， ∵，∴，∴， ∵点是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴ 针对训练 5．在中，，点是的中点，连接，点是上的一点，连接． (3)如图,以为斜边在下方作等腰,,连接并延长至点,使得,在直线上方取一点,连接,,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接,若,,请直接写出的最小值. 【解析】（3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，证明，则，当三点共线时，最短，为的长度，证明，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点D，证明为等腰直角三角形，证明点在线段上运动，当时，取得最小值，进一步求解即可． 针对训练 （3）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最短，为的长度， ∵，∴， ∴为等腰直角三角形，∴， 针对训练 如图，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点D，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∵在上运动，且以为斜边在下方作等腰，，∴当F与E重合时，K与Q重合，当F与B重合时，K与重合， ∴点在线段上运动， 当时，取得最小值， ∵是的中点，∴，∴， ∴，∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，根据面积法可得，，∴的最小值为． 单元总结/易错复盘 ·旋转与中心对称 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角. 中心对称是旋转180°的特殊旋转；区分“两个图形成中心对称”与“中心对称图形”. ·坐标规律 点关于原点对称点是；作中心对称图形，只需要求出关键点的对称点再连线. ·答题注意事项 找旋转角要看“对应点”和旋转中心的连线；不要混淆中心对称和中心对称图形概念；原点对称坐标横纵坐标都变号，不可只变其中一个；综合题善用旋转实现边角转移. 39 人教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $