第二十八章 旋转（四大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学“旋转”单元知识清单系统梳理了图形旋转、中心对称、坐标系旋转规律及经典几何模型等核心内容，搭建了从基础概念（定义、三要素）到性质应用再到模型解题的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类+注意事项+对点训练”构建完整知识体系，如标注旋转角找法、原点旋转口诀等记忆技巧，突出手拉手模型等应用提示，培养学生几何直观与推理意识。教师可利用其精准突破重难点，学生能自主梳理知识，提升学习效率。

第二十八章 旋转 一、图形的旋转 1. 旋转定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 · 定点：旋转中心 · 转动角度：旋转角 · 旋转方向：顺时针、逆时针 2. 旋转三要素（缺一不可） 旋转中心、旋转方向、旋转角度 3. 旋转的基本性质 1. 旋转前、后的两个图形全等，图形形状、大小完全不变，仅位置改变； 1. 对应点到旋转中心的距离相等； 1. 任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角； 1. 对应线段相等，对应角相等。 4. 旋转作图步骤 ① 确定旋转中心、旋转方向、旋转角度； ② 找出原图形所有关键顶点； ③ 依次作出每个关键点绕中心旋转后的对应点； ④ 按照原图顺序顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。 二、中心对称 1. 中心对称（两个图形） 定义：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 2. 中心对称的性质 1. 成中心对称的两个图形全等； 1. 对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分； 1. 对应线段平行（或共线）且相等。 3. 中心对称图形（单个图形自身属性） 定义：一个图形绕自身中心点旋转 后，能和原来的图形互相重合，这个图形叫做中心对称图形。 ✅ 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 ❌ 不是：等边三角形、等腰梯形、正五边形 4. 中心对称 vs 中心对称图形区别 1. 中心对称：描述两个图形之间的位置关系； 1. 中心对称图形：描述一个图形自身具备的特征。 三、平面直角坐标系中点绕原点旋转规律 设点坐标 ，绕坐标原点旋转： 1. 逆时针旋转 ： 1. 顺时针旋转 ： 1. 旋转 （顺、逆时针结果一致）： 四、旋转经典几何模型（大题高频考点） 1. 手拉手全等模型 适用：共顶点的两条相等线段（等边三角形、等腰直角三角形、正方形） 核心：将其中一个图形绕公共顶点旋转，构造出一对全等三角形，实现边角转移。 2. 正方形半角模型 正方形内部含 角，通过旋转将分散两条线段拼接，证明线段和差等式。 3. 构造旋转解题通用思路 题目出现：邻边相等的图形（等边△、等腰Rt△、正方形）、线段求和求最值、分散边角条件 解题技巧：利用旋转把分散的边、角集中到同一个三角形中，结合勾股定理、全等求解。 易错点1 利用旋转的性质求解 易错提醒 易错点总结 1. 不会找准旋转角，误把任意夹角当成旋转角，导致角度计算全部错误。 2. 忽略旋转前后对应点到中心距离相等，不会构造等腰三角形求边长、角度。 3. 误以为旋转改变图形大小，忘记旋转属于全等变换，边长、角度不变。 4. 多角叠加题型，漏找隐藏的等角、余角、补角，角度推导不完整。 注意事项总结 1. 旋转角唯一找法：对应点与旋转中心连线的夹角，全部相等。 2. 看到旋转立刻锁定三性质：边相等、角相等、旋转角相等。 3. 旋转一定全等，只求位置变化，不求大小变化。 4. 求角度优先找：公共角、旋转角、等角替换，不要盲目目测。 【对点训练】1．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，且，求及的度数． 【答案】， 【分析】根据旋转的性质可得，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可．． 【详解】解：根据旋转的性质可知，，， 所以， 所以． 易错点2 利用旋转的性质证明 易错提醒 易错点总结 1. 证明全等时条件写不全，只写一组边相等，遗漏旋转角相等关键条件。 2. 手拉手模型不会用，看不出旋转产生的 SAS 全等，卡题、不会推导。 3. 证明线段相等、垂直、共线时跳步，逻辑不严谨扣分。 4. 混淆旋转前后对应边、对应角，对应关系错乱导致证明错误。 注意事项总结 1. 旋转证明万能套路：找共顶点等线段 → 找旋转角相等 → 证 SAS 全等。 2. 所有旋转证明必须写明：由旋转得 对应角相等，对应边相等。 3. 手拉手模型必考：共顶点双等腰必出一对全等三角形。 4. 严格找准对应顶点，不随意调换边角顺序。 【对点训练】2．如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)可看成绕点D顺时针旋转得到 (2)解：，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是斜边上的高， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明， 即可得到结论． 【详解】（1）解：可看成绕点D顺时针旋转得到． 理由如下： ∵经过旋转到了的位置， ∴，． ∵为斜边上的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴绕点D顺时针旋转得到． （2）略 易错点3 中心对称与坐标系中点的坐标问题 易错提醒 易错点总结 1. 混淆、旋转坐标公式，正负号写反，坐标直接算错。 2. 把中心对称（旋转）和轴对称坐标弄混，公式乱用。 3. 题目绕非原点旋转，仍套用原点公式，导致全盘错误。 4. 判断中心对称图形、轴对称图形判断错误，概念混淆。 注意事项总结 1. 原点旋转口诀牢牢背熟： ①逆时针：(-y,x) ②顺时针：(y,-x) ③旋转：(-x,-y) 2. 非原点旋转不能套公式，必须画图平移推导。 3. 中心对称：旋转重合；轴对称：翻折重合，完全不同。 4. 做题先看清：顺时针还是逆时针，避免方向看反。 【对点训练】3．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上 (1)画出把向下平移4个单位长度后得到的（A、B、C的对应点分别为、、） (2)画出关于原点O成中心对称的（A、B、C的对应点分别为、、） (3)画出绕点A逆时针旋转后得到的（A、B、C的对应点分别为、、） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)如图，即为所求． 【分析】（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形； （2）根据中心对称性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形； （3）根据旋转性质和网格特点得到对应点的位置，再顺次连接可得图形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 易错点4 旋转中的规律问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会找旋转周期，不知道正方形、三角形旋转周期规律。 2. 求第 n 次旋转位置，直接硬算，不会用余数法快速判断。 3. 周期判断错误：把周期 4 当成周期 2，导致所有规律答案错位。 4. 落点坐标、运动路程、扫过面积规律不会推导。 注意事项总结 1. 常见固定周期： ① 旋转图形：周期 4 ② 旋转图形：周期 3 ③ 旋转图形：周期 2 2. 第 n 次位置万能法：n÷周期，看余数定位置。 3. 余数为 0 代表回到周期最后一个位置。 4. 规律题必须先写出前 3–4 次位置，确认周期再计算。 【对点训练】4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，可得点逆时针旋转后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点B的坐标为， ∴， ∴A点坐标为， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环， 即，，，． ∵， ∴点与同在一个象限内． ∵，，， ∴点． 易错点5 旋转与几何综合应用 易错提醒 易错点总结 1. 不会利用旋转转移线段、转移角度，条件分散无法解题。 2. 旋转后出现直角三角形、等腰三角形，不会结合勾股定理求边长。 3. 半角模型、手拉手模型看不出旋转结构，完全卡题。 4. 求旋转扫过面积时，分不清扇形半径、圆心角，面积公式代入错误。 5. 多解问题不分类讨论旋转方向（顺/逆时针），漏解扣分。 注意事项总结 1. 综合题看见共顶点等边、等腰、正方形，优先考虑旋转构造全等。 2. 旋转核心思想：把分散边角集中到一个三角形中。 3 扫过面积 = 扇形面积，严格找准：圆心角 = 旋转角、半径 = 旋转中心到顶点距离。 4. 无图旋转题一定要讨论：顺时针、逆时针两种情况，防止漏解。 5. 旋转综合必结合：全等、勾股、扇形面积、等腰三角形性质。 【对点训练】5．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在中，，，点，在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)【问题解决】将上述解题过程补充完整． (2)刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点，分别在边，上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，，分别与对角线交于，两点．探究，，的数量关系并证明． (3)【拓展应用】如图④，在矩形中，点，分别在边，上，且．探究，，的数量关系：（直接写出结论，不必证明）． 【答案】(1)解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即， ． 在和中， ， ． 又， 在中，． ，， ； (2)； 证明：如图③，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， 由旋转的性质可得，，， 由题意可得， ． 在和中， ， ， ． 为正方形的对角线， ． ， ． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ． 在中，由勾股定理得， ； (3)； 【分析】（1）由旋转的性质可得，进而证明可得，再说明、，再运用勾股定理即可解答； （2）由旋转的性质以及题意可得，再证明可得，再结合正方形的性质可证得，易证可得，最后在中运用勾股定理即可解答； （3）如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线于点O，则可得，再说明是等腰直角三角形，即；由（2）知，则；再根据勾股定理可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：； 如图④，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交延长线于点， ， ，． ∵，， 为等腰直角三角形， ． 由【知识迁移】可得， ，， 由勾股定理得， ． ，，， ， ， ． 一、单选题 1．如图，在中，，，P是的中点，，交于点E，交于点F，现给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）当在内绕顶点P旋转时始终有．（点E不与A，B重合）．上述结论中始终正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先判定为等腰直角三角形，利用斜边中线性质得到相等线段与等角，通过证明与全等，由此验证①②；借助全等三角形面积相等进行等面积转化，推导四边形与的面积关系验证③；结合等腰三角形性质与三角形边长关系，判断与长度不相等，否定④，最后统计正确结论数量． 【详解】在△中，，， △是等腰直角三角形， ， 是中点， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， △是等腰直角三角形，故①正确；②正确； △△ ， ，故③正确； △是等腰直角三角形，是的中点， ， 无法证明与一定相等，故④错误； 即正确的有3个． 2．如图，等腰中，，，且边在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时…，按此规律继续旋转，直至得到点为止．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由旋转的性质找出题目中长度的规律，每次加上，，，即每旋转次长度增加，然后列出式子进行求解，即可得到答案． 【详解】解：依题意，，；，， ，，，…… ，每次加上，，，即每旋转次长度增加； ∵ ∴． 3．如图，O是等边内一点，，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断①②，由，可判定③④． 【详解】解：如图，连接， ∵将线段绕点B逆时针旋转得到线段， 由旋转可得，， 是等边三角形， ，故①正确，符合题意； ， ， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，， ， ，故②正确，符合题意； 如图，过点作于点， 是等边三角形， ， ， ∵为等边三角形， ，故③正确，符合题意； 如图，将线段绕点C顺时针旋转到，连接，，过点C作于点M， 则，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，． ∴， ∴，故④正确，符合题意； 正确的结论有①②③④，共4个． 4．如图，将绕点A逆时针旋转一定的角度得到，点D的对应点B恰好落在的延长线上，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知：，，，，由直角三角形两个锐角互余可得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的判定和性质得出，最后由线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 二、填空题 5．如图，已知中，，，，将绕点B顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质可得是等边三角形，进而可得是直角三角形，然后由勾股定理可得． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质，得 ，，，， 是等边三角形， ，， ， 为直角三角形， ． 6．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据点、的坐标，用勾股定理计算的长度，得到的三边长度．分析每次旋转后轴上对应点的横坐标变化规律，明确每完成三次旋转（对应得到偶数下标点）时，横坐标的增量为的周长；找到偶数下标点的纵坐标规律，再结合下标是偶数的特点，推导其横坐标和纵坐标． 【详解】解：∵，， ∴，，且； ∴． ∴每完成次连续旋转、得到下标为偶数的点时，三角形的总水平前进距离为：， 同时的纵坐标等于原的长度（垂直于轴）， 即坐标为． 以此类推， 经过组完整的三次旋转、得到时，总水平前进距离为，坐标为． ∴可总结规律：下标为偶数的点，纵坐标恒为，横坐标为． ∴ 对于，对应，即， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，，，此时四边形的面积为________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用旋转性质得，由等腰三角形三线合一求出和的长度，设，分别表示出和，在中利用勾股定理列方程求出高，接着算出和的面积，最后根据旋转前后三角形面积相等得的面积，用的面积加上的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由旋转得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴，， 由旋转得， ∴． 8．如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为；④直线与直线相交所形成的锐角是；⑤．其中正确的是________（只填序号）． 【答案】 ①③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， 可以由绕点逆时针旋转得到， 故①正确； 如下图所示，连接， ， ， 由旋转可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 是直角三角形，， ， ， 故②错误； 是直角三角形，， 点到的距离为， 故③正确； 如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 故④正确； 是等边三角形，， ， ，，， ， ， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的有①③④⑤． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，中三个顶点的坐标为，，． (1)请画出与关于原点成中心对称的图形（，，的对应点分别为，，）； (2)将以点为旋转中心顺时针旋转得到的图形为（，，的对应点分别为，，），请画出，并写出的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 坐标：． 【分析】（1）利用关于原点中心对称的点坐标变换规则，横、纵坐标均取相反数，描点连线画出． （2）利用坐标绕原点顺时针旋转的变换规则描点连线画出，进而求出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：画出略，坐标：． 10．【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明：根据旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴； (2)解：；理由如下： 过点A作于点M，于点N，如图2所示： 根据旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； (3)的值为定值； 【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可； （2）过点作于点，于点，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论； （3）过点作于点，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的值为定值；；理由如下： 过点A作于点G，如图3所示： 根据旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（2）可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 11．【初步探究】 (1)如图1，在中，，在外作线段（点B、A、D不在同一条直线上），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】 (2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，设计了一个几何探究图形如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，小组在测量和研究中发现，，对角线，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组需要求出的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算． 【答案】(1)猜想：，理由如下， ， ，． 由旋转性质得，． ， ， 即． 在和中， ， ． (2)4 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）以为边作等边，连接，证明，得到，推出为直角三角形，勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，以为边作等边，连接， 是等边三角形， ，． 为等边三角形， ，． ， 即． 在和中， ， ， ，， ， 为直角三角形，其中，， ， ． 12．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，作的平分线交对角线于点，连结，． (1)若，①求证：；②求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，交于点，若，求． (3)如图3，当时，求证：． 【答案】(1)①证明：，平分， ． 正方形， ， ， ， ． 绕点旋转至， ． ． ②证明：， ， 四边形是平行四边形． ， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ． (2) (3)证明：由正方形可知， ， 在等腰中，， ． ， ． 正方形， ， ． 【分析】（1）①计算角度，得到，即可解答； ②证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）连接，通过平行四边形和正方形的性质，得到，，利用勾股定理可得，即可解答； （3）通过角度的计算得到，即可解答． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ． 正方形， ，， ， ， ， ， ； （3）略 13．将矩形绕点顺时针旋转度（），得到矩形． (1)如图1，当点在上时，与交于点，求证： ①； ②、、在同一条直线上； (2)当时，求的大小． 【答案】(1)证明：①∵， ∴， ∵四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ②如图，连接． ∵四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、、在同一条直线上． (2)或 【分析】（1）①欲证明，只要证明即可； ②连接，证明四边形是平行四边形，可得结论； （2）当时，点在的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据，即可得到旋转角的度数． 【详解】（1）略 （2）解：当时，点在的垂直平分线上， 分两种情况讨论， ①如图，当点在右侧时，取的中点，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角； ②如图，当点在左侧时，取的中点，连接交于点， 同理可得：是等边三角形， ∴， ∴旋转角． 综上所述，或． 14．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系：________． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图1，在上取，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3)解：，理由如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得， ， ， ， 点E，D，C共线． ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据旋转得到，，，，可得，进一步证明可得到答案； （2）在上取，连接．首先由，得，，再证明，得，即可得到答案； （3）利用旋转的性质即可得到，，，可得，得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，，，， ， 点，，共线． ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 15．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，当时，连接，连接交于点．若平分，． ①求证：； ②求的长． (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①证明：，， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ， ， ； ② (2)解：， 理由：如下图所示，延长至点，使，连接， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①证明，进而得出，得出，，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果； ②根据角平分线的定义可证：，根据直角三角形的两个锐角互余可证：，根据等角对等边可证，根据等腰直角三角形的性质即可求出的长度； （2）延长至点，使，连接，得出，再判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：略 ②解：如下图所示，过点作， ，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转 一、图形的旋转 1. 旋转定义 在平面内，将一个图形绕着一个_______按照某个______转动一个______，这样的图形运动叫做图形的旋转。 · 定点：______ · 转动角度：______ · 旋转方向：____________、____________ 2. 旋转三要素（缺一不可） 旋转______、旋转______、旋转______ 3. 旋转的基本性质 1. 旋转前、后的两个图形____________，图形形状、大小完全不变，仅位置改变； 1. 对应点到旋转中心的距离______； 1. 任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于______； 1. ____________相等，____________相等。 4. 旋转作图步骤 ① 确定旋转______、旋转______、旋转______； ② 找出原图形所有关键顶点； ③ 依次作出每个关键点绕中心旋转后的对应点； ④ 按照原图顺序顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。 二、中心对称 1. 中心对称（两个图形） 定义：把一个图形绕着某一点旋转____________，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______。 2. 中心对称的性质 1. 成中心对称的两个图形____________； 1. 对称点所连线段都经过对称中心，并且被______平分； 1. 对应线段平行（或共线）且相等。 3. 中心对称图形（单个图形自身属性） 定义：一个图形绕自身中心点旋转______后，能和原来的图形互相重合，这个图形叫做中心对称图形。 ✅ 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 ❌ 不是：等边三角形、等腰梯形、正五边形 4. 中心对称 vs 中心对称图形区别 1. 中心对称：描述两个图形之间的位置关系； 1. 中心对称图形：描述一个图形自身具备的特征。 三、平面直角坐标系中点绕原点旋转规律 设点坐标 ，绕坐标原点旋转： 1. 逆时针旋转 ： 1. 顺时针旋转 ： 1. 旋转 （顺、逆时针结果一致）： 四、旋转经典几何模型（大题高频考点） 1. 手拉手全等模型 适用：共顶点的两条相等线段（______三角形、____________三角形、____________） 核心：将其中一个图形绕公共顶点旋转，构造出一对全等三角形，实现边角转移。 2. 正方形半角模型 正方形内部含 ______ 角，通过旋转将分散两条线段拼接，证明线段和差等式。 3. 构造旋转解题通用思路 题目出现：邻边相等的图形（等边△、等腰Rt△、正方形）、线段求和求最值、分散边角条件 解题技巧：利用旋转把分散的边、角集中到同一个三角形中，结合勾股定理、全等求解。 易错点1 利用旋转的性质求解 易错提醒 易错点总结 1. 不会找准旋转角，误把任意夹角当成旋转角，导致角度计算全部错误。 2. 忽略旋转前后对应点到中心距离相等，不会构造等腰三角形求边长、角度。 3. 误以为旋转改变图形大小，忘记旋转属于全等变换，边长、角度不变。 4. 多角叠加题型，漏找隐藏的等角、余角、补角，角度推导不完整。 注意事项总结 1. 旋转角唯一找法：对应点与旋转中心连线的夹角，全部相等。 2. 看到旋转立刻锁定三性质：边相等、角相等、旋转角相等。 3. 旋转一定全等，只求位置变化，不求大小变化。 4. 求角度优先找：公共角、旋转角、等角替换，不要盲目目测。 【对点训练】1．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，且，求及的度数． 易错点2 利用旋转的性质证明 易错提醒 易错点总结 1. 证明全等时条件写不全，只写一组边相等，遗漏旋转角相等关键条件。 2. 手拉手模型不会用，看不出旋转产生的 SAS 全等，卡题、不会推导。 3. 证明线段相等、垂直、共线时跳步，逻辑不严谨扣分。 4. 混淆旋转前后对应边、对应角，对应关系错乱导致证明错误。 注意事项总结 1. 旋转证明万能套路：找共顶点等线段 → 找旋转角相等 → 证 SAS 全等。 2. 所有旋转证明必须写明：由旋转得 对应角相等，对应边相等。 3. 手拉手模型必考：共顶点双等腰必出一对全等三角形。 4. 严格找准对应顶点，不随意调换边角顺序。 【对点训练】2．如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 易错点3 中心对称与坐标系中点的坐标问题 易错提醒 易错点总结 1. 混淆、旋转坐标公式，正负号写反，坐标直接算错。 2. 把中心对称（旋转）和轴对称坐标弄混，公式乱用。 3. 题目绕非原点旋转，仍套用原点公式，导致全盘错误。 4. 判断中心对称图形、轴对称图形判断错误，概念混淆。 注意事项总结 1. 原点旋转口诀牢牢背熟： ①逆时针：(-y,x) ②顺时针：(y,-x) ③旋转：(-x,-y) 2. 非原点旋转不能套公式，必须画图平移推导。 3. 中心对称：旋转重合；轴对称：翻折重合，完全不同。 4. 做题先看清：顺时针还是逆时针，避免方向看反。 【对点训练】3．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上 (1)画出把向下平移4个单位长度后得到的（A、B、C的对应点分别为、、） (2)画出关于原点O成中心对称的（A、B、C的对应点分别为、、） (3)画出绕点A逆时针旋转后得到的（A、B、C的对应点分别为、、） 易错点4 旋转中的规律问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会找旋转周期，不知道正方形、三角形旋转周期规律。 2. 求第 n 次旋转位置，直接硬算，不会用余数法快速判断。 3. 周期判断错误：把周期 4 当成周期 2，导致所有规律答案错位。 4. 落点坐标、运动路程、扫过面积规律不会推导。 注意事项总结 1. 常见固定周期： ① 旋转图形：周期 4 ② 旋转图形：周期 3 ③ 旋转图形：周期 2 2. 第 n 次位置万能法：n÷周期，看余数定位置。 3. 余数为 0 代表回到周期最后一个位置。 4. 规律题必须先写出前 3–4 次位置，确认周期再计算。 【对点训练】4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 易错点5 旋转与几何综合应用 易错提醒 易错点总结 1. 不会利用旋转转移线段、转移角度，条件分散无法解题。 2. 旋转后出现直角三角形、等腰三角形，不会结合勾股定理求边长。 3. 半角模型、手拉手模型看不出旋转结构，完全卡题。 4. 求旋转扫过面积时，分不清扇形半径、圆心角，面积公式代入错误。 5. 多解问题不分类讨论旋转方向（顺/逆时针），漏解扣分。 注意事项总结 1. 综合题看见共顶点等边、等腰、正方形，优先考虑旋转构造全等。 2. 旋转核心思想：把分散边角集中到一个三角形中。 3 扫过面积 = 扇形面积，严格找准：圆心角 = 旋转角、半径 = 旋转中心到顶点距离。 4. 无图旋转题一定要讨论：顺时针、逆时针两种情况，防止漏解。 5. 旋转综合必结合：全等、勾股、扇形面积、等腰三角形性质。 【对点训练】5．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在中，，，点，在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)【问题解决】将上述解题过程补充完整． (2)刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点，分别在边，上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，，分别与对角线交于，两点．探究，，的数量关系并证明． (3)【拓展应用】如图④，在矩形中，点，分别在边，上，且．探究，，的数量关系：（直接写出结论，不必证明）． 一、单选题 1．如图，在中，，，P是的中点，，交于点E，交于点F，现给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）当在内绕顶点P旋转时始终有．（点E不与A，B重合）．上述结论中始终正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，等腰中，，，且边在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时…，按此规律继续旋转，直至得到点为止．则（     ） A． B． C． D． 3．如图，O是等边内一点，，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将绕点A逆时针旋转一定的角度得到，点D的对应点B恰好落在的延长线上，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，已知中，，，，将绕点B顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为_______． 6．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，，则点的坐标为______． 7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，，，此时四边形的面积为________． 8．如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为；④直线与直线相交所形成的锐角是；⑤．其中正确的是________（只填序号）． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，中三个顶点的坐标为，，． (1)请画出与关于原点成中心对称的图形（，，的对应点分别为，，）； (2)将以点为旋转中心顺时针旋转得到的图形为（，，的对应点分别为，，），请画出，并写出的坐标． 10．【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 11．【初步探究】 (1)如图1，在中，，在外作线段（点B、A、D不在同一条直线上），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】 (2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，设计了一个几何探究图形如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，小组在测量和研究中发现，，对角线，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组需要求出的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算． 12．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，作的平分线交对角线于点，连结，． (1)若，①求证：；②求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，交于点，若，求． (3)如图3，当时，求证：． 13．将矩形绕点顺时针旋转度（），得到矩形． (1)如图1，当点在上时，与交于点，求证： ①； ②、、在同一条直线上； (2)当时，求的大小． 14．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系：________． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 15．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，当时，连接，连接交于点．若平分，． ①求证：； ②求的长． (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $