四川成都外国语学校2026-2027学年高二上学期10月学月考试数学试卷（实验班）

成都外国语学校2026~2027学年度上期10月学月考试 高二（上）数学参考答案（实验班） 一、单项选择 CABD ACBC 二、多项选择 9．ABD 10．ABC 11．BD 三、填空题 12．18 13． 14． 四、解答题 15．【答案】（1）7；（2）19或13． 【小问1详解】 向量，，由，得，解得，， ，而，则， 所以． 【小问2详解】 由，得，即，解得， 由，得，解得， 当，时，； 当，时，， 所以值是19或13． 16．【答案】（1） （2）37.5 （3） 【详解】（1）由图可得，解得． （2）前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为． （3）由题意得第3组的人数，第4组人数频率之比为3∶2，所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人． 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种． 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 17．【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：因为，， 所以，同理可得，， 因为，所以， ，所以 ， 所以， ， 与所成角的余弦值是； （2）解：因为，， 所以，在菱形中，， 则为等边三角形，所以，所以 ，则点到直线的距离 ． 18．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【详解】（1）（ⅰ）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以． 因为，所以； （ⅱ）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则． 因为，所以． （2）在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠． 19．【详解】（1）如图， 沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形， 其中为的中点，与在圆锥中是同一点． 因为轨迹在圆锥的侧面上， 所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线． 又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短， 所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段． 由于，所以的长度为，又，所以． 所以，在等腰三角形中，，即的长度为． （2）如图，在底面圆中，过点作交圆于点， 由于平面，，平面，故，， 则，，两两垂直． 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 于是，，，设， 则，， 于是，则． 于是， 于是令，则； （3）解法1：由（2）可知，是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由于，， 则，即， 令，，，于是平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，于是； 即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2026~2027学年度上期10月学月考试 高二（上）数学试卷（实验班） 考试时间120分钟；满分150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间四点，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（ ） A．400 B．300 C．250 D．200 3．青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了10组随机数：926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（ ） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 4．现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人担任成都外国语学校运动会学生代表发言，则选出的2人中恰有一个男生一个女生的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 6．如图，在正四棱锥中，，为的中点，．若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 8．成年人饮水量健康标准：连续5天，每日饮水量均不低于视为达标：现有甲、乙、丙三人连续5天的日饮水量的数据（数据均为正整数，单位：）；①甲：中位数17，众数15；②乙：中位数18，平均值17；③丙：含1个数据21，平均值17，方差4.4，其中一定达标的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查．得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项正确的（ ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30~41周岁参保人数最多 10．如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形上的动点，则（ ） A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为（），收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为（），收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．下列正确的是（ ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为________． 13．若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有子集中任选1个，该集合是完美集合的概率是________． 14．正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点，，满足，，，，，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，，求值． 16．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17．如图，平行六面体中，底面是菱形，且，． （1）求与所成角的余弦值； （2）若空间有一点满足：，求点到直线的距离． 18．甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为．不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场． （1）已知． （ⅰ）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率． （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19．如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． （1）求长度的最小值； （2）若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； （3）在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $