4.4.3不同函数增长的差异课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.3　不同函数增长的差异 第四章　4.4　对数函数 索引 课时精练 一、几类函数模型的增长差异 二、函数增长速度的比较 三、函数模型的选择 课堂达标 内容索引 几类函数模型的增长差异 一 探究 把一次函数y=2x、对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象画到同一坐标系下,观察图象并思考下面问题: (1)这三个函数在区间(0,+∞)内的单调性是怎样的? 提示　都是单调递增函数. (2)当x趋于无穷大时,在这三个函数中,哪一个函数的增长速度快?哪一个慢? 提示　函数y=2x增长速度最快,y=2x匀速增长,y=lg x的增长速度最慢. 4 三种常见函数模型的增长差异 知识梳理 　　函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞) 上的增减性 _________ _________ _________ 图象的 变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增函数 增函数 增函数 5 　　函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过______________的增长速度 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有____________________ y=kx(k>0) ax>kx>logax 6 (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型. 温馨提示 7 (1)下列函数中,增长速度最快的是 A.y=2 026x B.y=x2 026 C.y=log2 026x D.y=2 026x 例1 √ 比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快. 8 (2)(链接教材P139练习T1)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表: √ 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2 x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 9 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较,指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数. 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大 ,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,增长速度平缓. (4)幂函数模型:幂函数y=xα(α>0)的增长速度介于对数增长和指数增长之间. 思维升华 11 (多选)下列函数中,在(0,+∞)内增长速度越来越快的是 A.y=7x B.y=log7x C.y=x2 D.y=7x 训练1 √ √ D中一次函数的增长速度不变;A,C中函数的增长速度越来越快; B中对数函数的增长速度越来越慢,不符合题意. 12 函数增长速度的比较 二 13 (链接教材P139练习T2)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. 例2 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; 函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3对应的图象为C1. 14 (2)结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2 026),g(2 026)的大小. 因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024, 所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), 因此1<x1<2,9<x2<10, 所以x1<8<x2<2 026. 由图象知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x); 当x>x2时,f(x)>g(x)且g(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以f(2 026)>g(2 026)>g(8)>f(8). 15 思维升华 1.准确作图是解题的关键,一是区别函数不同的增长速度;二是注意两个函数的交点,无法求出的可以用字母代替; 2.利用图象高低,可以求出满足不等式的自变量的范围,或者直观比较一些无法计算的函数值的大小. 16 函数f(x)=ln x,g(x)=0.6x-1的图象如图所示. 训练2 (1)由题图知,C1对应的函数为g(x)=0.6x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x); 当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x); 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x); 当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x). (1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数; (2)比较这两个函数的增长差异(以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 17 函数模型的选择 三 18 某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表: 例3 为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,a>0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由. 月份 1 2 3 月产量/千件 50 52 53.9 将(1,50),(2,52)分别代入两解析式得(a>0且a≠1). 解得(两方程组的解相同). 所以两函数分别为y=2x+48或y=2x+48. 当x=3时,对于y=2x+48有y=54; 对于y=2x+48有y=56. 由于56与53.9的相差较大, 所以选函数y=ax+b模拟较好. 20 思维升华 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能进行理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论. (3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题. 某产品近日开始上市,通过市场调查,得到该产品每件的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如表: 训练3 (1)根据上表数据,从下列函数模型中选取一个恰当的函数模型来描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系,并简要说明你选取的理由; ①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx(b>0,且b≠1). 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 22 因为随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的函数模型中y=ax+b和y=alogbx(b>0,且b≠1)都是单调函数,不满足题意, 所以选择y=ax2+bx+c. 23 (2)利用你选取的函数模型,求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格. 把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,得 所以y=x2-10x+126=(x-20)2+26,所以当x=20时,y有最小值26, 所以当该产品上市20天时市场价最低,最低的价格为26元. 24 【课堂达标】 1.下列函数中,增长速度最快的是 A.y=10x B.y=log2x C.y= D.y=x2 √ 2 3 4 1 2.有一组实验数据如表所示: √ 通过所给数据可知y随x增大而增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.只有模型y=ax2+b(a>0)适合. 下列所给函数模型较适合的是 A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 2 3 4 1 3.已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为____________.  在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=2x的图象如图所示. f(x)>g(x) 由于函数f(x)=3x的图象在函数g(x)=2x图象的上方,故f(x)>g(x). 2 3 4 1 4.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示, 以下四种说法: 由图可知,前三年产量增长的速度越来越慢,故①错误,②正确;第三年后这种产品的总产量保持不变,即第三年后停产,故④错误,③正确. ②③ ①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的序号是____________.  2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是 A.y=ex B.y=100 ln x C.y=x100 D.y=100·2x 指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且a值越大,增长速度越快,应选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据: 在坐标系中描出各点,知模拟函数为y=a+bx. 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) A.y=a+bx B.y=a+bx C.y=ax2+b D.y=a+ x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的y倍,需经过x年,则函数y=f(x)的图象大致为 √ 依题意y=(1+10.4%)x=1.104x(x≥0). 指数函数单调递增,且过点(0,1),选项B适合. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 4.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 在2 h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且为增函数,排除A,D; 停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C; 能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.(多选)如图,能使不等式log2x<x2<2x成立的x的范围是 由图象可知,当x>4或0<x<2时,符合不等式log2x<x2<2x. A.x>2 B.x>4 C.0<x<2 D.2<x< √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车,其行驶时间均为x小时,跑过的路程分别满足关系式:f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log3(x+1),f4(x)=2x-1,则5个小时以后跑在最前面的为 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 √ 法一　分别作出四个函数的图象(图略),利用数形结合,知5个小时后丁车在最前面. 法二　由于4个函数均为增函数,且f1(5)=52=25,f2(5)=20,f3(5)=log3(5+1)=1+ log32,f4(5)=25-1=31,f4(5)最大,所以5个小时后丁车在最前面. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是 A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示, 结合图象可得,当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x的增长速度最快,h(x)=log2x的增长速度最慢. 故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数y=x2与函数y=ln x在区间(0,+∞)上增长较快的是____________.  y=x2 作出y=x2与y=ln x的图象,通过比较图象可得. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案.甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,则投资500元,1 000元,1 500元时,应选择的方案分别是____________.  乙,甲,丙 将投资数分别代入甲、乙、丙的解析式,计算比较y值的大小可求得结果. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如表: 　 地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数),则a=____________,b=____________(取lg 2=0.3).  　 地震强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由题表中数据得 两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2, 所以alg 2=0.2,解得a=, 所以b=5-lg 1.6=5-(4lg 2-1)=5-×=. 则y=lg x+,经检验,后两次数据也适合. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下: 方案一:每年植树1万平方米; 方案二:每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好?(参考数据1.095≈1.538 6) 方案一:5年后树木面积为10+1×5=15(万平方米). 方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.若x∈(0,1),则下列结论正确的是 A.2x>>lg x B.2x>lg x> C.>2x>lg x D.lg x>>2x √ 法一　在同一坐标系中,作出函数y=2x,y=及y=lg x的图象(略). 当x∈(0,1)时,数形结合,易知2x>>lg x. 法二　因为x∈(0,1),所以2x>1>>0>lg x,即2x>>lg x. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意是____________.  ①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y=30+lg(x-1);④y=50. ① 由于指数型函数的底数大于1,其增长速度随着时间的推移是越来越快,所以y=10×1.05x是更为有前途的生意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.在同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x在(0,+∞)上的图象,并比较x+5与2x的大小. 作函数y=x+5与y=2x的图象如图所示. 根据图象知,当0<x<3时,x+5>2x; 当x=3时,x+5=2x;当x>3时,x+5<2x. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x(单位:万元)(4≤x≤10)时,奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加, 但奖金总数不超过2万元,同时奖金不超过销售利润的.则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3 ≈0.48,lg 5≈0.7) A.y=0.4x B.y=lg x+1 C.y= D.y=1.125x √ 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 在选项B中,y=lg x+1在区间[4,10]上是单调递增函数,当x=10时,ymax=2. 由图知lg x+1<在x∈[4,10]上恒成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.我国的烟花名目繁多,花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂,通过研究,发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)存在函数关系,并得到相关数据如下表: 时间t 2 4 高度h 10 25 17 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由表中数据分析可知,烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势,则在给定的三类函数中,只有y2可能满足,故选取该函数.设h(t)=y2=at2+bt+c, 有 ∴h(t)=-4t2+20t+1(t≥0). (1)根据上表数据,从下列函数中,选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系:y1=kt+b,y2=at2+bt+c,y3=abt,确定此函数解析式,并简单说明理由; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)利用你选取的函数,判断烟花爆裂的最佳时刻,并求出此时烟花距地面的高度. h(t)=-4t2+20t+1=-4(t2-5t)+1=-4+26, ∴当烟花冲出后2.5秒时是爆裂的最佳时刻,此时烟花距地面的高度为26米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $