专题 3.5.2 一元一次不等式组的实际应用 专题训练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 3.5.2 一元一次不等式组的实际应用（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型·1·列一元一次不等式组】 1 【题型·2·不等式组的经济问题】 2 【题型·3 不等式组的分配问题】 4 【题型·4 不等式组的方案选择问题】 4 【题型·5·不等式组的阶梯收费问题】 7 【题型 6·-元一次不等式组的其他应用】 9 【题型·1·列一元一次不等式组】 1．用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 2．据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 3．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 4．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【题型·2·不等式组的经济问题】 5．为响应苏超联赛“绿茵筑梦，少年同行”校园推广活动，丰富校园足球文化生活，某校准备采购足球训练器材和赛事宣传展板，用于足球社团训练及校园文化展示．已知：购买2套训练器材和3块宣传展板共需300元；购买4套训练器材和1块宣传展板共需260元． (1)求每套训练器材、每块宣传展板的单价； (2)学校计划购进两种物品共12件，宣传展板数量不少于训练器材数量的一半，总采购资金不超过680元，求共有几种可行购买方案． 6．为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包装产品．已知购进盒传统奶豆腐与购进盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食奶片的进价高元． (1)求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？ (2)为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过元的资金购进这两种产品共盒．若传统奶豆腐每盒售价为元，即食奶片每盒售价为元，且全部售出后利润不低于元，则最多可购进传统奶豆腐多少盒？ 7．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地，班级计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植，相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获7千克，每平方米番茄每月可收获5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 8．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 9．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 10．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【题型·3 不等式组的分配问题】 11．若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 12．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 13．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 14．振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送本，则还余本；如果每人送本，则最后一人能得到课外读物但不足本．设初一年级有名学生获奖．则列不等式组为___________． 15．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【题型·4 不等式组的方案选择问题】 16．某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 17．家委会计划用班费购买A，B两种相册共45本作为学生的毕业礼品，已知购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元． (1)求A，B两种相册的售价分别是多少元？ (2)若要求购买的A种相册的数量要不少于B种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，则家委会有多少种不同的购买方案？ 18．为办好明年全县学校读书活动，某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书架放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书架2个，乙种书架1个，共需资金600元；若购买甲种书架3个，乙种书架2个，共需资金1020元． (1)求甲、乙两种书架每个的价格分别是多少元； (2)若该校计划购进这两种规格的书架共20个，其中乙种书架的数量不少于甲种书架的数量，学校至多能够提供资金4320元，请问有几种购买方案供这个学校选择？哪种方案花费最少？ 19．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？ 20．2025年7—8月，广州出现“基孔肯雅热”疫情，当地开展大规模灭蚊防疫工作．为筑牢健康防线，衡山县相关部门践行“为民服务”宗旨，面向辖区群众免费发放驱蚊药品，上门开展消杀与健康宣教，用实际行动守护百姓健康！某单位计划同时购买一定数量的甲、乙品牌驱蚊药，若购进甲品牌驱蚊药20瓶和乙品牌驱蚊药10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌驱蚊药10瓶和乙品牌驱蚊药10瓶，共需资金800元． (1)甲、乙品牌驱蚊药的单价分别是多少元？ (2)某单位计划购进甲、乙品牌驱蚊药共50瓶，而可用于购买这两种驱蚊药的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌驱蚊药的数量不少于乙品牌驱蚊药数量的一半．请问：有几种购买方案？ 21．根据以下素材，探索完成任务： 背景 为保障“旗”县级男子篮球赛顺利开展，赛事组委会计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到场观看比赛的幸运观众． 素材1 已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． 素材2 赛事组委会在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯；方式二：全场商品享受九折优惠． 问题解决 (1)任务1：求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)任务2：赛事组委会计划购进笔筒m个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明赛事组委会共有几种采购方案？ (3)任务3：在（2）问的所有采购方案中，如果赛事组委会想要购进笔筒数量最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 22．为提升身体素质，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子．经调查，已知2根跳绳和5个毽子共需90元，4根跳绳和7个毽子共需156元． (1)每根跳绳和每个毽子的价格各是多少元； (2)商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二（买一赠一） 买一根跳绳赠送一个毽子 学校欲购买跳绳与毽子共50个，且计划购买的毽子个数不少于跳绳个数的4倍，若要使活动二更优惠，请通过计算策划购买方案． 【题型·5·不等式组的阶梯收费问题】 23．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 24．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 25．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 26．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 4.20 0.80 超过30吨的部分 b 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费．） 已知该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元． (1)求a、b的值； (2)实行“阶梯式水价”收费之后，该居民家用水多少吨时，其当月的平均水费每吨不超过3.64元？ (3)若该居民家2022年10月份、11月份共用水60吨，10月份和11月份一共缴交水费250元（水费每个月缴交一次）．已知10月份用水量大于11月份用水量，求该居民家10月份、11月份各用水多少吨？ 27．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【题型 6·-元一次不等式组的其他应用】 28．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于319元，求他平均每天的送件数． 29．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； (2)乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 30．为响应“东数西算”国家算力枢纽建设号召，某科技公司计划采购A、B两种型号的AI服务器共20台．已知采购1台A型服务器与2台B型服务器共需14万元；采购2台A型服务器与1台B型服务器共需16万元． (1)采购一台A型服务器和一台B型服务器各需要多少万元？ (2)若采购A、B型服务器的总费用不超过106万元，则最多采购A型服务器多少台？ (3)在第（2）问的基础上，A型服务器数量大于B型服务器数量，请设计费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 31．为助力广西红糖特色产业发展，搭建产销对接渠道，当地农产品加工厂依托本地甘蔗原料甲、秘制糖浆原料乙，加工礼盒装古法红糖、袋装红糖两种特色产品，工厂现有甲原料350千克，乙原料290千克，生产单件产品用料如下： 每件礼盒装古法红糖需要使用甲原料9千克、乙原料3千克； 每件袋装红糖需要使用甲原料4千克、乙原料10千克． (1)若要把甲、乙两种原料刚好用尽，求礼盒装古法红糖、袋装红糖分别生产多少件； (2)现计划一共生产两款红糖50件，生产过程中甲、乙原料消耗量均不能超过现有库存，请问共有几种生产方案，并逐一写出所有方案． 32．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，排球两门选修课程，需要购进一批篮球和排球．若购买排球40个，篮球20个共需要4800元，若购买排球20个，篮球40个，共需要4200元． (1)求排球和篮球的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购篮球、排球共60个，并要求排球至少28个，且总费用不高于4500元．那么有哪几种购买方案？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5.2 一元一次不等式组的实际应用（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型·1·列一元一次不等式组】 1 【题型·2·不等式组的经济问题】 3 【题型·3 不等式组的分配问题】 8 【题型·4 不等式组的方案选择问题】 10 【题型·5·不等式组的阶梯收费问题】 17 【题型 6·-元一次不等式组的其他应用】 22 【题型·1·列一元一次不等式组】 1．用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量抽水速度抽水时间”以及根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量的范围列出不等式组． 【详解】解：由题意可得 故选：C． 2．据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列不等式组，根据题目中给出的最高气温和最低气温，确定气温的变化范围，最高气温为，最低气温为，因此应介于这两个温度之间且包含端点，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，当天的气温既不能低于最低气温，也不能高于最高气温， 因此， 故选：C． 3．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ， 即， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键． 4．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知7.2≤≤7.8， ∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义． 【题型·2·不等式组的经济问题】 5．为响应苏超联赛“绿茵筑梦，少年同行”校园推广活动，丰富校园足球文化生活，某校准备采购足球训练器材和赛事宣传展板，用于足球社团训练及校园文化展示．已知：购买2套训练器材和3块宣传展板共需300元；购买4套训练器材和1块宣传展板共需260元． (1)求每套训练器材、每块宣传展板的单价； (2)学校计划购进两种物品共12件，宣传展板数量不少于训练器材数量的一半，总采购资金不超过680元，求共有几种可行购买方案． 【答案】(1)每套训练器材单价48元，每块宣传展板单价68元； (2)共有2种可行购买方案. 【分析】（1）设每套训练器材需要元，每块宣传展板需要元，可得，进一步解方程组即可； （2）设购买训练器材个，则购买宣传展板个，可得，进一步解不等式组即可. 【详解】（1）解：设每套训练器材需要元，每块宣传展板需要元， 由题意得：， 解得：， 答：每套训练器材单价48元，每块宣传展板单价68元； （2）解：设购买训练器材个，则购买宣传展板个， ∵宣传展板数量不少于训练器材数量的一半，总采购资金不超过680元， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的值可为7，8， ∴共有2种可行购买方案． 6．为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包装产品．已知购进盒传统奶豆腐与购进盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食奶片的进价高元． (1)求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？ (2)为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过元的资金购进这两种产品共盒．若传统奶豆腐每盒售价为元，即食奶片每盒售价为元，且全部售出后利润不低于元，则最多可购进传统奶豆腐多少盒？ 【答案】(1)每盒传统奶豆腐进价为元，每盒即食奶片进价为元 (2)最多可购进传统奶豆腐盒 【分析】（1）设每盒即食奶片的进价为元，则每盒传统奶豆腐的进价为元，根据“购进盒传统奶豆腐与购进盒即食奶片的费用相同”列方程求解即可； （2）设购进传统奶豆腐盒，则购进即食奶片盒，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每盒即食奶片的进价为元，则每盒传统奶豆腐的进价为元． 由题意，得， 解得， 传统奶豆腐的进价为（元）， 答：每盒传统奶豆腐进价为元，每盒即食奶片进价为元． （2）解：设购进传统奶豆腐盒，则购进即食奶片盒． 由题意，得， 解得． 答：最多可购进传统奶豆腐盒． 7．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地，班级计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植，相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获7千克，每平方米番茄每月可收获5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元.每平方米番茄种植成本为6元. (2)黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米. 【分析】（1）根据题干给出的两个成本关系，设出未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两种蔬菜的单位种植成本； （2）设出黄瓜种植面积，用总面积表示出番茄种植面积，再根据总产量和总成本的限制条件列出一元一次不等式组，求解后取范围内的整数即可得到结果． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为元，每平方米番茄种植成本为元. 根据题意得： ， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元. （2）设黄瓜的种植面积为平方米，则番茄的种植面积为平方米. 根据题意得： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此不等式组的解集为， 为整数， 或； 答：黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 8．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 9．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 10．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； (3)购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【题型·3 不等式组的分配问题】 11．若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的苹果不足5个，列出不等式组即可． 【详解】解：∵若干个苹果分给个小孩，每人分3个余7个， ∴苹果的总数为个． ∵每人分5个时，只有最后1人分不到5个，前个小孩每人都分到5个， ∴前个小孩共分苹果个，最后一人分到的苹果数为． ∵苹果数不能为负数，且最后一人分到的苹果不足5个， ∴． 12．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 13．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 【答案】6 【分析】根据“一间宿舍不空也不满”的条件列出正确的不等式组，结合房间数为正整数的限制即可求解． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则住宿生总人数为人 根据题意，得 由①得，； 由②得， ∴不等式组的解集为， 故取整数，那么安排住宿的房间有间． 14．振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送本，则还余本；如果每人送本，则最后一人能得到课外读物但不足本．设初一年级有名学生获奖．则列不等式组为___________． 【答案】 【分析】先根据题意表示出课外读物的总本数，再根据“最后一人能得到课外读物但不足本”提取不等关系，列出不等式组即可. 【详解】解：设初一年级有名学生获奖 列不等式组得：． 15．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【题型·4 不等式组的方案选择问题】 16．某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机模型单价为2400元，B型无人机模型单价为1600元． (2)共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 【分析】（1）设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台，根据题意列不等式组确定a的取值范围，再由a是正整数，确定a的取值即可求解． 【详解】（1）解：设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意可得 解得 经检验，是所列方程的根． （元） 答：A型无人机模型的单价为2400元，则B型无人机模型的单价为1600元． （2）解：设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台， 根据题意得 解得， 是正整数， 或． 当时，； 当时，； 故共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 17．家委会计划用班费购买A，B两种相册共45本作为学生的毕业礼品，已知购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元． (1)求A，B两种相册的售价分别是多少元？ (2)若要求购买的A种相册的数量要不少于B种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，则家委会有多少种不同的购买方案？ 【答案】(1)A种相册的售价为25元，B种相册的售价为20元． (2)家委会共有6种不同的购买方案，具体如下： 方案1：购买A种相册15本，B种相册30本； 方案2：购买A种相册16本，B种相册29本； 方案3：购买A种相册17本，B种相册28本； 方案4：购买A种相册18本，B种相册27本； 方案5：购买A种相册19本，B种相册26本； 方案6：购买A种相册20本，B种相册25本． 【分析】（1）设A种相册的售价是元，B种相册的售价是元，购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买的A种相册的数量为本，则购买的B种相册的数量为本，要求购买的A种相册的数量要不少于B种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，据此列出不等式组并解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种相册的售价是元，B种相册的售价是元，则 解得 答：A种相册的售价是元，B种相册的售价是元； （2）解：设购买的A种相册的数量为本，则购买的B种相册的数量为本，则 解得 ∵m为正整数， ∴m可取， ∴家委会共有6种不同的购买方案，具体如下： 方案1：购买A种相册15本，B种相册30本； 方案2：购买A种相册16本，B种相册29本； 方案3：购买A种相册17本，B种相册28本； 方案4：购买A种相册18本，B种相册27本； 方案5：购买A种相册19本，B种相册26本； 方案6：购买A种相册20本，B种相册25本． 18．为办好明年全县学校读书活动，某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书架放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书架2个，乙种书架1个，共需资金600元；若购买甲种书架3个，乙种书架2个，共需资金1020元． (1)求甲、乙两种书架每个的价格分别是多少元； (2)若该校计划购进这两种规格的书架共20个，其中乙种书架的数量不少于甲种书架的数量，学校至多能够提供资金4320元，请问有几种购买方案供这个学校选择？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)甲种书架每个的价格是180元，乙种书架每个的价格是240元 (2)有3种购买方案供这个学校选择，购买甲种书架10个，乙种书架10个花费最少 【分析】（1）设甲种书架每个的价格是x元，乙种书架每个的价格是y元，根据“购买甲种书架2个，乙种书架1个，共需资金600元；若购买甲种书架3个，乙种书架2个，共需资金1020元”列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种书架m个，则购买乙种书架个，根据“乙种书架的数量不少于甲种书架的数量，学校至多能够提供资金4320元”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种书架每个的价格是x元，乙种书架每个的价格是y元， 由题意得， 解得， 答：甲种书架每个的价格是180元，乙种书架每个的价格是240元； （2）解：设购买甲种书架m个，则购买乙种书架个， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴m可以取的值为：8、9、10， ∴有3种购买方案供这个学校选择： 方案一：购买甲种书架8个，乙种书架12个，费用为（元）； 方案二：购买甲种书架9个，乙种书架11个，费用为（元）； 方案三：购买甲种书架10个，乙种书架10个，费用为（元）； ∵， ∴购买甲种书架10个，乙种书架10个花费最少， 答：有3种购买方案供这个学校选择，购买甲种书架10个，乙种书架10个花费最少． 19．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？ 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需0.2万元，一个地下充电桩需0.3万元 (2)共有3种建造方案 【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个，小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，据此列不等式组并解不等式组即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为40，41，42， 共有3种建造方案． 20．2025年7—8月，广州出现“基孔肯雅热”疫情，当地开展大规模灭蚊防疫工作．为筑牢健康防线，衡山县相关部门践行“为民服务”宗旨，面向辖区群众免费发放驱蚊药品，上门开展消杀与健康宣教，用实际行动守护百姓健康！某单位计划同时购买一定数量的甲、乙品牌驱蚊药，若购进甲品牌驱蚊药20瓶和乙品牌驱蚊药10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌驱蚊药10瓶和乙品牌驱蚊药10瓶，共需资金800元． (1)甲、乙品牌驱蚊药的单价分别是多少元？ (2)某单位计划购进甲、乙品牌驱蚊药共50瓶，而可用于购买这两种驱蚊药的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌驱蚊药的数量不少于乙品牌驱蚊药数量的一半．请问：有几种购买方案？ 【答案】(1)甲品牌驱蚊药的单价是50元，乙品牌驱蚊药的单价是30元 (2)该单位共有4种购买方案 【分析】（1）设甲品牌驱蚊药的单价是x元， 乙品牌驱蚊药的单价是y元，根据题意列出方程组求解； （2）设购买甲品牌驱蚊药m瓶，则购买乙品牌驱蚊药瓶，根据甲品牌驱蚊药的数量不少于乙品牌驱蚊药数量的一半列出不等式求出解集． 【详解】（1）解：设甲品牌驱蚊药的单价是x元， 乙品牌驱蚊药的单价是y元， 依题意得： ， 解得： ， 答：甲品牌驱蚊药的单价是50元，乙品牌驱蚊药的单价是30元； （2）设购买甲品牌驱蚊药m瓶，则购买乙品牌驱蚊药瓶， 依题意得：， 解得：， 又为整数，m可以为17，18，19，20， 答：该单位共有4种购买方案． 21．根据以下素材，探索完成任务： 背景 为保障“旗”县级男子篮球赛顺利开展，赛事组委会计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到场观看比赛的幸运观众． 素材1 已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． 素材2 赛事组委会在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯；方式二：全场商品享受九折优惠． 问题解决 (1)任务1：求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)任务2：赛事组委会计划购进笔筒m个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明赛事组委会共有几种采购方案？ (3)任务3：在（2）问的所有采购方案中，如果赛事组委会想要购进笔筒数量最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； (2)共有4种采购方案； (3)选择方式二采购总价更低． 【分析】（1）根据给定的购买总费用条件列二元一次方程组，求解得到两种商品的单价； （2）根据马克杯数量限制和总费用限制列不等式组，结合笔筒数量为正整数得到采购方案的数量； （3）先确定笔筒最多的采购方案，分别计算两种优惠方式的总费用，比较大小后得到总价更低的优惠方式． 【详解】（1）解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元， 根据题意得， 解得， 答：笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； （2）解：由题意得，购进马克杯的数量为个， 根据题意列不等式组， 解得：， 即， 是正整数， 的取值为27，28，29，30，共4种， 答：赛事组委会共有4种采购方案； （3）解：笔筒最多的方案中，即需要购进30个笔筒，20个马克杯， 方式一：购买任意产品每满10件赠送1个马克杯，若购买30个笔筒和16个马克杯，一共购买了件商品，可赠送4个马克杯，一共得到个马克杯，刚好满足需求， 总费用为：（元）； 方式二：全场商品打九折， 总费用为：（元）； ， 方式二的采购总价更低． 答：选择方式二采购总价更低． 22．为提升身体素质，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子．经调查，已知2根跳绳和5个毽子共需90元，4根跳绳和7个毽子共需156元． (1)每根跳绳和每个毽子的价格各是多少元； (2)商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二（买一赠一） 买一根跳绳赠送一个毽子 学校欲购买跳绳与毽子共50个，且计划购买的毽子个数不少于跳绳个数的4倍，若要使活动二更优惠，请通过计算策划购买方案． 【答案】(1)每根跳绳25元，每个毽子8元 (2)解：设购买根跳绳，则购买个毽子，由题意，得： 优惠活动一：元， 优惠活动二：元， 由题意，得，解得， 取整数， ，， 有两种方案： 方案一：跳绳9根，毽子41个； 方案二：跳绳10根，毽子40个． 【分析】（1）设每根跳绳元，每个毽子元，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设购买根跳绳，则购买个毽子，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可. 【详解】（1）解：设每根跳绳元，每个毽子元，由题意，得 ，解得； 答：每根跳绳25元，每个毽子8元； （2）略 【题型·5·不等式组的阶梯收费问题】 23．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 24．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 25．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 26．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 4.20 0.80 超过30吨的部分 b 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费．） 已知该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元． (1)求a、b的值； (2)实行“阶梯式水价”收费之后，该居民家用水多少吨时，其当月的平均水费每吨不超过3.64元？ (3)若该居民家2022年10月份、11月份共用水60吨，10月份和11月份一共缴交水费250元（水费每个月缴交一次）．已知10月份用水量大于11月份用水量，求该居民家10月份、11月份各用水多少吨？ 【答案】(1)， (2)该居民家用水不超过25吨时，其当月得平均水费每吨不超过3.64元 (3)该居民家10月份用水40吨，则11月份用水20吨 【分析】（1）根据“该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元”可列出关于的二元一次方程组，解出后得到答案； （2）先确定30吨用水时平均水费价格，再确定居民具体适用价格方案，列出关于的一元一次不等式，解出解集即可得到答案； （3）分两种不同情况设未知数列出方程，解出符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 答：， （2）解：当月用水量为30吨时平均水费为 该居民家当月用水量不超过30吨 设该居民家用水x吨，根据题意，得： 解得： 答：该居民家用水不超过25吨时，其当月得平均水费每吨不超过3.64元． （3）解：设该居民家10月份用水n吨，则11月份用水吨． ①当，即时， 解得：（不符合题意，舍去） ②当，即时， 解得：，符合题意， 答：该居民家10月份用水40吨，则11月份用水20吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定正确的计费方式． 27．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【答案】(1) (2)小王家这个月用水最多为吨 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是关键． （1）当用水15吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水26吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）设小王家这个月用水为吨，根据（1）所求a与b的值，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当用水15吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水26吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：设小王家这个月用水为吨， ，则， 根据题意： ， 答：小王家这个月用水最多为吨． 【题型 6·-元一次不等式组的其他应用】 28．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于319元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； (2)他平均每天的送件数是160件或161件或162件． 【分析】（1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162， 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件． 29．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； (2)乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】(1)甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； (2)应接或的开水 【分析】（1）设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据接水得到一杯的水建立方程组求解即可； （2）根据最后杯中水的体积大于而不多于建立不等式组求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得，， 解得， 答：甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； （2）解：由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值为11或12， 答：应接或的开水． 30．为响应“东数西算”国家算力枢纽建设号召，某科技公司计划采购A、B两种型号的AI服务器共20台．已知采购1台A型服务器与2台B型服务器共需14万元；采购2台A型服务器与1台B型服务器共需16万元． (1)采购一台A型服务器和一台B型服务器各需要多少万元？ (2)若采购A、B型服务器的总费用不超过106万元，则最多采购A型服务器多少台？ (3)在第（2）问的基础上，A型服务器数量大于B型服务器数量，请设计费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)采购一台A型服务器需要6万元，采购一台B型服务器需要4万元； (2)最多采购A型服务器13台； (3)购11台A型服务器，9台B型服务器，采购费用102万元． 【分析】（1）设采购一台A型服务器需要万元，一台B型服务器需要万元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设采购A型服务器型车台，则B型服务器台，根据题意，列出不等式，即可求解； （3）根据A型服务器数量大于型服务器数量以及（2）中结论，可得，从而得到可取11，12，13，即可求解． 【详解】（1）解：设采购一台A型服务器需要万元，一台B型服务器需要万元， 可列方程组 解得 答：采购一台A型服务器需要6万元，采购一台B型服务器需要4万元； （2）解：设采购A型服务器台，则B型服务器台， 由题意得： 解得 答：最多采购A型服务器13台； （3）解：∵A型服务器数量大于B型服务器数量， ， 解得． 由（2）可知， 为正整数， 可取11，12，13， ∴共有3种采购方案，采购方案及费用如下： 方案一：采购11台A型服务器，9台B型服务器共花费（万元）； 方案二：采购12台A型服务器，8台B型服务器共花费（万元）； 方案三：采购13台A型服务器，7台B型服务器共花费（万元）； ， ∴采购11台A型服务器，9台B型服务器时费用最省，采购费用102万元． 31．为助力广西红糖特色产业发展，搭建产销对接渠道，当地农产品加工厂依托本地甘蔗原料甲、秘制糖浆原料乙，加工礼盒装古法红糖、袋装红糖两种特色产品，工厂现有甲原料350千克，乙原料290千克，生产单件产品用料如下： 每件礼盒装古法红糖需要使用甲原料9千克、乙原料3千克； 每件袋装红糖需要使用甲原料4千克、乙原料10千克． (1)若要把甲、乙两种原料刚好用尽，求礼盒装古法红糖、袋装红糖分别生产多少件； (2)现计划一共生产两款红糖50件，生产过程中甲、乙原料消耗量均不能超过现有库存，请问共有几种生产方案，并逐一写出所有方案． 【答案】(1)礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件 (2)共有1种生产方案：礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件 【分析】（1）设礼盒装古法红糖生产x件，袋装红糖生产y件，根据甲、乙两种原料刚好用尽建立方程组求解即可； （2）设礼盒装古法红糖生产m件，则袋装红糖生产件，根据生产过程中甲、乙原料消耗量均不能超过现有库存建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设礼盒装古法红糖生产x件，袋装红糖生产y件， 由题意得，， ∴， 答：礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件； （2）解：设礼盒装古法红糖生产m件，则袋装红糖生产件， 由题意得， 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为， ∴， ∴， 答：共有1种生产方案：礼盒装古法红糖生产30件，袋装红糖生产20件． 32．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，排球两门选修课程，需要购进一批篮球和排球．若购买排球40个，篮球20个共需要4800元，若购买排球20个，篮球40个，共需要4200元． (1)求排球和篮球的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购篮球、排球共60个，并要求排球至少28个，且总费用不高于4500元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球单价为60元、排球单价为90元 (2)共有三种方案：①购买篮球30个，排球30个，②购买篮球31个，排球29个，③购买篮球32个，排球28个 【分析】（1）设篮球单价为x元，排球单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． （2）设篮球购买a个，排球购买个，根据题意列出不等式组，进而根据不等式组的整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设篮球单价为x元，排球单价为y元 由题意得， 解得， ∴篮球单价为60元、排球单价为90元； （2）解：设篮球购买a个，排球购买个， 由题意得， 解得， ∴， 共有三种方案：①购买篮球30个，排球30个，②购买篮球31个，排球29个，③购买篮球32个，排球28个． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $