陕西西安市第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年度高二年级第一学期月考试题 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（本题8小题，每题5分，共计40分） 1．在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 2．若平面向量与共线，则（　　） A． B． C．1 D．4 3．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（　　） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，，，，，则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．，， C． D． 5．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．直线与平面所成的角为 6．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 7．若点在以，，为顶点的△的内部运动（包含边界），则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，，，使得：，我们把有序实数组，，叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，2，，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题3小题，每题6分，共计18分。选错0分，选对部分答案得部分分，全部选对得6分） 9．已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A．，0， B．，， C．，2， D．，1， 10．如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11．下面四个结论正确的是（　　） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，三点不共线，为平面外一点，且．若，，，四点共面，则　　 ． 13．已知，，直线和垂直，则的最小值为　　 ． 14．已知梯形如图1所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图2所示的几何体．已知当点满足时，平面平面，则的值为 　　 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）如图1，已知菱形的对角线和交于点，，．将△沿直线折叠，使得平面平面（如图，连接，，分别是，的三等分点（靠近点，，平面与交于点． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）如图所示，已知直四棱柱中，，，． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求二面角的余弦值． 18．（17分）在△中，已知． （1）求角； （2）若，且，求△的面积； （3）若，求的取值范围． 19．（17分）在长方体中，已知，，以点为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，2，，设． （1）求证：； （2）在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； （3）求△的面积． 高二数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二年级第一学期月考 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题（本题8小题，每题5分，共计40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C B A C A 二、多选题（本题3小题，每题6分，共计18分。选错0分，选对部分答案得部分分，全部选对得6分） 题号 9 10 11 答案 BD ABD BC 一、单选题（本题8小题，每题5分，共计40分） 1．【答案】 【解答】解：根据向量的加减法可得，故选：． 2．【答案】 【解答】解：向量，，，则，解得．故选：． 3．【答案】 【解答】解：因为是的中点，所以， 所以， 因为，，，所以．故选：． 4．【答案】 【解答】解：，，，，，，则，， 故向量在向量上的投影向量是．故选：． 5．【答案】 【解答】解：根据题意可得，所以选项正确； 因为，所以选项错误； 因为 ，所以选项正确； 因为底面是正方形，所以， 又 ， 所以，又，且， 所以平面，又底面，所以平面底面， 所以在底面的射影为，所以直线与平面所成的角为， 又，，，所以， 所以直线与平面所成的角为，所以选项正确．故选：． 6．【答案】 【解答】解：平行六面体中，为与的交点，若，，， 由题意得，．故选：． 7．【答案】 【解答】解：根据已知条件，可知点是以点，，为顶点的△ 内部一动点（包含边界）， 的几何意义是过动点与定点的直线的斜率， 由已知得，，， 可得的取值范围是．故选：． 8．【答案】 【解答】解：由题意可得，设， 即有， 即可得，解得，即， 即向量在基底下的斜坐标为．故选：． 二、多选题（本题3小题，每题6分，共计18分。选错0分，选对部分答案得部分分，全部选对得6分） 9．【答案】BD 【解答】解：平面法向量为非零向量，故选项错误； 设平面的法向量为非零向量，由题意知，则，且， 当时，，选项正确；当时，，选项正确； 不存在实数，使得，故选项错误．故选：． 10．【答案】 【解答】解：对于，连接，，，，，如图， 由于平面，平面，因此； 又在正方形中，，，平面， 因此平面，平面，因此； 同理可证，而，，平面， 因此平面，由于点为线段上的动点， 当与重合时，即有平面，因此选项正确； 对于选项：结合图可知平面即为平面， 因为为正方形，那么， 又因为平面，平面，则， 且，，平面，可得平面， 且平面，因此平面平面，因此选项正确； 对于选项：因为平面平面，且平面， 那么点到平面的距离等于正方体棱长2， 即三棱锥的高为定值， 又由于三角形的面积为定值， 因此为定值，因此选项错误； 对于选项：连接并延长交于点， 由于，则，可知为的中点， 取，的中点，，连接，，，，， 由于，分别为，的中点，那么，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，那么， 同理可得，因此，可知所求截面即为四边形， 可得，所以四边形为菱形，且， 因此所求截面面积为，因此选项正确．故选：． 11．【答案】 【解答】解：对于：方向相同、长度相等的两个向量是相等向量，错误； 对于：已知是空间的一组基底， 若，设，即，得出、、共面， 与是空间的一组基底矛盾，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，正确； 对于：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，正确： 对于：空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，错误．故选：． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【答案】． 【解答】解：因为，且，，，四点共面， 所以，解得． 13．【答案】． 【解答】解：由直线与垂直， 得，整理得，其中，． ． 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号． 于是． 14． 【答案】 【解答】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因此，0，，，4，，，0，，，0，，，4，， 所以， 如果是平面的一个法向量， 那么可得， 如果是平面的一个法向量， 所以可得，根据平面平面，得， 所以，解得． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．【解答】解：（1）证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点，， 所以 2分 又平面，平面，所以平面 4分 又平面，平面平面， 所以 6分 （2）因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以 8分 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，，，， 因，则点为的中点，故， 又是的三等分点，则， 所以，， 10分 设平面的法向量为，则，故可取， 所以点到平面的距离为 13分 16．【解答】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由正方形性质得 2分 又，，平面，所以平面 5分 而平面，所以平面平面 7分 （2）解：因为平面，，平面， 所以，，又 9分 故以为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，， 所以，， 10分 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 12分 由（1）知，平面， 所以为平面的一个法向量 13分 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为 15分 17．【解答】（1）证明：设，， 如图所示，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，4，，，1，，，0，，，0，，，1， 4分 ，，，． ，所以 5分 因为平面，底面，所以． 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 7分 （2）解：由题意得， 因为平面，平面，则， ，解得 8分 所以，0，，，1，，，， 设平面的一个法向量， 则，令，可得 10分 ，， 设平面的一个法向量， 则，令，可得 12分 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为 15分 18．【解答】解：（1）， 整理可得 2分 ，则 4分 （2）， 代入，得 6分 ，代入 8分 10分 （3）， 由，得， 代入上式： 12分 13分 当且仅当时取等号 14分 ， 又，，所以， 所以的取值范围为 17分 19．【解答】（1）证明：由点是线段上靠近点的一个三等分点得，0，， 由题意得，4，，，0，，，4，， 因此 2分 而，因此，即 4分 （2）解：点，2，的位置如图所示，则点为的中点， 连接，由题意得 6分 ， 所以 10分 （3）解：设，由（1）得， 则 12分 因此， 14分 所以△的面积 17分 数学参考答案 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度高二年级第一学期月考试题 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（本题8小题，每题5分，共计40分） 1.在三棱锥O-ABC中，OA+AB-CB=() A.OA B.AB C.oc D.AC 2.若平面向量ā=(x,2)与b=(2,-4)共线，则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.4 3.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，设A4=a,AB=方，AC=c,M是BC C 的中点，则AM可表示为() M A.AM=1a+16+1c 1之1 B.AM=a+B+Lc 2 22 1 1 C.AM=a+-b+c D.AM=二a+b+c 22 4.已知空间向量a=1,-1,2),b=1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是() A. B.1,-1,1) C. D.京安 5.如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是正方形，A4=6,AB=4,且 ∠CCB=∠CCD=于，则下列结论错误的是() A.AB+AD-CC=AC C B.AB.CC=24 B C.AC=25 D D.直线CC与平面ABCD所成的角为 6.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，M为AC与BD的交点，若AB=ā，AD=b,A4=c, D 则下列向量中与BM相等的向量是() A.a+6-e B.-a-t6-e 2 D 高二数学试题第1页共4页 C.La-16-a D.1a+16-6 7.若点P(x,)在以4(-3,1)，B(-1,0,C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动（包含边界），则y-2 x-1 的取值范围是() A.. B.5) C. D. 8.若向量{，e,e}是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量ā，存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得：a=xe,+ve,+z?,我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底{e,e,e}下向量a 的斜坐标.设向量市在基底a,b,下的斜坐标为(-1,2,3)，则向量市在基底{a+b,ā-b,c}下 的斜坐标为（ ) A分) B.() c.( D.多) 二、多选题（本题3小题，每题6分，共计18分。选错0分，选对部分答案得部分分，全部 选对得6分) 9.已知1La,且直线1的方向向量为a=(2,-1,0),则平面α的法向量的坐标可以是() A.(0,0,0) B.(4,-2,0)C.1,2,0) D.(-2,1,0) 10.如图，棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点P为线段BC1上的动点，则下列说法正确 的是（) D A.存在点P,使AC⊥平面APD B B.平面PBD⊥平面AB,C D C.三棱锥D-ADP的体积不是定值 y D.若BP=C,则过P,D,B三点的平面截正方体所得截面的面积为2√6 11.下面四个结论正确的是（) A.若空间向量a、b满足|a日b1,则a=b B.已知{a,b,}是空间的一组基底，若m=a+c,则{a,b,秘也是空间的一组基底 C.对于空间向量ā、五，“ā.五<0”是“a与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D.若三个非零空间向量a、b、c满足a⊥五，c⊥五，则a/ 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知A,B,C三点不共线，P为平面ABC外一点，且P阻=PA+3PB+mPC.若H,A, 6 B,C四点共面，则m=一· 高二数学试题第2页共4页 13.已知a>0,b>0,直线+2y-3=0和x+b-1y+2=0垂直，则上+2的最小值为一 14.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD=8,CE=6,A为线段PD的中点，四边形ABCD为 正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD,得到如图2所示的几何体.已知当 点F满足AF=AB(O<1<)时，平面DEF⊥平面PCE,则1的值为 图1 图2 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(13分)如图1，已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°.将△ ABD沿直线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是AC,AB的 三等分点（靠近点C,B),平面EGH与CD交于点F. (1)证明：BC/1EF; (2)求点B到平面EFG的距离. A H D 图1 图2 16.(I5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形. (1)求证：平面PBC⊥平面PAB; (2)若PA=AB=2,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 高二数学试题第3页共4页 17.(15分)如图所示，已知直四棱柱ABCD-AB,C,D中，AB11CD,∠BAD=90°，AB=2AD=4DC. (1)求证：平面ACC⊥平面BDC1: (2)若AC⊥平面BDC,求二面角A-BD-C,的余弦值. D C B D 女C A B、 18.(17分)在△ABC中，已知b2+c2=2+bc. (1)求角A; (2)若sinC=2sinB,且b=2,求△ABC的面积： (3)若b+c=1,求a的取值范围. 19.(17分)在长方体ABCD-AB,C,D中，己知DC=DA=4,DD=6,以点D为原点，分别以DC、 DA、DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，点P是线段DD上靠 近点D的一个三等分点，点M(4,2,O,设DC=a,DA=b,DD=c. (1)求证：PB⊥AC; (2)在图中标出点M的位置，连接MP,请用含有ā，b,c的表达式表示向量PM; (3)求△MPB,的面积. 2◆ D B P: D 高二数学试题第4页共4页