精品解析：陕西省西安高新第一中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考数学试题

高2028届高二第一学期月考—数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模长公式和运算法则计算即可. 【详解】因为， 所以共轭复数为. 2. 已知命题，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得，即命题对应的集合为， 又命题对应的集合为，且是的充分不必要条件， 即 ，所以，即的取值范围是． 3. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论的取值即可求解. 【详解】由题可得命题是真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则有，解得， 综上：实数的取值范围是，故A正确. 故选：A. 4. 在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理求得，再求得，进而求得面积. 【详解】因为，又，所以. 由正弦定理知， 因为，所以，所以，所以. 所以. 故选：B. 5. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知：，由椭圆性质可得：，， 设，则，且， 所以， 函数为二次函数，开口向下，对称轴为， 当或时，取得最小值，最小值为． 6. 三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由△ABC面积为定值，得体积最大时点P到平面ABC的距离最大，即PC⊥平面ABC，再通过空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】由，，得的面积，为定值 ， 三棱锥体积，其中为点到平面的距离， 已知，故，当且仅当平面时，取最大值1，此时三棱锥体积最大， 以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，由平面且，得, 则，, 设异面直线与所成角为，，，，，  所以 ，所以直线与所成角的余弦值为. 7. 是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，设的横坐标为，则由抛物线的定义，可得．则．所以．所以．故本题答案选． 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过奇偶性推导出函数周期为4 ，再结合已知的函数解析式及可求出，再利用周期性将转化至已知区间内代入求解. 【详解】由为奇函数得， 令，则，解得， 由为偶函数得， 在中将替换为，得， 进而有， 则， 所以的最小正周期为4， 由得， ， ， 由题意得，即， 解得，进而，所以当时，， ， 所以， 其中，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对酌情给分，有错项的得0分. 9. 一组数据从小到大为5，6，7，8，，11，若这组数据的平均数是8，则（ ） A. B. 极差为6 C. 40%分位数为7 D. 方差为5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数据的平均数、极差、百分位数、方差的概念逐项求解判断即可. 【详解】由题得，所以，所以A错误； 根据定义极差为，所以B正确； 因为，40%分位数为7，所以C正确； 根据方差公式，方差为，所以D错误. 故选：BC． 10. 设平面向量均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A通过特殊情况当与都垂直时进行排除；选项B将转化为或，再借助平面向量数量积定义运算后验证；选项C对两边平方化简后进行判断；选项D根据数量积及向量共线的相关定义判断结论. 【详解】对于选项A，当与都垂直时，成立，但不一定成立，故A错误； 对于选项B，由得或，此时，故B错误； 对于选项C，对两边平方得， 即，故，即，故C正确； 对于选项D，因为，所以且， 因为均为非零的平面向量，所以，故D正确. 故选：CD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（ ） A. B. C. 双曲线的离心率是 D. 内切圆的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，通过点到直线距离公式求解并通过双曲线性质求解，B，通过三角函数诱导公式和正弦定理求解和，C，通过余弦定理求出后利用离心率的定义求解离心率，D，通过三角形内切圆半径和三角形面积、周长间的数量关系求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 选项A，因为渐近线为，，所以， 又，所以，正确. 选项B，因为，所以， 所以，又，所以. ，，解得，正确. 选项C，因为，所以. 又，所以， 所以离心率为，错误. 选项D，由题意得， 得到周长. 因为内切圆半径，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由图可得，即可求得：，再由图可得：当时，结合即可得，代入即可求解. 【详解】由图可得：， 所以，解得： 由图可得：当时，， 即：，所以 （） 又，所以， ， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据“五点法”求函数图象的解析式，一般先根据周期求，再由特殊点求，属于中档题. 13. 已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆的圆心和半径，然后对的斜率是否为进行分类讨论，由此列方程求得直线的斜率. 【详解】圆，即， 所以圆是圆心为，半径为的圆. 由于，所以点在圆外. 当直线l斜率为0时，直线的方程为， 圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线l：，则由题意C到l的距离等于，即， 解得，故直线的斜率为. 14. 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球，再求解内切球的半径得到正方体的棱长，最后计算体积. 【详解】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大， 则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球， 设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥侧面积为，解得. 如图，在圆锥轴截面中，，则， 所以， 所以圆锥内切球半径，即正方体外接球半径为. 设正方体的棱长为，则，解得， 所以正方体的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）证明：； （2）若D为BC边上的点，，，求b的值． 【答案】（1） 证明：因为， 所以由正弦定理得， 又因为 化简得：， 所以即，故得证. （2）3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再进一步化简即可； （2）在和中由余弦定理分别列出方程，即可解出b的值，或利用向量的线性运算及数量积的运算法则结合条件即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 解法一：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，又因为，所以． 解法二：因为，所以，即． 所以 又因为，所以， 又由(1)知，化简得， 因为，所以，所以为等边三角形， 又，所以，所以． 16. 已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右顶点， 经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第一问利用已知条件结合离心率求出椭圆方程； 第二问结合点坐标，设直线方程，联立椭圆方程，表示出斜率比值，根据已知条件使用韦达定理求解. 【小问1详解】 由题意知，，又因为，所以， 因为，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题知，，设过的直线斜率为，则直线方程为， 设直线与椭圆交于，则， 联立直线与椭圆方程，消元得：， 整理得：， 根据韦达定理：， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以， 因为， 所以 所以， 即. 17. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 【答案】（1）设3名男队员为，2名女队员为， 所有等可能的基本事件分别为：， 抽取到的2人全是男队员的概率为； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果之后直接由古典概型概率公式计算即可； （2）①两人发球相互独立，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可； ②采用逆向思考，先计算对立事件“两人都失败”的概率，再用减去这个结果即可． 【小问1详解】 设3名男队员为，2名女队员为， 从5人中不放回抽取2人，所有等可能的基本事件共有个， 分别为：， 记事件为“抽到的2人都是男队员”，则包含的基本事件有，共3个， 所以 【小问2详解】 ①因甲乙两人发球相互独立， 所以甲、乙两人全部发球成功的概率：； ②甲乙两人都失败的概率为： 所以甲乙至少一人成功的概率为： 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在四棱锥中，由正方形，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则，由为的中点，， 得，又平面，所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. （2）（ⅰ）利用线面平行的判定、性质，结合线线角的意义确定所求角，再利用余弦定理求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，平面，平面，得平面， 又平面与平面的交线为，平面，则， 则直线与直线所成的角是或其补角， 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，而，， 则， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成角的正弦值. （ⅱ）作，由（ⅰ）得平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由直线与平面所成的角为，得，解得， 所以存在点使直线与平面所成的角为，此时. 19. 已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. （1）求p； （2）从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. （3）若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【小问1详解】 由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高二第一学期月考—数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 6. 三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则 A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对酌情给分，有错项的得0分. 9. 一组数据从小到大为5，6，7，8，，11，若这组数据的平均数是8，则（ ） A. B. 极差为6 C. 40%分位数为7 D. 方差为5 10. 设平面向量均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（ ） A. B. C. 双曲线的离心率是 D. 内切圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. 13. 已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 14. 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）证明：； （2）若D为BC边上的点，，，求b的值． 16. 已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右顶点， 经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比. 17. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. （1）求p； （2）从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. （3）若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $