第18讲 一次函数应用 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第18讲 一次函数应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会用一次函数模型解决经济问题（利润、收费、打折） · 能用一次函数比较方案优劣，选出最优方案 · 会用一次函数图象分析行程与工程问题中的数量关系 · 能结合几何图形建立一次函数模型求解 · 能读懂创新题型中的新情境，建立函数模型解决问题 📚 知识梳理 ☆ 1.经济问题 利润=售价−进价，总利润=单件利润×件数 分段收费：不同数量区间用不同的关系式（分段函数） 「超过部分打几折」：超过的部分按折后价计算 先设变量列函数关系式，再代入数据求解 概念辨析例题：某商店购进甲乙两种电动自行车共50辆，甲款利润500元/辆，乙款利润550元/辆，设购进甲款x辆，则总利润y（元）与x的关系式为______ 解析：购进甲款x辆、乙款(50−x)辆，总利润y=500x+550(50−x)=27500−50x；实际问题中x为正整数且0＜x＜50。 ☆ 2.方案问题 比较两个方案的函数关系式y1与y2，令y1=y2求交点（临界点） 在交点的左侧与右侧分别判断哪个方案更优 结合自变量取值范围与实际问题取舍 方案选择题先列出各方案费用函数，再比较 概念辨析例题：某度假酒店推出甲乙两种消费卡，入店x次费用y元，图象交于点（12，480），则入店次数超过12次时应选择______卡 解析：两函数图象交于点（12，480），说明入店12次时两卡费用相同；x＞12后比较两图象高低，选费用（y值）较小的那种卡，即图象在下方的那张。 ☆ 3.工程问题 工作量=工作效率×工作时间 合作问题：总工作量=各部分工作量之和 图象法：图象的斜率表示工作效率（单位时间工作量） 分段工程：不同阶段工作效率可能不同，分函数表示 概念辨析例题：甲机器人每小时分拣a件快递，乙机器人工作t小时后分拣快递件数相同，若乙每小时分拣b件，则相等条件为______ 解析：分拣件数相等时，甲的件数=乙的件数；把各自的件数用「每小时件数×工作时间」表示，列等量关系即可求乙的工作时间t。 ☆ 4.行程问题 路程=速度×时间，图象横轴为时间、纵轴为路程（或距离） 图象的斜率（陡缓）表示速度：越陡速度越大 两图象的交点表示相遇（或位置相同） 折线表示速度变化（如中途停留：水平线段） 概念辨析例题：甲从A地步行到B地（相距4千米），9：00出发，9：20乙从B地出发骑自行车到A地，两人在途中相遇，则相遇时间由______决定 解析：在同一坐标系中画出甲、乙两人路程-时间图象，两图象的交点表示两人在同一时刻位于同一位置，即相遇；交点横坐标就是相遇时间。 ☆ 5.几何问题 坐标系中的几何图形：点坐标对应线段长度 三角形面积=×底×高，底常取坐标轴上的线段 动点问题：设时间（或长度）为自变量，用含x的式子表示面积或长度 由面积关系列方程求动点位置 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若AB=5，求k的值 解析：A（−，0）、B（0，b），AB2=(−)2+b2=25，代入k、b的具体关系求解；几何条件转化为坐标与距离公式是解题关键。 ☆ 6.其它问题 弹簧问题：伸长量与拉力成正比，y=kx+b形式 生活情境题：出租车、消费、资源等数量关系 表格数据题：由表中数据确定函数关系式 图象信息题：读特殊点与交点，还原实际意义 概念辨析例题：同学们记录同一根弹簧伸长长度与所挂物体质量的数据，弹簧原长10cm，每挂1kg伸长2cm，则弹簧长度y（cm）与质量x（kg）的关系式为______ 解析：质量x每增加1kg弹簧伸长2cm，斜率k=2；质量0时长度是原长10cm，即b=10，所以y=2x+10；注意x≥0且不超过弹簧弹性限度。 ☆ 7.创新题型 新情境（AI、机器人、学科融合等）先读懂规则，把文字转化为数学关系 一题多问：按问号顺序逐步建模，前后问题常递进 坐标系中的反射、几何等新情境，用坐标与函数工具转化 大胆设变量，用待定系数法或直接关系式建立模型 概念辨析例题：AI智能机器人分拣快递，甲、乙两机器人分拣件数相同时，求乙机器人工作的时间 解析：分别写出甲、乙分拣件数与时间的关系式（一次函数），令两者相等解出时间；若信息以图象给出，则直接读两图象交点横坐标。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 利润 利润=售价−进价，总利润=单件利润×件数 折扣与分段按题意计算 方案比较 令y1=y2求交点，分区间判断优劣 结合自变量取值范围取舍 工程 工作量=效率×时间 图象斜率表示效率 行程 路程=速度×时间 交点即相遇，斜率即速度 几何 面积=底×高 底常取坐标轴上线段 表格/图象 由数据或特殊点定关系式 注意实际意义与范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】经济问题（第1-5题） · 利润、售价、进价关系式列函数 · 分段收费按区间分函数表示 · 「超过部分打折」只对超出部分打折 · 代入具体数量求函数值或反求变量 1．（2025秋•太谷区期末）周末，爸爸和小明开展“家庭趣味骑行”活动，从家出发前往“晋家门超市”．两人骑行的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，你认为正确的结论有（　　） ①家到超市的全程是2000米； ②小明先到达超市； ③从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快； ④在爸爸出发6.8分钟时，小明追上了爸爸． A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（2026•祁县二模）某地理考察队在某地不同海拔处测量大气压和气温，得到如下近似线性规律：大气压P（hPa）是海拔h（km）的一次函数，海平面h＝0时P＝1013hPa，海拔每升高1km，气压下降100hPa；气温T（℃）与海拔h（km）也满足一次函数关系，海平面气温为20℃，海拔每升高1km，气温下降约6℃．考察队使用的气压计存在系统误差，其读数x（单位：hPa）比真实大气压P偏小13hPa．现测得某位置的气压计读数为x＝880hPa，则该位置的气温T为_________ ℃． 3．（2025春•信丰县期末）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”我市某中学在世界读书日这天，同时购进甲、乙两类图书若干套，已知一套甲类图书比一套乙类图书的进价高30元，买三套甲类图书和两套乙类图书一共需要540元． （1）甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？ （2）根据实际需要，学校决定购买两类图书共100套，其中甲类图书购买的数量不少于乙类图书数量的，且甲类图书购买的数量不超过45套，请问有几种购买方案？ （3）若购买甲类图书x套，学校购买这批图书的总费用为y元，在第（2）问的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值． 4．（2025秋•烟台期末）元旦期间某游乐场的门票为10元/人，每天的支出费用为2000元．设每天有x人买门票进入该游乐场，每天的收入与支出的差额为y元． （1）请写出y与x之间的表达式，并列表表示当x的值分别为50，100，150，200，300时y的值； （2）请回答每天买门票进入游乐场的人数达到多少时，游乐场才不会亏损？ （3）若游乐场每天的盈利不少于3000元，则每天卖出的门票最少达到多少张？ 5．（2025秋•南山区期末）为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进A、B两种瓶装饮品共300箱，两种饮料的成本与销售价如下表： 饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱） A 30 45 B 40 60 （1）若该超市花了10000元进货，求购进A、B两种饮料各多少箱？ （2）设购进A种饮料a箱（80≤a≤100），300箱饮料全部卖完可获利润W元，求W与a的函数关系式，并求购进A种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 【考点2】方案问题（第6-9题） · 列两个方案的费用函数y1、y2 · 令y1=y2求交点临界值 · 交点两侧分别比较函数值大小选优 · 结合实际问题整数要求取舍方案 6．（2025秋•碑林区校级期末）某商店购进甲、乙两种书包，已知购买甲种书包20个、乙种书包30个，共花费2920元，且甲书包的单价比乙书包的单价高11元． （1）甲、乙两种书包的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种书包共40个，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种书包按单价的八折出售，乙种书包每个降价6元出售，如果此次购买甲书包的数量不低于乙书包数量的一半，那么应购买多少个甲种书包，使此次购买书包的总费用最少？最少费用是多少元？ 7．（2026•思明区校级模拟）近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台生活服务型机器人需支付总费用4400万元． （1）每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ （2）该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．根据市场定价，工业制造型机器人按进价的倍销售，生活服务型机器人按25%的利润率销售，且两种机器人最后全部售完．设销售总利润为W万元，应如何安排进货数量，才能使W最大？最大利润为多少万元？ 8．（2026•普陀区二模）为缓解新能源汽车长途续航焦虑，某服务区推出快慢组合充电方案：车辆低电量时先慢充，再切换成快充，既保护电池寿命，又缓解充电桩使用压力．小明驾车进入服务区时，车辆剩余电量为20%，采用该组合方案充电．已知充电时电池电量百分比y与充电时间x（小时）的函数图象如图所示：线段AB为慢充图象，折线ACD为快充图象．两种充电模式可切换，切换充电模式后，将按新模式的速度继续充电．根据相关信息，请回答下列问题： （1）两种充电模式分别从20%电量充到100%电量，求快充模式比慢充模式节省多少时间？ （2）求快充时y与x的函数关系式及自变量取值范围． （3）已知该车每1%电量可行驶5km，若距目的地还需行驶300km，到达终点时电车至少留有20%的电量．先慢充0.5小时后立刻转快充，至少需要快充多长时间才能满足出行续航要求？ 9．（2025春•江汉区期末）某学校计划租用客车送284名学生和16名老师去春游，为了安全，既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆客车上至少有2名教师，现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）共需租_____ 辆客车； （2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式； （3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案． 【考点3】工程问题（第10-13题） · 工作量=效率×时间，设未知数列式 · 图象斜率表示工作效率 · 合作或分段工程分函数处理 · 相等条件转化为方程求解 10．（2026•长春一模）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为x（h），货车的路程为y1（km），小轿车的路程为y2（km），图中的线段OA与折线OBCD分别表示y1、y2与x之间的函数关系． （1）甲、乙两地相距________ km，m＝_____ ； （2）求线段CD所在直线的函数表达式； （3）小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 11．（2026•阎良区三模）三翻饼是陕西省某地的特色小吃，外皮金黄，油炸后呈翻裂千层之状，犹如花朵盛开，故有“千层之花”的美誉．姗姗准备购买三翻饼送给亲朋好友，她了解到，商店的三翻饼原价为20元/盒，若一次购买不超过10盒，每盒都按原价销售，超过10盒，则超过的部分每盒按原价打9折．设姗姗此次购买x盒三翻饼，所需费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若姗姗此次购买三翻饼的预算不超过300元，则她最多可以购买多少盒三翻饼？ 12．（2026春•弋阳县期末）随着人工智能的发展，不少物流仓库使用智能机器人分拣货物．某仓库的机器人小仓和小库，从分拣台出发，准备给相距600dm的货架送货，小仓比小库先出发，且速度保持不变．小库出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小仓行走的时间为x（s），小仓和小库行走的路程分别为y1（dm），y2（dm）；y1，y2与x之间的对应关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）小库提速前的速度为_____ dm/s； （2）求m的值（m为小库到达货架的时间）； （3）求小仓行走的路程．y1与行走时间x之间的函数解析式； （4）当小库到达货架时，小仓距离货架还有多远？小库比小仓提前多少秒到达？ 13．（2026春•同步）据国家统计局网站数据，从2016年至2022年某省全体居民人均可支配收入R（万元）的数据如表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 对应的t值 0 1 2 3 4 5 6 R/万元 1.97 2.15 2.34 2.57 2.71 2.94 3.09 （1）用统计图直观表示R随着年份增加的变化趋势． （2）请确定一个一次函数，近似表示R随着t的增大而增长的趋势． （3）预测2024年该省全体居民人均可支配收入． 【考点4】行程问题（第14-17题） · 画路程-时间图象，标特殊点 · 斜率比速度，交点读相遇 · 相向、同向问题分别列关系式 · 「相距多少」分前后两种情况讨论 14．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　） A． B．15min C．20min D． 15．（2025秋•槐荫区期末）人工智能的发展使得智能机器人成为时尚．如图，送餐机器人小A和小I从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为x（s），小A和小I行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为30cm/s C．n＝40 D．从小A出发至送餐结束，小I和小A最远相距150cm 16．（2024•渝北区开学）天气转暖，正是露营好时节．周六，小联同学一家从家出发，开车匀速前往离家30千米的露营基地．行驶0.5小时后，到达露营基地．在基地玩耍一段时间后，按照原路返程回家．由于车流增加，平均行驶速度比去基地的平均速度少．在整个运动过程中，小联同学距家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．去基地的平均速度是每小时60千米 B．露营玩耍的时长为4小时 C．回家的平均速度是每小时50千米 D．与家相距10千米时，x的值为4.74 17．（2025•和平区校级一模）甲，乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后2.8h，甲到达B地．下面图中x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． （Ⅰ）乙比甲提前 ________ h到达B地，乙的骑行速度为 _______ km/h，t值为 _____ h； （Ⅱ）直接写出甲骑行过程中，y关于x的函数解析式； （Ⅲ）乙到达B地，此时甲离B地的路程为 _____ km； （Ⅳ）在甲到达B地前，当x＝ ______________ h时，甲乙两人相距2km．（V）乙出发 __________________ h时二人相遇，此时距离A地 _______ km． 【考点5】几何问题（第18-24题） · 用坐标表示线段长度（差取绝对值） · 面积公式结合坐标轴底高 · 动点设x，用x表示面积或长度 · 几何条件化为距离公式列方程 18．（2026春•渝中区校级月考）已知一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数y＝kx﹣8的结论错误的是（　　） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是（2，0） D．函数图象可由函数y＝﹣4x的图象平移得到 19．（2026•雁塔区校级模拟）直线y＝3x﹣6向上平移m个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（2025秋•威海期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，则直线l3的表达式为____________ ． 21．（2026春•万州区校级月考）一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）． （1）若将该直线向下平移2个单位长度后过点（﹣1，3），求点a的值； （2）当﹣2≤x≤4时，函数有最大值10，请求出a的值． 22．（2025秋•亭湖区校级期中）已知一次函数y＝kx+b的图象是由一次函数y＝2x的图象平移得到，且过点P（2，5）． （1）求该一次函数的表达式； （2）已知A（d，m），B（2，n）是一次函数y＝kx+b图象上的两点，且d＜2．比较m与n的大小，并说明理由． 23．（2026春•张店区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象向上平移得到，且经过点（﹣1，4），与直线相交于点P．直线和直线y＝kx+b（k≠0）分别与x轴交于点A，B． （1）求这个一次函数y＝kx+b的解析式及交点P的坐标； （2）求△PAB的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线l1经过点A（3，2），B（1，0），点A与点C关于y轴对称，线段AC与y轴交于点N． （1）求直线l1的函数解析式； （2）将直线l1沿y轴向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线l2，l2与y轴交于点D．若△ACD的面积不大于6，求n的取值范围； （3）判断直线l3：y＝x﹣2a+1（a≠0且a≠1）是否恒过直线l1上定点，若过，请直接写出该定点的坐标；若不过，请说明理由． 【考点6】其它问题（第25-29题） · 弹簧等正比关系：y=kx+b · 表格数据：选两组数据求k、b · 图象读特殊点（截距、交点） · 实际问题注意单位与取值范围 25．（2026•松原一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间t（h）的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段BC所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 26．（2026•雁塔区校级一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？ 27．（2026•滨海新区校级二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家1.2km，文化中心离家2km，李明从家出发，先匀速步行了6min到健身园，在健身园停留了6min，之后匀速步行了4min到文化中心，在文化中心停留了8min后，再匀速骑行8min返回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 时间/min 3 7 12 21 距离/km ________ 1.2 ________ _____ ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为 ________ km/min； ③当12≤x≤32时，请直接写出李明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）当李明离开家20min时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行16min回到家中，那么爸爸从文化中心回家途中（20≤x≤32）两人相距0.4km时，李明离开家的时间是多少分钟（直接写出结果即可）？ 28．（2024秋•静安区校级月考）甲、乙两人到距离A地35千米的B地办事，甲步行先走，乙骑车后走，两人匀速前进，甲、乙两人距离A地的路程S（千米）和行进的时间t（小时）的关系如图所示，根据图示提供的信息解答： （1）乙比甲晚 _____ 小时出发； （2）乙出发 _____ 小时追上甲，此时距A地 _______ 千米； （3）求乙比甲早几小时到达B地？ 29．（2025秋•老河口市期中）综合与实践“水果店定价最优方案” 【项目背景】 某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化． 已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/千克） 12 14 16 日销售量y（千克） 100 90 80 【任务一】建立函数模型 （1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式； 【任务二】实现目标利润 （2）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？ 【任务三】优化定价决策 （3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【考点7】创新题型（第30题） · 读新情境，提取数量关系 · 按问号顺序逐步建模 · 坐标系新工具题用坐标转化 · 联立方程或读图求交点 30．（2025秋•嵊州市期末）随着AI技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活．某公司使用甲，乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了8小时．甲，乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）求甲机器人每小时分拣快递的件数． （2）当甲，乙两机器人分拣快递件数相同时，求乙机器人工作的时间． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•长清区二模）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 ________ ． 【练习 2】（2025春•长宁区校级月考）某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 _________________ ． 【练习 3】（2023秋•南岸区期中）某地植物园从正门到侧门有一条小路，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走，乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的距离y（km）与出发时间x（h）之间的关系图象．结合图象，当乙回到侧门时，甲与侧门的距离是 _____ 千米． 【练习 4】（2025秋•沭阳县月考）如图，已知A、B两地相距4千米，上午9：00，甲从A地出发步行到B地，9：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为__________ ． 【练习 5】（2026•湖南一模）学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为（4，2），（4，6），从点C（﹣1，0）发射光线，其图象对应的函数解析式为y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为_____ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 一次函数应用关键是找到两个变量间的等量关系，用y=kx+b建模 · 分段函数：每个区间对应一个关系式，注意各段自变量范围 · 方案比较：令两函数相等求交点，交点两侧分别判断优劣 · 行程图象：斜率是速度、交点是相遇，水平线段表示停留 · 几何与创新题先画图、标数据，再转化为坐标与函数模型 【作业 1】（2025•宿城区校级二模）如图，入射光线MN满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P，则点P坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C． D． 【作业 2】（2024秋•威海期末）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 【作业 3】（2024秋•雁塔区校级期中）在一定范围内，弹簧的受力和伸长长度成正比．某次数学实验中，同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如表（部分）所示，下列说法中不正确的是（　　） x（kg） 1 2 3 4 … y（cm） 10.5 11 11.5 12 … A．x，y都是变量，y是x的一次函数 B．弹簧不挂物体时的长度是10cm C．当所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度是15cm D．物体质量由4kg增加到7kg，弹簧的长度增加1cm 【作业 4】（2026春•临渭区期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞2）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为_______________ ． 【作业 5】（2025春•龙口市期末）A，B两地相距30km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲骑自行车以10km/h的速度先出发，1.5小时后，乙开车以40km/h的速度出发．两人之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的函数关系如图所示，当乙到达B地时两人相距 ________ km． 【作业 6】（2026•天桥区二模）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当t＝3时，甲、乙两人相距_______ km． 【作业 7】（2025秋•兰州月考）某度假酒店推出了甲、乙两种消费卡，设入店次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用y甲、y乙元关于入店次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若入住酒店15次，采用哪种方法比较划算？ 【作业 8】（2024春•江门校级期中）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）； 方案一：提供8000元赞助后，每张的票价为50元； 方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定． （1）分别求出方案一和方案二的函数关系式； （2）若购买180张票，选择哪个方案更省钱？ 【作业 9】（2024•鄞州区模拟）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润≥46000元 良好方案 44000元＜月总利润＜46000元 合格方案 40000元＜月总利润≤44000元 （销售利润＝销售收入﹣成本） 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件．若0＜m≤400，则这m件产品的销售利润为 ________ 元．若400＜m≤800，则这m件产品的销售利润为 ________________ 元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为 ____________________ 元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 一次函数应用 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会用一次函数模型解决经济问题（利润、收费、打折） · 能用一次函数比较方案优劣，选出最优方案 · 会用一次函数图象分析行程与工程问题中的数量关系 · 能结合几何图形建立一次函数模型求解 · 能读懂创新题型中的新情境，建立函数模型解决问题 📚 知识梳理 ☆ 1.经济问题 利润=售价−进价，总利润=单件利润×件数 分段收费：不同数量区间用不同的关系式（分段函数） 「超过部分打几折」：超过的部分按折后价计算 先设变量列函数关系式，再代入数据求解 概念辨析例题：某商店购进甲乙两种电动自行车共50辆，甲款利润500元/辆，乙款利润550元/辆，设购进甲款x辆，则总利润y（元）与x的关系式为______ 解析：购进甲款x辆、乙款(50−x)辆，总利润y=500x+550(50−x)=27500−50x；实际问题中x为正整数且0＜x＜50。 ☆ 2.方案问题 比较两个方案的函数关系式y1与y2，令y1=y2求交点（临界点） 在交点的左侧与右侧分别判断哪个方案更优 结合自变量取值范围与实际问题取舍 方案选择题先列出各方案费用函数，再比较 概念辨析例题：某度假酒店推出甲乙两种消费卡，入店x次费用y元，图象交于点（12，480），则入店次数超过12次时应选择______卡 解析：两函数图象交于点（12，480），说明入店12次时两卡费用相同；x＞12后比较两图象高低，选费用（y值）较小的那种卡，即图象在下方的那张。 ☆ 3.工程问题 工作量=工作效率×工作时间 合作问题：总工作量=各部分工作量之和 图象法：图象的斜率表示工作效率（单位时间工作量） 分段工程：不同阶段工作效率可能不同，分函数表示 概念辨析例题：甲机器人每小时分拣a件快递，乙机器人工作t小时后分拣快递件数相同，若乙每小时分拣b件，则相等条件为______ 解析：分拣件数相等时，甲的件数=乙的件数；把各自的件数用「每小时件数×工作时间」表示，列等量关系即可求乙的工作时间t。 ☆ 4.行程问题 路程=速度×时间，图象横轴为时间、纵轴为路程（或距离） 图象的斜率（陡缓）表示速度：越陡速度越大 两图象的交点表示相遇（或位置相同） 折线表示速度变化（如中途停留：水平线段） 概念辨析例题：甲从A地步行到B地（相距4千米），9：00出发，9：20乙从B地出发骑自行车到A地，两人在途中相遇，则相遇时间由______决定 解析：在同一坐标系中画出甲、乙两人路程-时间图象，两图象的交点表示两人在同一时刻位于同一位置，即相遇；交点横坐标就是相遇时间。 ☆ 5.几何问题 坐标系中的几何图形：点坐标对应线段长度 三角形面积=×底×高，底常取坐标轴上的线段 动点问题：设时间（或长度）为自变量，用含x的式子表示面积或长度 由面积关系列方程求动点位置 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若AB=5，求k的值 解析：A（−，0）、B（0，b），AB2=(−)2+b2=25，代入k、b的具体关系求解；几何条件转化为坐标与距离公式是解题关键。 ☆ 6.其它问题 弹簧问题：伸长量与拉力成正比，y=kx+b形式 生活情境题：出租车、消费、资源等数量关系 表格数据题：由表中数据确定函数关系式 图象信息题：读特殊点与交点，还原实际意义 概念辨析例题：同学们记录同一根弹簧伸长长度与所挂物体质量的数据，弹簧原长10cm，每挂1kg伸长2cm，则弹簧长度y（cm）与质量x（kg）的关系式为______ 解析：质量x每增加1kg弹簧伸长2cm，斜率k=2；质量0时长度是原长10cm，即b=10，所以y=2x+10；注意x≥0且不超过弹簧弹性限度。 ☆ 7.创新题型 新情境（AI、机器人、学科融合等）先读懂规则，把文字转化为数学关系 一题多问：按问号顺序逐步建模，前后问题常递进 坐标系中的反射、几何等新情境，用坐标与函数工具转化 大胆设变量，用待定系数法或直接关系式建立模型 概念辨析例题：AI智能机器人分拣快递，甲、乙两机器人分拣件数相同时，求乙机器人工作的时间 解析：分别写出甲、乙分拣件数与时间的关系式（一次函数），令两者相等解出时间；若信息以图象给出，则直接读两图象交点横坐标。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 利润 利润=售价−进价，总利润=单件利润×件数 折扣与分段按题意计算 方案比较 令y1=y2求交点，分区间判断优劣 结合自变量取值范围取舍 工程 工作量=效率×时间 图象斜率表示效率 行程 路程=速度×时间 交点即相遇，斜率即速度 几何 面积=底×高 底常取坐标轴上线段 表格/图象 由数据或特殊点定关系式 注意实际意义与范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】经济问题（第1-5题） · 利润、售价、进价关系式列函数 · 分段收费按区间分函数表示 · 「超过部分打折」只对超出部分打折 · 代入具体数量求函数值或反求变量 1．（2025秋•太谷区期末）周末，爸爸和小明开展“家庭趣味骑行”活动，从家出发前往“晋家门超市”．两人骑行的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，你认为正确的结论有（　　） ①家到超市的全程是2000米； ②小明先到达超市； ③从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快； ④在爸爸出发6.8分钟时，小明追上了爸爸． A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据图象可知家到超市的全程是2000米，小明先到达超市，从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度慢，求出两人的速度，根据相遇时，两人的路程相同，求出相遇时的时间，进行判断即可． 【解答】解：由图象可知家到超市的全程是2000米，小明先到达超市，从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度慢， 小明爸爸的速度为2000÷8＝250（米/分钟）； 小明提速后的速度为（2000﹣800）÷（7.6﹣4.4）＝375（米/分钟）； 250t＝800+375（t﹣4.4）， 250t＝800+375t﹣1650， ﹣125t＝﹣850， 解得t＝6.8； 故在爸爸出发6.8分钟时，小明追上了爸爸； 综上：正确的有①②④； 故选：C． 【点评】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息是解题的关键． 2．（2026•祁县二模）某地理考察队在某地不同海拔处测量大气压和气温，得到如下近似线性规律：大气压P（hPa）是海拔h（km）的一次函数，海平面h＝0时P＝1013hPa，海拔每升高1km，气压下降100hPa；气温T（℃）与海拔h（km）也满足一次函数关系，海平面气温为20℃，海拔每升高1km，气温下降约6℃．考察队使用的气压计存在系统误差，其读数x（单位：hPa）比真实大气压P偏小13hPa．现测得某位置的气压计读数为x＝880hPa，则该位置的气温T为　12.8　 ℃． 【分析】先根据气压计读数与真实大气压的关系求出真实大气压，再根据大气压与海拔的一次函数关系求出该位置的海拔，最后根据气温与海拔的一次函数关系求出该位置的气温即可． 【解答】解：由题意可知P＝880+13＝893（hPa）， 设大气压P关于海拔h的一次函数解析式为P＝kh+b， 由h＝0时，P＝1013hPa，得b＝1013， 由海拔每升高1km气压下降100hPa，得k＝﹣100， ∴大气压P关于海拔h的一次函数解析式为P＝1013﹣100h， ∴893＝1013﹣100h， 解得h＝1.2， 设气温T关于海拔h的一次函数解析式为T＝mh+n， 由h＝0时，T＝20℃，得n＝20， 由海拔每升高1km气温下降6℃，得m＝﹣6， ∴气温T关于海拔h的一次函数解析式为T＝20﹣6h， ∴T＝20﹣6×1.2＝12.8． 故答案为：12.8． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握知识点是应用是关键． 3．（2025春•信丰县期末）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”我市某中学在世界读书日这天，同时购进甲、乙两类图书若干套，已知一套甲类图书比一套乙类图书的进价高30元，买三套甲类图书和两套乙类图书一共需要540元． （1）甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？ （2）根据实际需要，学校决定购买两类图书共100套，其中甲类图书购买的数量不少于乙类图书数量的，且甲类图书购买的数量不超过45套，请问有几种购买方案？ （3）若购买甲类图书x套，学校购买这批图书的总费用为y元，在第（2）问的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值． 【分析】（1）设甲类图书m元每套，则乙类图书（m﹣30）元每套，根据一套甲类图书比一套乙类图书的进价高30元，买三套甲类图书和两套乙类图书一共需要540元，列出方程，即可解答； （2）设甲类图书购买了x套，则乙类图书购买了（100﹣x）套，根据甲类图书购买的数量不少于乙类图书数量的，且甲类图书购买的数量不超过45套，列出不等式，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答； （3）由（2）表示出总费用y＝120x+90（100﹣x），利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值． 【解答】解：（1）设甲类图书m元每套，则乙类图书（m﹣30）元每套，依题意得：3m+2（m﹣30）＝540， 解得m＝120， 则120﹣30＝90（元）， 答：甲类图书120元/套，乙类图书90元/套． （2）设甲类图书购买了x套，则乙类图书购买了（100﹣x）套， 由题意得：， 解得：x≥40， ∴40≤x≤45， ∴x可取值有40，41，42，43，44，45， ∴共种6种方案； （3）由（2）可知y＝120x+90（100﹣x），化简得：y＝30x+9000， ∵30＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴x＝40时，y取最小值，最小值为10200元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组，应用一次函数的性质解决问题． 4．（2025秋•烟台期末）元旦期间某游乐场的门票为10元/人，每天的支出费用为2000元．设每天有x人买门票进入该游乐场，每天的收入与支出的差额为y元． （1）请写出y与x之间的表达式，并列表表示当x的值分别为50，100，150，200，300时y的值； （2）请回答每天买门票进入游乐场的人数达到多少时，游乐场才不会亏损？ （3）若游乐场每天的盈利不少于3000元，则每天卖出的门票最少达到多少张？ 【分析】（1）读懂题意，按题意列一次函数解析式，画表格． （2）按（1）表格中数据，得到y值大于0时就不会亏损了，相应的x的值就是每天买门票进入游乐场的人应达到的数量； （3）盈利不少于3000元即y≥3000，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）y＝10x﹣2000； x 50 100 150 200 300 y ﹣1500 ﹣1000 ﹣500 0 1000 （2）由（1）可知，每天买门票进入游乐场的人超过200人时，y的值大于0，游乐场才不会亏损． 答：每天买门票进入游乐场的人数达到200时，游乐场才不会亏损； （3）游乐场每天的盈利不少于3000元， 即y≥3000， 即10x﹣2000≥3000， 解得x≥500， ∴每天卖出的门票最少达到500张． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键要掌握一次函数的概念和性质，会列表格表示函数的对应值． 5．（2025秋•南山区期末）为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进A、B两种瓶装饮品共300箱，两种饮料的成本与销售价如下表： 饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱） A 30 45 B 40 60 （1）若该超市花了10000元进货，求购进A、B两种饮料各多少箱？ （2）设购进A种饮料a箱（80≤a≤100），300箱饮料全部卖完可获利润W元，求W与a的函数关系式，并求购进A种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】（1）设购进A种饮料x箱，B种饮料y箱，根据购进饮料的总数和进货的费用列方程组求解； （2）根据两种饮料的单件利润和进货的数量，可得W＝﹣5a+6000，根据一次函数的性质可知，当购进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元． 【解答】解：（1）设购进A种饮料x箱，B种饮料y箱， 由题意得， 解得， 答：购进A种饮料200箱，B种饮料100箱． （2）由题意得W＝（45﹣30）a+（60﹣40）（300﹣a）＝﹣5a+6000， ∵﹣5＜0， ∴W随a的增大而减小， 又∵80≤a≤100， ∴当a＝80时，W有最大值，为﹣5×80+6000＝5600元， 答：当购进A种饮料80箱时，可获得最大利润，最大利润是5600元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点2】方案问题（第6-9题） · 列两个方案的费用函数y1、y2 · 令y1=y2求交点临界值 · 交点两侧分别比较函数值大小选优 · 结合实际问题整数要求取舍方案 6．（2025秋•碑林区校级期末）某商店购进甲、乙两种书包，已知购买甲种书包20个、乙种书包30个，共花费2920元，且甲书包的单价比乙书包的单价高11元． （1）甲、乙两种书包的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种书包共40个，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种书包按单价的八折出售，乙种书包每个降价6元出售，如果此次购买甲书包的数量不低于乙书包数量的一半，那么应购买多少个甲种书包，使此次购买书包的总费用最少？最少费用是多少元？ 【分析】（1）根据甲、乙两种书包的总费用为2920元列出方程求解即可； （2）设购进甲书包a个，此次购买书包的总费用为w元，则w＝甲种书包的总售价+乙种书包的总售价，进而根据函数的增减性和自变量的取值范围求得相应的a的值和最少费用即可． 【解答】解：（1）设甲书包的单价为x元，则乙书包的单价为（x﹣11）元， 20x+30（x﹣11）＝2920， 解得：x＝65， ∴x﹣11＝54． 答：甲书包的单价为65元，则乙书包的单价为54元； （2）设购进甲书包a个，此次购买书包的总费用为w元， w＝65×0.8a+（54﹣6）（40﹣a）＝52a+1920﹣48a＝4a+1920， a（40﹣a）， 解得：a≥13， ∵4＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴a＝14时，w最小，w最小＝1976． 答：应购买14个甲种书包，使此次购买书包的总费用最少，最少费用是1976元． 【点评】本题考查一次函数的应用．根据一次函数的性质和自变量的取值范围判断出函数的最小值是解决本题的关键． 7．（2026•思明区校级模拟）近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台生活服务型机器人需支付总费用4400万元． （1）每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ （2）该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．根据市场定价，工业制造型机器人按进价的倍销售，生活服务型机器人按25%的利润率销售，且两种机器人最后全部售完．设销售总利润为W万元，应如何安排进货数量，才能使W最大？最大利润为多少万元？ 【分析】（1）依据题意，设每台工业制造型机器人单价为x万元，每台生活服务型机器人单价为y万元，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，设购进工业制造型机器人m台，则购进生活服务型机器人（200﹣m） 台，可得0≤m≤50，且m为整数，又售价为进价的倍，故W＝24m+14（200﹣m）＝10m+2800，即W＝10m+2800是一次函数，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，设每台工业制造型机器人单价为x万元，每台生活服务型机器人单价为y万元， ∴， ∴． 答：每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元； （2）由题意，设购进工业制造型机器人m台，则购进生活服务型机器人（200﹣m） 台， ∵生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍， ∴200﹣m≥3m． ∴m≤50． ∵台数非负， ∴0≤m≤50，且m为整数． ∵售价为进价的倍， ∴7272＝24（万元）． ∴W＝24m+14（200﹣m）＝10m+2800，即W＝10m+2800是一次函数， ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大． ∴当m取最大值50时，W最大，最大利润：W＝10×50+2800＝3300（万元）． 答：购进工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台时，总利润最大，最大利润为3300万元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 8．（2026•普陀区二模）为缓解新能源汽车长途续航焦虑，某服务区推出快慢组合充电方案：车辆低电量时先慢充，再切换成快充，既保护电池寿命，又缓解充电桩使用压力．小明驾车进入服务区时，车辆剩余电量为20%，采用该组合方案充电．已知充电时电池电量百分比y与充电时间x（小时）的函数图象如图所示：线段AB为慢充图象，折线ACD为快充图象．两种充电模式可切换，切换充电模式后，将按新模式的速度继续充电．根据相关信息，请回答下列问题： （1）两种充电模式分别从20%电量充到100%电量，求快充模式比慢充模式节省多少时间？ （2）求快充时y与x的函数关系式及自变量取值范围． （3）已知该车每1%电量可行驶5km，若距目的地还需行驶300km，到达终点时电车至少留有20%的电量．先慢充0.5小时后立刻转快充，至少需要快充多长时间才能满足出行续航要求？ 【分析】（1）依据题意，结合图象可得，8﹣2＝6（小时），从而可得快充模式比慢充模式节省6小时，即可得解； （2）依据题意，设yAC＝kx+b，又图象过（0，20），（0.5，70），则，从而可得yAC＝100x+20，又设yCD＝mx+n，结合图象过（0.5，70），（2，100），则，可得yCD＝20x+60，进而可以得解； （3）依据题意，设yAB＝ax+c，结合图象过（0，20），（8，100），则，从而可得yAB＝10x+20，把x＝0.5 代入y＝10x+20得y＝25，由300÷5＝60，60+20＝80＞70，则y＝20x+60≥80，可得x≥1，把y＝25 代入y＝100x+20，得x＝0.05，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，结合图象可得，8﹣2＝6（小时）， 答：快充模式比慢充模式节省6小时； （2）由题意，设yAC＝kx+b， ∵图象过（0，20），（0.5，70）， ∴． ∴k＝100，b＝20， ∴yAC＝100x+20． 设yCD＝mx+n， 又∵图象过（0.5，70），（2，100）， ∴． ∴m＝20，n＝60， ∴yCD＝20x+60． ∴快充时y与x的函数关系式为：； （3）由题意，设yAB＝ax+c， 又∵图象过（0，20），（8，100）， ∴． ∴a＝10，c＝20， ∴yAB＝10x+20， 把x＝0.5代入y＝10x+20 得y＝25， ∵300÷5＝60，60+20＝80＞70， ∴y＝20x+60≥80，则x≥1． 把y＝25代入y＝100x+20，得x＝0.05， ∴1﹣0.05＝0.95（小时）． 答：至少需要快充0.95小时才能满足出行续航要求． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 9．（2025春•江汉区期末）某学校计划租用客车送284名学生和16名老师去春游，为了安全，既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆客车上至少有2名教师，现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）共需租　8　 辆客车； （2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式； （3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出y关于x的函数解析式； （3）根据题意和（2）中的结果可以得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集，再根据一次函数的性质，即可求得最节省费用的方案． 【解答】解：（1）共需租a辆客车， 由题意可得：， 解得7a≤8， ∵a为整数， ∴a＝8， 即共需租8辆车， 故答案为：8； （2）由题意可得， y＝300x+400（8﹣x）＝﹣100x+3200， 即y关于x的函数解析式为y＝﹣100x+3200； （3）由题意可得， ， 解得1≤x≤3， 由（2）知：y＝﹣100x+3200， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y取得最小值，此时y＝2900，8﹣x＝5， 答：最节省费用的方案为租用3辆甲种客车，租用5辆乙种客车． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【考点3】工程问题（第10-13题） · 工作量=效率×时间，设未知数列式 · 图象斜率表示工作效率 · 合作或分段工程分函数处理 · 相等条件转化为方程求解 10．（2026•长春一模）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为x（h），货车的路程为y1（km），小轿车的路程为y2（km），图中的线段OA与折线OBCD分别表示y1、y2与x之间的函数关系． （1）甲、乙两地相距　420　 km，m＝　5　 ； （2）求线段CD所在直线的函数表达式； （3）小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 【分析】（1）直接根据图象写出两地之间的距离和m的值； （2）利用待定系数法确定函数的解析式即可； （3）分成两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）观察图象可知：甲乙两地相距420km，m＝3+2＝5， 故答案为：420，5； （2）设直线CD的解析式为y＝kx+b，把C（5，270），D（6.5，420）代入得到 ， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝100x﹣230； （3）设线段OA所在的直线的解析式为y＝k1x， 把点A（7，420）代入得420＝7k1， 解得k1＝60， ∴y＝60x， 由题意：60x﹣（100x﹣230）＝10或（100x﹣230）﹣60x＝10， 解得x＝5.5，x﹣5＝0.5，或x＝6，x﹣5＝1， 答：小轿车停车休息后还要提速行驶0.5或1小时，与货车之间相距10km． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2026•阎良区三模）三翻饼是陕西省某地的特色小吃，外皮金黄，油炸后呈翻裂千层之状，犹如花朵盛开，故有“千层之花”的美誉．姗姗准备购买三翻饼送给亲朋好友，她了解到，商店的三翻饼原价为20元/盒，若一次购买不超过10盒，每盒都按原价销售，超过10盒，则超过的部分每盒按原价打9折．设姗姗此次购买x盒三翻饼，所需费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若姗姗此次购买三翻饼的预算不超过300元，则她最多可以购买多少盒三翻饼？ 【分析】（1）分两种情况讨论，由费用＝单价×数量，即可求解； （2）由“购买三翻饼的预算不超过300元”代入解析式，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤10时，y＝20x， 当x＞10时，y＝20×10+0.9×20×（x﹣10）＝18x+20， 综上所述：y； （2）∵购买三翻饼的预算不超过300元， ∴令18x+20≤300，则x15． ∵x为整数， ∴她最多可以购买15盒三翻饼． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 12．（2026春•弋阳县期末）随着人工智能的发展，不少物流仓库使用智能机器人分拣货物．某仓库的机器人小仓和小库，从分拣台出发，准备给相距600dm的货架送货，小仓比小库先出发，且速度保持不变．小库出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小仓行走的时间为x（s），小仓和小库行走的路程分别为y1（dm），y2（dm）；y1，y2与x之间的对应关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）小库提速前的速度为　8　 dm/s； （2）求m的值（m为小库到达货架的时间）； （3）求小仓行走的路程．y1与行走时间x之间的函数解析式； （4）当小库到达货架时，小仓距离货架还有多远？小库比小仓提前多少秒到达？ 【分析】（1）根据路程与速度，时间的关系，进行求解即可； （2）求出提速后行走的时间，再结合小仓先出发的时间，以及小库提速前所走的时间，即可解答； （3）先求出点A的坐标，再结合小仓出发的时间与速度进行求解即可； （4）当小库到达货架时，小仓所走的路程为330dm，相减即可，求出当y1＝600时，x＝100，再用小仓到达货架的时间减去小库到达货架的时间，即可解答． 【解答】解：（1）由题图可知，小库从x＝15s时开始出发，到x＝20s时走了40dm， 20﹣15＝5（s）， 则提速前的速度为40÷5＝8（dm/s）； 故答案为：8； （2）结合小库提速后的路程计算到达时间m： 小库提速后行走的路程为总路程600﹣40＝560（dm）， 提速后的速度为8×2＝16（dm/s）， ∴提速后行走的时间为560÷16＝35（s）； ∴总时间为15+5+35＝55（s）， 即m＝55． （3）由（2）可知，点A的坐标为（55，330）， 则小仓行走的速度为330÷55＝6（dm/s）， 且从x＝0时出发， ∴y1＝6x（0≤x≤100）； （4）∵600﹣330＝270（dm）， 当y1＝600时， 6x＝600， 解得x＝100， ∴100﹣55＝45（s）， ∴当小库到达货架时，小仓距离货架还有270dm，小库比小仓提前45秒到达． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（2026春•同步）据国家统计局网站数据，从2016年至2022年某省全体居民人均可支配收入R（万元）的数据如表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 对应的t值 0 1 2 3 4 5 6 R/万元 1.97 2.15 2.34 2.57 2.71 2.94 3.09 （1）用统计图直观表示R随着年份增加的变化趋势． （2）请确定一个一次函数，近似表示R随着t的增大而增长的趋势． （3）预测2024年该省全体居民人均可支配收入． 【分析】（1）数据的可视化表示（折线统计图的绘制与解读）、变量的变化趋势分析．将表格中的 （t，R） 数据点 （0，1.97）、（1，2.15）、（2，2.34）、（3，2.57）、（4，2.71）、（5，2.94）、（6，3.09）在坐标系中标出，再用线段依次连接，即可清晰看出R随t 增长的趋势．掌握统计图的绘制方法，能通过图形直观观察变量随年份的变化规律； （2）利用给定的数据，通过待定系数法设出一次函数R ＝kt+b，代入数据求解参数k和b，从而确定函数表达式； （3）将2024年对应的t值代入第（2）问求出的一次函数表达式，计算对应的R值，完成预测． 【解答】解：（1）要直观表示R 随着年份增加的变化趋势，适合使用折线统计图．横轴表示 t 值（年份对应的编号），纵轴表示人均可支配收入 R （万元）．将表格中的 （t，R） 数据点 （0，1.97）、（1，2.15）、（2，2.34）、（3，2.57）、（4，2.71）、（5，2.94）、（6，3.09）在坐标系中标出，再用线段依次连接，即可清晰看出R随t 增长的趋势． （2）设一次函数为 R ＝ kt+b， 这里选取首尾两点 （0，1.97）和 （6，3.09），代入t＝0，得b ＝ 1.97，代入t＝6，得3.09 ＝ 6k+1.97， 解得：k ＝ 0.1896≈0.19．因此，近似的一次函数为：R ＝ 0.19t+1.97． （3）预测2024年的收入：2024年对应的 t 值：2016年对应 t＝0，则2024年对应 t ＝ 2024﹣2016 ＝ 8．将 t＝8 代入一次函数：R ＝ 0.19×8+1.97 ＝ 1.52+1.97 ＝ 3.49 （万元）． 即：2024年该省全体居民人均可支配收入为：3.49 万元． 【点评】题目考查了一次函数的建模与应用、数据的可视化分析，同时结合了数据可视化和函数预测的知识点，解题关键是掌握一次函数的求解方法和数据与函数的对应关系． 【考点4】行程问题（第14-17题） · 画路程-时间图象，标特殊点 · 斜率比速度，交点读相遇 · 相向、同向问题分别列关系式 · 「相距多少」分前后两种情况讨论 14．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　） A． B．15min C．20min D． 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别写出甲和乙的速度，再设甲乙两地的路程，根据路程＝速度×时间，即可求得两次相遇的时间，再作差即可． 【解答】解：设甲乙两地的路程为akm， 由图象可得， 甲的速度为km/min，乙的速度为km/min， 设甲和乙第一次相遇的时间为t1，他们第二次相遇的时间为t2， 由题意可得：， 解得， 则t2﹣t1（min）， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（2025秋•槐荫区期末）人工智能的发展使得智能机器人成为时尚．如图，送餐机器人小A和小I从厨房门口出发，前往450cm的客人处，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为x（s），小A和小I行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为30cm/s C．n＝40 D．从小A出发至送餐结束，小I和小A最远相距150cm 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得y1，y2各段的函数解析式，结合函数图象即可判断D选项． 【解答】解：结合图象可知，， 小A比小I早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当x＝15秒时，y2＝0；当x＝17秒时，y2＝30厘米， ∴小I提速前的速度是（厘米/秒）， ∵小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍． ∴小I提速后速度为30厘米/秒， 故选项B正确，不符合题意； ∴提速后小I行走所用时间为：， ∴m＝17+14＝31（秒）， ∴A（31，310）， ∴小A的速度为（厘米/秒）， ∴n45（秒）， 故选项C错误，符合题意； 小数和小文相遇前，当x＝15时小文和小数相距最远，为10×15＝150（cm）， 小数和小文相遇后，当x＝m＝31时小文和小数相距最远，为450﹣10×31＝140（cm）， ∵150＞140， ∴从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键． 16．（2024•渝北区开学）天气转暖，正是露营好时节．周六，小联同学一家从家出发，开车匀速前往离家30千米的露营基地．行驶0.5小时后，到达露营基地．在基地玩耍一段时间后，按照原路返程回家．由于车流增加，平均行驶速度比去基地的平均速度少．在整个运动过程中，小联同学距家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．去基地的平均速度是每小时60千米 B．露营玩耍的时长为4小时 C．回家的平均速度是每小时50千米 D．与家相距10千米时，x的值为4.74 【分析】用路程除以时间可得去基地的平均速度是每小时60千米，判断A正确；根据图象直接可判断B正确；由按照原路返程回家．由于车流增加，平均行驶速度比去基地的平均速度少列式计算，可判断C正确；去基地时，与家相距10千米，x；回家时，与家相距10千米，x＝4.54.9，可判断D不正确． 【解答】解：去基地的平均速度是30÷0.5＝60（千米/小时）；故A正确，不符合题意； 露营玩耍的时长为4.5﹣0.5＝4（小时），故B正确，不符合题意； 回家的平均速度是60×（1）＝50（千米/小时），故C正确，不符合题意； 去基地时，与家相距10千米，x； 回家时，与家相距10千米，x＝4.54.9， ∴与家相距10千米时，x的值为或4.9，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用，能从图象中获取有用的信息． 17．（2025•和平区校级一模）甲，乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后2.8h，甲到达B地．下面图中x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． （Ⅰ）乙比甲提前 　0.4　 h到达B地，乙的骑行速度为 　15　 km/h，t值为 　1　 h； （Ⅱ）直接写出甲骑行过程中，y关于x的函数解析式； （Ⅲ）乙到达B地，此时甲离B地的路程为 　4　 km； （Ⅳ）在甲到达B地前，当x＝ 　1.2或2或2.6　 h时，甲乙两人相距2km．（V）乙出发 　　 h时二人相遇，此时距离A地 　24　 km． 【分析】（Ⅰ）由图象可以求出乙比甲提前到达B地的时间；再求出乙的速度为15千米/时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得t1； （Ⅱ）根据函数图象，用待定系数法分段求出函数解析式即可； （Ⅲ）在y＝10x+8中，令x＝2.4得y＝10×2.4+8＝32，即可知乙到达B地后，甲离B地4千米； （Ⅳ）分甲、乙相遇前、后以及乙到达B地后三种情况，根据甲乙两人相距2km列方程求值即可． （V）依据题意，结合图象可得方程，10x+8＝15x，进而可得x，从而此时距离A地的距离为：15x＝1524（km），故可得解． 【解答】解：（Ⅰ）由图象知，乙比甲提前2.8﹣2.4＝0.4（h）到达，乙的速度为 36÷2.4＝15（千米/时）， ∵开始时，甲、乙两人骑行速度相同， ∴， ∴t的值为1． 故答案为：0.4，15，1； （Ⅱ）由题意，当0≤x≤1时，y＝15x+3； 当1＜x≤2.8时， 设y关于x的函数解析式为y＝kx+b， 又∵图象过（1，18），（2.8，36）， ∴， ∴． ∴y＝10x+8． 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数解析式为． （Ⅲ）由图象可知，t＝2.4时，乙到达B地，在y＝10x+8中，令x＝2.4得y＝10×2.4+8＝32． ∵36﹣32＝4（千米）， ∴乙到达B地后，甲离B地4千米． 故答案为：4； （Ⅳ）由题意，∵乙的速度为15千米/小时， ∴乙骑行过程中，y关于x的函数解析式为y＝15x， ①甲、乙两人相遇前后相距2km，则|10x+8﹣15x|＝2， ∴x＝1.2或x＝2； ②乙到达B地后，甲、乙相距2km，则x＝2.42.6． 综上所述，当x＝1.2h或2h或2.6h时，甲乙两人相距2km． 故答案为：1.2或2或2.6． （V）由题意，结合图象可得方程，10x+8＝15x， ∴x． ∴此时距离A地的距离为：15x＝1524（km）． 故答案为：；24． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意，结合图象分析是关键． 【考点5】几何问题（第18-24题） · 用坐标表示线段长度（差取绝对值） · 面积公式结合坐标轴底高 · 动点设x，用x表示面积或长度 · 几何条件化为距离公式列方程 18．（2026春•渝中区校级月考）已知一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数y＝kx﹣8的结论错误的是（　　） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是（2，0） D．函数图象可由函数y＝﹣4x的图象平移得到 【分析】求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合围成的面积求出k的值，再根据一次函数的性质逐一判断选项正误． 【解答】解：由条件可知一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与x轴、y轴分别交于点， ∵一次函数y＝kx﹣8（k为常数且k＜0）的图象与坐标轴围成的面积为8， ∴， ∴k＝﹣4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣4x﹣8，， ∴函数值随自变量的增大而减小，函数图象经过第二、三、四象限，函数图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），函数图象可由函数y＝﹣4x的图象平移得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，一次函数的增减性和一次函数图象经过的象限，熟练掌握以上知识点是关键． 19．（2026•雁塔区校级模拟）直线y＝3x﹣6向上平移m个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】先求出平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到m的取值范围，结合选项即可得到答案． 【解答】解：由平移规则可知，新解析式为y＝3x﹣6+m． ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数3＞0， ∴﹣6+m＞0， 解得m＞6， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2025秋•威海期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，则直线l3的表达式为y＝﹣2x+7　 ． 【分析】先求出直线l1，l2与坐标轴的交点坐标，连接AD，AC绕点A逆时针旋转90°得到AC1，AD绕点A逆时针旋转90°得到AD1，连接C1D1，所在直线即为l3，过点D1作D1E⊥y轴，判定出△D1AE≌△DAO（AAS），从而得出AE＝AD＝4，D1E＝AO＝1，进而得出C1，D1的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可 【解答】解：由条件可知A（0，1），C（0，﹣2），D（4，0）， ∴AC＝3， ∵直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3， ∴如图，连接AD，AC绕点A逆时针旋转90°得到AC1，AD绕点A逆时针旋转90°得到AD1，连接C1D1，所在直线即为l3，过点D1作D1E⊥y轴， 则∠DAD1＝90°，AC1⊥y轴， ∴∠D1AE+∠D1AC1＝90°，∠D1AC1+∠C1AD＝90° ∴∠D1AE＝∠C1AD， ∵AC1∥x， ∴∠C1AD＝∠ADO， ∴∠D1AE＝ADO 在△D1AE与△DAO中， ， ∴△D1AE≌△DAO（AAS）， ∴AE＝OD＝4，D1E＝AO＝1， ∴OE＝AE+AO＝4+1＝5， ∴D1（1，5）， ∵AC1＝AC＝3，C1A⊥y轴， ∴C1（3，1）， 设直线l3的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， 则直线l3的表达式为y＝﹣2x+7， 故答案为：y＝﹣2x+7． 【点评】本题考查了根据旋转的性质求解，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造全等三角形为解题关键 21．（2026春•万州区校级月考）一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）． （1）若将该直线向下平移2个单位长度后过点（﹣1，3），求点a的值； （2）当﹣2≤x≤4时，函数有最大值10，请求出a的值． 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出a的值即可； （2）分a＜0和a＞0两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝ax﹣a+1向下平移2个单位长度， ∴平移后的直线为y＝ax﹣a+1﹣2＝ax﹣a﹣1， 又平移后的直线过（﹣1，3）， ∴﹣a﹣a﹣1＝3， ∴a＝﹣2； （2）由题意，分两种情形： ①当a＜0时，则y随着x的增大而减小， ∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝﹣2时，函数有最大值，为﹣2a﹣a+1＝10，则a＝﹣3； ②当a＞0时，则y随着x的增大而增大， ∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝4时，函数有最大值，为4a﹣a+1＝10，则a＝3； ∴a＝±3． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 22．（2025秋•亭湖区校级期中）已知一次函数y＝kx+b的图象是由一次函数y＝2x的图象平移得到，且过点P（2，5）． （1）求该一次函数的表达式； （2）已知A（d，m），B（2，n）是一次函数y＝kx+b图象上的两点，且d＜2．比较m与n的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据平移可得两个一次函数的k相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数的增减性即可求解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象是由一次函数y＝2x的图象平移得到的，且经过点P（2，5）， ∴k＝2， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，5）， ∴5＝2×2+b， 解得b＝1； ∴一次函数的表达式为y＝2x+1； （2）m＜n，理由： ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵A（d，m），B（2，n）是一次函数y＝kx+b图象上的两点，且d＜2， ∴m＜n． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数的图象与几何变换，熟练以上知识是解题的关键． 23．（2026春•张店区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象向上平移得到，且经过点（﹣1，4），与直线相交于点P．直线和直线y＝kx+b（k≠0）分别与x轴交于点A，B． （1）求这个一次函数y＝kx+b的解析式及交点P的坐标； （2）求△PAB的面积． 【分析】（1）根据题意可得k＝﹣2，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，再联立两函数解析式可求出点P的坐标； （2）求出A、B的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣2x的图象向上平移得到， ∴k＝﹣2； ∴4＝2+b， 解得b＝2， ∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝﹣2x+2； 联立，解得， ∴P的坐标为（2，﹣2）． （2）由条件可得B（1，0）， 在中，令y＝0得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴AB＝3， ∴△PAB的面积为． 【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线l1经过点A（3，2），B（1，0），点A与点C关于y轴对称，线段AC与y轴交于点N． （1）求直线l1的函数解析式； （2）将直线l1沿y轴向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线l2，l2与y轴交于点D．若△ACD的面积不大于6，求n的取值范围； （3）判断直线l3：y＝x﹣2a+1（a≠0且a≠1）是否恒过直线l1上定点，若过，请直接写出该定点的坐标；若不过，请说明理由． 【分析】（1）设直线l1的函数解析式为y＝kx+b，把A（3，2），B（1，0）代入得：，解得k，b的值可得直线l1的函数解析式为y＝x﹣1； （2）求出AC＝3﹣（﹣3）＝6，D（0，﹣1+n），DN＝|﹣1+n﹣2|＝|n﹣3|，根据△ACD的面积不大于6，有6×|n﹣3|≤6，故1≤n≤5且n≠3； （3）由a≠1可知直线l3：y＝x﹣2a+1与直线l1：y＝x﹣1互相平行，即两条直线无交点，故直线l3：y＝x﹣2a+1（a≠0且a≠1）不过直线l1上定点． 【解答】解：（1）设直线l1的函数解析式为y＝kx+b，把A（3，2），B（1，0）代入得： ， 解得， ∴直线l1的函数解析式为y＝x﹣1； （2）∵点A（3，2）与点C关于y轴对称， ∴C（﹣3，2），N（0，2）， ∴AC＝3﹣（﹣3）＝6， 直线l1：y＝x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）， ∵将直线l1沿y轴向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线l2，l2与y轴交于点D， ∴D（0，﹣1+n）， ∴DN＝|﹣1+n﹣2|＝|n﹣3|， ∵△ACD的面积不大于6， ∴6×|n﹣3|≤6， 解得：1≤n≤5； ∵n＝3时，A，C，D共线， ∴n≠3， ∴n的取值范围是1≤n≤5且n≠3； （3）直线l3：y＝x﹣2a+1（a≠0且a≠1）不过直线l1上定点，理由如下： ∵a≠1， ∴﹣2a+1≠﹣1， ∴直线l3：y＝x﹣2a+1与直线l1：y＝x﹣1互相平行，即两条直线无交点， ∴直线l3：y＝x﹣2a+1（a≠0且a≠1）不过直线l1上定点． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，涉及平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握待定系数法和三角形面积公式． 【考点6】其它问题（第25-29题） · 弹簧等正比关系：y=kx+b · 表格数据：选两组数据求k、b · 图象读特殊点（截距、交点） · 实际问题注意单位与取值范围 25．（2026•松原一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间t（h）的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段BC所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【分析】（1）根据速度＝路程÷时间计算即可； （2）求出点B的坐标，由路程＝速度×时间写出线段BC所在直线的函数表达式即可； （3）写出线段OD所在直线的函数表达式，求出OD与BC交点坐标，再根据出发点与山庄之间的距离计算小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程即可． 【解答】解：（1）小丽骑行的速度为30÷3＝10（km/h）， 10÷10＝1（h）， ∴A（1，10）， 小明骑行的速度为10÷（1﹣0.5）＝20（km/h）． 答：小丽骑行的速度为10km/h，小明骑行的速度为20km/h． （2）（30﹣10）÷20＝1（h）， 2.5﹣1＝1.5（h）， ∴B（1.5，10）， s＝10+20（t﹣1.5）＝20t﹣20， ∴线段BC所在直线的函数表达式为s＝20t﹣20（1.5≤t≤2.5）． （3）线段OD所在直线的函数表达式s＝10t（0≤t≤3）， 当小明第二次追上小丽时，得， 解得， 30﹣20＝10（km）． 答：小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程为10km． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 26．（2026•雁塔区校级一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？ 【分析】（1）根据题目给出销售量y是销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为y＝kx+b，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）在已知销售量y＝54的情况下，代入函数式解出对应的x值，即销售单价． 【解答】解：（1）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 根据题意，当x＝45时，y＝40，当x＝50时，y＝30； 代入得， 解得， ∴y＝﹣2x+130； （2）已知y＝54，代入函数式得：54＝﹣2x+130， ﹣2x＝76， 解得x＝38， 答：当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2026•滨海新区校级二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家1.2km，文化中心离家2km，李明从家出发，先匀速步行了6min到健身园，在健身园停留了6min，之后匀速步行了4min到文化中心，在文化中心停留了8min后，再匀速骑行8min返回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 时间/min 3 7 12 21 距离/km 　0.6　 1.2 　1.2　 　2　 ②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为 　0.2　 km/min； ③当12≤x≤32时，请直接写出李明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）当李明离开家20min时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行16min回到家中，那么爸爸从文化中心回家途中（20≤x≤32）两人相距0.4km时，李明离开家的时间是多少分钟（直接写出结果即可）？ 【分析】（Ⅰ）①根据图象及速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可； ②根据速度＝路程÷时间计算即可； ③根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可； （Ⅱ）写出爸爸离家的距离y关于时间x的函数解析式，分别计算当20≤x≤24、24＜x≤32，两人相距0.4km时对应x的值即可． 【解答】解：（Ⅰ）①当0≤x≤6时，小明的速度为1.2÷6＝0.2（km/min）， 当x＝3时，y＝0.2×3＝0.6， 当x＝12时，y＝1.2， 当x＝21时，y＝2． 故答案为：0.6，1.2，2． ②李明从健身园步行到文化中心的速度为（2﹣1.2）÷（16﹣12）＝0.2（km/min）． 故答案为：0.2． ③当12≤x≤16时，y＝1.2+0.2（x﹣12）＝0.2x﹣1.2， 当16＜x≤24时，y＝2， 当24＜x≤32时，小明的速度为2÷（32﹣24）＝0.25（km/min），则y＝2﹣0.25（x﹣24）＝﹣0.25x+8， ∴当12≤x≤32时，李明离家的距离y关于时间x的函数解析式y． （Ⅱ）爸爸的速度为2÷16＝0.125（km/min）， 则爸爸离家的距离y关于时间x的函数解析式为y＝2﹣0.125（x﹣20）＝﹣0.125x+4.5， 当20≤x≤24时，两人相距0.4km时，得2﹣（﹣0.125x+4.5）＝0.4，解得x＝23.2， 当24＜x≤32时，两人相距0.4km时，得|﹣0.125x+4.5﹣（﹣0.25x+8）|＝0.4，解得x＝24.8或31.2． 答：李明离开家的时间是23.2分钟或24.8分钟或31.2分钟． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 28．（2024秋•静安区校级月考）甲、乙两人到距离A地35千米的B地办事，甲步行先走，乙骑车后走，两人匀速前进，甲、乙两人距离A地的路程S（千米）和行进的时间t（小时）的关系如图所示，根据图示提供的信息解答： （1）乙比甲晚 　2　 小时出发； （2）乙出发 　2　 小时追上甲，此时距A地 　20　 千米； （3）求乙比甲早几小时到达B地？ 【分析】（1）根据函数图象可知，乙比甲晚2小时出发； （2）根据函数图象可知，乙出发4﹣2＝2（小时）追上甲，此时距A地20千米； （3）先计算出甲和乙的速度，然后分别计算出他们到达B地用的时间，然后即可得到乙比甲早几小时到达B地． 【解答】解：（1）由图象可得， 乙比甲晚2小时出发， 故答案为：2； （2）乙出发4﹣2＝2（小时）追上甲，此时距A地20千米， 故答案为：2，20； （3）由图象可得， 甲的速度为：20÷4＝5（千米/时），甲到达B地需要的时间为：35÷5＝7（小时）， 乙的速度为：20÷（4﹣2）＝10（千米/时），乙到达B地需要的时间为：35÷10＝3.5（小时）， 7﹣（2+3.5）＝1.5（小时）， 即乙比甲早1.5小时到达B地． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 29．（2025秋•老河口市期中）综合与实践“水果店定价最优方案” 【项目背景】 某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化． 已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/千克） 12 14 16 日销售量y（千克） 100 90 80 【任务一】建立函数模型 （1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式； 【任务二】实现目标利润 （2）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？ 【任务三】优化定价决策 （3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表可得当x＝12时，y＝100；当x＝14时，y＝90，将它们分别代入y＝kx+b即可求解； （2）根据题意得（x﹣6）（﹣5x+160）＝800，然后解方程并检验即可； （3）由题意得W＝（x﹣6）（﹣5x+160）＝﹣5（x﹣19）2+845，根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 当x＝14时，y＝90， 当x＝12时，y＝100； ∴， 解得， ∴y＝﹣5x+160， ∵销售单价不低于成本，且不高于2元/千克， ∴6≤x≤20， ∴y＝﹣5x+160（6≤x≤20）． （2）（x﹣6）（﹣5x+160）＝800， 解得x1＝16，x2＝22， ∵6≤x≤20， ∴x＝16， 答：当销售单价定为16元时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元． （3）设每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为W元． 则W＝（x﹣6）（﹣5x+160）＝﹣5（x﹣19）2+845， ∵﹣5＜0， ∴当x＝19时，W取最大值，最大值为845． 答：销售单价定为19元时，获得的日销售利润最大，最大利润是845元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【考点7】创新题型（第30题） · 读新情境，提取数量关系 · 按问号顺序逐步建模 · 坐标系新工具题用坐标转化 · 联立方程或读图求交点 30．（2025秋•嵊州市期末）随着AI技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活．某公司使用甲，乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了8小时．甲，乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）求甲机器人每小时分拣快递的件数． （2）当甲，乙两机器人分拣快递件数相同时，求乙机器人工作的时间． 【分析】（1）设甲、乙的分拣速度为未知数，根据“0﹣2小时甲乙共同分拣的总量”“2﹣3.5小时乙单独分拣后的总量”列二元一次方程组，求解得到甲的速度． （2）分别写出甲、乙分拣总数关于乙工作时间x的函数关系式，分“甲工作、甲维修、甲重新工作”三个阶段，令两函数值相等，解方程得到对应时间． 【解答】解：（1）设甲机器人每小时分拣x件，乙机器人每小时分拣y件， 根据图象题意列方程组：， 解得， 答：甲机器人每小时分拣快递500件； （2）根据（1）乙机器人每小时分拣快递400件， ∴乙单独分拣快递总数y乙＝400x． 当0＜x≤2时，甲机器人每小时分拣快递500件，它们同时开始工作，不存在分拣快递件数相同的情况； 当3.5＜x≤8时，y甲＝1000+500（x﹣3.5）＝500x﹣750． 当y甲＝y乙时，500x﹣750＝400x， 解得x＝7.5， 当2＜x≤3.5时，y甲＝500×2＝1000， 当y甲＝y乙时，400x＝1000， 解得x＝2.5； 答：当甲、乙分拣快递件数相同时，乙机器人工作的时间为2.5小时或7.5小时． 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用及一次函数的应用与求解，关键是通过不同工作阶段的总量关系列方程组求速度，再构建甲、乙分拣总数的函数关系式，分阶段求解函数值相等时的自变量． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•长清区二模）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 　3分钟　 ． 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人第一次和第二次相遇的时间，作差即可． 【解答】解：由图象可得，小王的速度为米/分钟，爸爸的速度为（米/分钟）， 设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇， ∴m＝（m﹣4）•，n（n﹣4）＝2a， 解得：m＝6，n＝9， ∴n﹣m＝9﹣6＝3， 故答案为：3分钟． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间． 【练习 2】（2025春•长宁区校级月考）某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 y＝﹣50x+27500　 ． 【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解． 【解答】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得：y＝500x+550（50﹣x）＝﹣50x+27500， 即y关于x的函数解析式为y＝﹣50x+27500． 故答案为：y＝﹣50x+27500． 【点评】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【练习 3】（2023秋•南岸区期中）某地植物园从正门到侧门有一条小路，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走，乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的距离y（km）与出发时间x（h）之间的关系图象．结合图象，当乙回到侧门时，甲与侧门的距离是 　4　 千米． 【分析】先求出甲休息后对应的函数解析式和乙回到侧门时用的时间，再将这个时间代入函数解析式即可求出乙回到侧门时，甲到侧门的距离． 【解答】解：甲的速度为：5（km/h）， ∴甲在休息前，y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+12（0≤x≤1.1）； 设甲休息后对应的函数解析式为y＝﹣5x+n，对应的函数图象过点（3，0）， 则0＝﹣15+n， 解得n＝15， ∴甲休息后对应的函数解析式为：y＝﹣5x+15， 乙回到侧门时，共用了1+0.2+1＝2.2（h）， 将x＝2.2代入y＝﹣5x+15，得y＝4， ∴乙回到侧门时，甲到侧门的距离是4km． 故答案为：4． 【点评】本题考查一次函数的意义，理解题意，求出甲休息后对应的函数解析式和乙回到侧门时用的时间是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•沭阳县月考）如图，已知A、B两地相距4千米，上午9：00，甲从A地出发步行到B地，9：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为　9点40分　 ． 【分析】先根据图象求出甲的速度，再求出两人走了2千米时相遇时的时间，然后求出乙的速度，进而求出乙走完全程需要时间，则此题可解． 【解答】解：甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知， 根据图象可知甲60分走了全程4千米， 所以甲的速度是4千米/时． 由图象可知两人走了2千米时相遇， 则甲此时用了0.5小时，则乙用了， 所以乙的速度为（千米/时）， 所以乙走完全程需要时间为（分）， 此时加上乙先前迟出发的20分， 所以现在的时间为9点40分． 故答案为：9点40分． 【点评】本题主要考查了函数图象的识别，从图象获取信息，正确进行计算是解题关键． 【练习 5】（2026•湖南一模）学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为（4，2），（4，6），从点C（﹣1，0）发射光线，其图象对应的函数解析式为y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为　7　 ． 【分析】作出点C关于AB对称点C′，可知C′的坐标，作直线AC′，BC′，分别求出这两条直线与y轴交点，则点E坐标即在范围内，即可得到整数点的个数，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′， 则C′（9，0）， 作直线AC′，BC′分别交y轴于E1，E2，设直线BC′y＝ax+c（a≠0）， 把C′（9，0）和B（4，6）代入y＝ax+c中， 得， 解得， ∴点E2的坐标为． 设直线AC′的函数解析式为y＝a1x+c1（a1≠0）， 把A（4，2）和C′（9，0）代入y＝a1x+c1中， 得， 解得， ∴点E1的坐标为， ∴， ∴点E是整点的有（0，8），（0，9），（0，10），（0，4），（0，5），（0，6），（0，7），共7个， 故答案为：7． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象及性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 💯 课后巩固 复习建议 · 一次函数应用关键是找到两个变量间的等量关系，用y=kx+b建模 · 分段函数：每个区间对应一个关系式，注意各段自变量范围 · 方案比较：令两函数相等求交点，交点两侧分别判断优劣 · 行程图象：斜率是速度、交点是相遇，水平线段表示停留 · 几何与创新题先画图、标数据，再转化为坐标与函数模型 【作业 1】（2025•宿城区校级二模）如图，入射光线MN满足的一次函数关系式为，遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P，则点P坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C． D． 【分析】求出点Q，即可求出点P坐标． 【解答】解：延长MN交x轴于Q， 当y＝0，则， ∴x＝1， ∴Q（1，0），故P（﹣1，0）， 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称问题，一次函数与x轴的交点问题，解题的关键是得出P，Q是关于原点对称的， 【作业 2】（2024秋•威海期末）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 【分析】A．哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可； B．根据A可知，A点时二人之间的距离最大，利用路程＝速度×时间，计算二人的路程之差即可； C．由A可知，A点表示哥哥已经到达学校，利用路程＝速度×时间求出A点时哥哥骑行的路程即可； D．设坐标B（t，a），利用弟弟在AB段和BC段的路程＝速度×时间列关于t和a的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出BC的函数表达式即可． 【解答】解：∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴A点表示哥哥已经到达学校， ∴A正确，不符合题意； 哥哥与弟弟相距的最大距离是（160﹣60）×5＝500（米）， ∴B正确，不符合题意； 他们家与学校之间的距离为160×5＝800（米）， ∴C正确，不符合题意； 设坐标B（t，a）， 根据题意，得， 解得， 设BC的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标B（10，200）和C（12，0）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴BC的函数表达式为y＝﹣100x+1200， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•雁塔区校级期中）在一定范围内，弹簧的受力和伸长长度成正比．某次数学实验中，同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如表（部分）所示，下列说法中不正确的是（　　） x（kg） 1 2 3 4 … y（cm） 10.5 11 11.5 12 … A．x，y都是变量，y是x的一次函数 B．弹簧不挂物体时的长度是10cm C．当所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度是15cm D．物体质量由4kg增加到7kg，弹簧的长度增加1cm 【分析】A．根据变量的定义及“所挂物体的质量x增加1kg，弹簧的长度y伸长0.5cm”判断即可； B．利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，将x＝0代入该函数求出对应y的值即可； C．将x＝10代入该函数求出对应y的值即可； D．分别将x＝4和x＝7代入y与x之间的函数关系式，求出对应的y值并求差即可． 【解答】解：∵x，y都是变量，且所挂物体的质量x增加1kg，弹簧的长度y伸长0.5cm， ∴弹簧的长度y和所挂物体质量x的一次函数， ∴A正确，不符合题意； 设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 把x＝2，y＝11和x＝4，y＝12分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝0.5x+10， 当x＝0时，y＝10， ∴弹簧不挂物体时的长度是10cm， ∴B正确，不符合题意； 当x＝10时，y＝0.5×10+10＝15， ∴当所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度是15cm， ∴C正确，不符合题意； 当x＝4时，y＝0.5×4+10＝12， 当x＝7时，y＝0.5×7+10＝13.5， 【作业 4】5﹣12＝1.5（cm）， ∴物体质量由4kg增加到7kg，弹簧的长度增加1.5cm， ∴D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握变量的定义、一次函数的判断方法是解题的关键． 【作业 5】（2026春•临渭区期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞2）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为y＝2.7x+4.6　 ． 【分析】根据乘车费用＝起步价+超过2千米的付费得出． 【解答】解：依题意有：y＝10+2.7（x﹣2）＝2.7x+4.6． 故答案为：y＝2.7x+4.6． 【点评】此题考查根据实际问题列一次函数关系，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用＝起步价+超过2千米的付费． 【作业 6】（2025春•龙口市期末）A，B两地相距30km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲骑自行车以10km/h的速度先出发，1.5小时后，乙开车以40km/h的速度出发．两人之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的函数关系如图所示，当乙到达B地时两人相距 　7.5　 km． 【分析】根据路程÷速度＝时间求出乙到达B地所用时间，从而求出甲骑行的时间并根据“速度×时间＝路程”求出此时甲骑行的路程，进而求出两人的之间的距离即可． 【解答】解：乙到达B地所用时间为30÷40＝0.75（h）， 当乙到达B地时，甲骑行的时间为1.5+0.75＝2.25（h），骑行的路程为10×2.25＝22.5（km）， 30﹣22.5＝7.5（km）， ∴当乙到达B地时两人相距7.5km． 故答案为：7.5． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 【作业 7】（2026•天桥区二模）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当t＝3时，甲、乙两人相距　40　 km． 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法求解一次函数解析式及路程＝速度×时间的等量关系来判断即可． 【解答】解：设甲的解析式为s甲＝kt+b，代入（1，0）、（3，80）， 得， 解得， 则s甲＝40t﹣40， 设乙的解析式为s乙＝pt，代入（1.5，20）， 得20， 解得p， 则s乙t， 当t＝3时，s甲＝80，s乙t＝40， 则s甲﹣s乙＝40， 则3h时，甲、乙两人相距40km， 故答案为：40． 【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•兰州月考）某度假酒店推出了甲、乙两种消费卡，设入店次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用y甲、y乙元关于入店次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若入住酒店15次，采用哪种方法比较划算？ 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入店次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入住酒店次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【解答】解：（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入店次数的函数表达式为： 甲卡：设y甲＝k1x， 由图象过点（5，100）， 得100＝5k1， 解得k1＝20， 所以y甲＝20x； 乙卡：设y乙＝k2x+100， 由图象过点（20，300）， 得300＝20k2+100， 解得k2＝10， 所以y乙＝10x+100． （2）联立y甲＝20x和y乙＝10x+100， 得20x＝10x+100， 解得x＝10， 即消费10次时，两种卡费用相同． （3）当x＝15时， y甲＝20×15＝300， y乙＝10×15+100＝250， 因为300＞250，所以采用乙卡比较划算． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 【作业 9】（2024春•江门校级期中）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）； 方案一：提供8000元赞助后，每张的票价为50元； 方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定． （1）分别求出方案一和方案二的函数关系式； （2）若购买180张票，选择哪个方案更省钱？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以分别求出方案一和方案二的函数关系式； （2）将x＝180代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的费用，然后比较大小即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 方案一：y与x的函数关系式为y＝50x+8000； 方案二：当0≤x≤100时，设y与x的函数关系式为y＝kx， ∵点（100，8000）在该函数图象上， ∴100k＝8000， 解得k＝80， ∴当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为y＝80x； 当x＞100时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b， ∵点（100，8000），（120，10000）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当x＞100时，y与x的函数关系式为y＝100x﹣2000， 由上可得，y与x的函数关系式为y； （2）当x＝180时， 方案一的花费为：y＝50×180+8000＝17000， 方案二的花费为：y＝100×180﹣2000＝16000， ∵17000＞16000， ∴购买180张票，选择方案二更省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 【作业 10】（2024•鄞州区模拟）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润≥46000元 良好方案 44000元＜月总利润＜46000元 合格方案 40000元＜月总利润≤44000元 （销售利润＝销售收入﹣成本） 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件．若0＜m≤400，则这m件产品的销售利润为 　30m 元．若400＜m≤800，则这m件产品的销售利润为 　（90m﹣29000）　 元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为 　（n2+130n）　 元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 【分析】任务一：①0＜m≤400，这m件产品的销售利润＝（定价﹣成本﹣礼品价格）×m； 400＜m≤800，这m件产品的销售利润为＝400×（定价﹣成本﹣礼品价格）+（定价﹣成本）×超过400的件数﹣5000； ②n件产品的销售利润＝（销售价格﹣成本）×销售量； 任务二：①800件产品的销售总利润＝线下销售400件的利润+线上销售400件的利润； ②设线上销售x件，则线下销售（800﹣x）件，根据线下销售的件数不超过400和超过400两种情况得到相应的二次函数，求得最大的值可设计出相应的方案． 【解答】解：任务一：①0＜m≤400，这m件产品的销售利润为：（190﹣100﹣60）m＝30m元， 400＜m≤800，这m件产品的销售利润为：30×400+（190﹣100）（m﹣400）﹣5000＝（90m﹣29000）元． 故答案为：30m，90m﹣29000； ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为：（n+230﹣100）nn2+130n； 故答案为：n2+130n； 任务二：①设销售总利润为W元． W＝30×400+（4002+130×400）＝44000元． 答：这800件产品的销售总利润为44000元； ②设线上销售x件，则线下销售（800﹣x）件． Ⅰ、800﹣x≤400． Wx2+130x+30（800﹣x） x2+100x+24000． ∴x400时，利润最大，为44000元，不符合题意． Ⅱ、800﹣x＞400． Wx2+130x+90×（800﹣x）﹣29000 x2+40x+43000． ∴当x160时，利润最大，为46200． ∴设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案． 【点评】本题考查二次函数的应用．得到超过400件的线下销售的销售利润是解决本题的难点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $