3.1-3.2 认识不等式和不等式的基本性质（知识解读）讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

3.1-3.2 认识不等式和不等式的基本性质（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型1 不等式的定义】 1 【题型2 不等式的性质】 2 【题型3 不等式的解集】 3 【题型·4·在数轴上表述不等式的解集】 4 【随堂检测】 4 知识点1 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫作不等式，例如： 等都是不等式。 （2）常见的不等号有5种：“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”。 【题型1 不等式的定义】 【例1】下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】下列式子不是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式 1-2】下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点2 不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果，那么 如果，那么 基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 ②在计算的时候符号方向容易忘记改变。 【题型2 不等式的性质】 【例2】若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，则下列式子一定成立的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点3 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫作解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 【题型3 不等式的解集】 【例3】若是某不等式的解，则该不等式可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【题型·4·在数轴上表述不等式的解集】 【例4】下面数轴上所表示的不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示为某不等式的解集，这个解集是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知某个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】如图所示，下列不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 3．如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） 日期：2024年6月1日  星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A． B． C． D． 4．如果，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，实数在数轴上的对应点分别为，则下列大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．x的与7的差不大于5，用不等式表示为___________． 9．如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围）_______． 10．若，则___________（填“”或“”）． 11．在，，，四个数中，______ 是不等式的解． 12．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1-3.2 认识不等式和不等式的基本性质（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型1 不等式的定义】 1 【题型2 不等式的性质】 3 【题型3 不等式的解集】 5 【题型·4·在数轴上表述不等式的解集】 6 【随堂检测】 7 知识点1 不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫作不等式，例如： 等都是不等式。 （2）常见的不等号有5种：“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”。 【题型1 不等式的定义】 【例1】下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】用不等号连接，表示不等关系的式子叫做不等式，据此逐一判断即可． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用不等号连接，是不等式； ∴不等式有①③④，共有个． 【变式1-1】下列式子不是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式是用不等号连接表示不等关系的式子． 【详解】解：ACD选项都使用不等号表示不等关系，是不等式． B选项是代数式，没有不等号连接不等关系，不是不等式． 【变式 1-2】下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题根据不等式的定义判断即可，不等式是用不等号（等）连接表示不等关系的式子，逐个统计符合定义的式子个数即可得到答案． 【详解】解：①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③是等式，不是不等式； ④是代数式，无不等关系，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ⑥，用不等号连接，是不等式； ∴ 不等式共有4个． 【变式1-3】给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：不等式有①；②；⑤，共3个． 知识点2 不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果，那么 如果，那么 基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 ②在计算的时候符号方向容易忘记改变。 【题型2 不等式的性质】 【例2】若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴，A选项正确． ，B选项错误． ，C选项错误． ，D选项错误． 【变式2-1】若，则下列式子一定成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质一一辨别即可． 【详解】选项A：∵，∴，即A成立； 选项B：∵，∴，即B不成立； 选项C：∵，∴，即C不成立； 选项D：∵，∴，即D不成立． 【变式2-2】已知，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断含字母的不等式是否恒成立，需考虑字母取0、负数的情况，结合不等式性质或举反例验证． 【详解】解：A. 当时，不成立，故A错误； B. 当时，，不成立，故B错误； C. 取，，满足，此时，不成立，故C错误； D. ∵ ， ∴ ，成立， ∴选项D符合题意． 【变式2-3】已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； B、不等式两边先同时乘以，再减，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； C、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； D、不等式两边同时乘以，不等号变号，得到，选项结论正确，符合题意. 知识点3 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫作解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 【题型3 不等式的解集】 【例3】若是某不等式的解，则该不等式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，在四个选项中，只能是不等式的解． 【变式3-1】以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 不等式的解为所有小于的数， 又∵ ， ∴ 是该不等式的解． 【变式3-2】，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项合并同类项，不等式两边同除以负数，改变不等号方向，求出的取值． 【详解】解：移项得，合并同类项得，可得． 【变式3-3】下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【题型·4·在数轴上表述不等式的解集】 【例4】下面数轴上所表示的不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在数轴上，表示的点是实心点，表示的点是空心点， ∴表示的不等式是． 【变式4-1】如图所示为某不等式的解集，这个解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由得． 【变式4-2】已知某个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】从数轴可知：不等式组的解集是． 【变式4-3】如图所示，下列不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：数轴表示． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的定义“用不等号连接的式子是不等式”逐项判断即可． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不是不等式，不符合题意； B．是用等号连接的等式，不是不等式； C．是用不等号连接的式子，符合不等式的定义，是不等式，符合题意； D．是用等号连接的等式，不是不等式，不符合题意． 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 3．如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） 日期：2024年6月1日  星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，据此写出即可． 【详解】解：最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，当天某一时刻的气温为，则的变化范围是 故选：D． 4．如果，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．如图，实数在数轴上的对应点分别为，则下列大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， ∴四个选项中，只有B选项中的式子正确，符合题意． 6．已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，根据不等式的解集即可解答，掌握不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值应该小于， 四个选项中只有小于， 故选：D． 7．不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：数轴上的折线从4开始向右延伸，且在4处是实心圆点， 则该不等式的解集为：． 8．x的与7的差不大于5，用不等式表示为___________． 【答案】 【分析】先表示出的，再表示出与的差，明确“不大于”的含义为小于等于，即可列出不等式． 【详解】解：由题意得． 9．如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围）_______． 【答案】 【分析】根据图像信息即可求解． 【详解】解：零件长度的取值范围是：, 即为：． 10．若，则___________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，从已知逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 11．在，，，四个数中，______ 是不等式的解． 【答案】6 【分析】移项，合并同类项得出不等式的解集即可得出答案． 【详解】解：， ， 在，，，四个数中，符合条件的只有， 即是不等式的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 12．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $