2.2-2.4 等腰三角形的性质定理和判定定理（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦初中数学等腰三角形与等边三角形的性质定理和判定定理，系统梳理等腰三角形的定义、“等边对等角”“三线合一”性质及“等角对等边”判定，延伸至等边三角形的概念、性质（三个角60°、三条对称轴）与判定（三角相等或一角60°的等腰三角形），构建从基础概念到性质应用再到判定推理的学习支架。 资料以11种题型（如定义应用、性质计算、格点图作图等）为核心，每个题型含典例及变式，结合思维导图呈现三角形关系，通过实际问题（如检测横梁水平）培养数学眼光，以推理证明（如性质与判定综合题）发展推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过随堂检测查漏补缺，提升几何直观与应用能力。

2.2-2.4 等腰三角形的性质定理和判定定理（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1·等腰三角形的定义)】 2 【题型·2.等边对等角】 3 【题型·3·等边三角形的性质】 3 【题型·4·三线合一】 4 【题型·5·根据等角对等边证明等腰三角形】 5 【题型·6·根据等角对等边证明边相等】 6 【题型·7.根据等角对等边求边长】 7 【题型·8·格点图中画等腰三角形】 8 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 9 【题型·10.等边三角形的判定】 10 【题型·11.等边三角形的判定和性质】 11 【随堂检测】 12 知识点1 等腰三角形的概念，性质和判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点2 等边三角形的概念，性质和判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型·1·等腰三角形的定义)】 【典例1】等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【变式1-2】已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【变式1-3】等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B．或 C． D． 【题型·2.等边对等角】 【典例2】在中，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，，点E在直线上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型·3·等边三角形的性质】 【典例3】将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知是等边三角形，点D在边上，，，若的高为4，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型·4·三线合一】 【典例4】工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【变式4-1】如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，的周长是，，平分交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【题型·5·根据等角对等边证明等腰三角形】 【典例5】一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【变式5-1】已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【变式5-2】下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【变式5-3】如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（       ）    A．1 B．5 C．9 D．10 【题型·6·根据等角对等边证明边相等】 【典例6】如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【变式6-1】如图，已知，点，分别对应点，，交于点，，若，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式 6-2】如图，上午8时，一艘船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达处，从，两点望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离为（   ） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．25海里 【变式6-3】如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【题型·7.根据等角对等边求边长】 【典例7】如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式7-1】如图所示，直线，直线分别与，相交于点A，B．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则线段的长为________ ． 【变式7-2】如图，点A，B和点C，D分别在一把直尺的两边上，连接，，平分，若，则______． 【变式7-3】如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 【题型·8·格点图中画等腰三角形】 【典例8】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【变式8-1】如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【变式8-2】如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【变式8-3】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 【典例9】如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式9-1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【变式9-2】如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【变式9-3】如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【题型·10.等边三角形的判定】 【典例10】在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式10-1】若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式10-2】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ___________． 【变式10-3】如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【题型·11.等边三角形的判定和性质】 【典例11】如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【变式11-1】如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求周长． 【变式11-2】如图，中，，点D在边上，以为边在右侧作等边，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式11-3】如图，，，三点共线，和均为等边三角形． (1)_____，试证：； (2)如图，与交于点，与交于点，连接， 求证：； 猜想与的位置关系，并说明理由． 随堂检测 【随堂检测】 1．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（     ） A．13 B．17 C．13或17 D．21 2．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰，，匠人在底边中点竖立柱，便能确保立柱与横梁互相垂直．其依据是（     ） A．等边对等角 B．三线合一 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 4．三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，，点在线段BC上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 9．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，则此时两点之间的距离是（    ） A．8 B．12 C．18 D．6 10．等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 11．如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 12．如图，在中，平分，，若，，则的周长是__________． 13．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件___________．（只需填上一个即可） 14．如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2-2.4 等腰三角形的性质定理和判定定理（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1·等腰三角形的定义)】 2 【题型·2.等边对等角】 4 【题型·3·等边三角形的性质】 5 【题型·4·三线合一】 8 【题型·5·根据等角对等边证明等腰三角形】 10 【题型·6·根据等角对等边证明边相等】 12 【题型·7.根据等角对等边求边长】 15 【题型·8·格点图中画等腰三角形】 17 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 20 【题型·10.等边三角形的判定】 24 【题型·11.等边三角形的判定和性质】 26 【随堂检测】 30 知识点1 等腰三角形的概念，性质和判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点2 等边三角形的概念，性质和判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型·1·等腰三角形的定义)】 【典例1】等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 【变式1-1】等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 【变式1-2】已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为底边长时，两腰长均为6， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形周长为； ②当3为腰长时，底边长为6， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 因此三角形的周长为15． 【变式1-3】等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，将边长为的边分别作为腰长和底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到底边长的所有可能结果． 【详解】解：情况：若边长为的边是等腰三角形的腰长； ∵周长为， ∴底边长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 情况：若边长为的边是等腰三角形的底边长，则腰长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 综上，等腰三角形的底边长为或． 【题型·2.等边对等角】 【典例2】在中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边对等角，结合三角形内角和为求解即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 【变式2-1】已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 【变式2-2】如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，一个底角为， ∴另一个底角也为， ∵三角形内角和为， ∴顶角． 【变式2-3】如图，，点E在直线上，连接，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等边对等角求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型·3·等边三角形的性质】 【典例3】将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出的度数，再利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式3-2】如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，理解平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵将边长为的等边沿边向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长 ， 故选B． 【变式3-3】如图，已知是等边三角形，点D在边上，，，若的高为4，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】该题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，连接，过点A作于点G，利用面积关系即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点G，如图， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型·4·三线合一】 【典例4】工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 【变式4-1】如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，即点到所在直线的距离是． 【变式4-2】如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 【变式4-3】如图，的周长是，，平分交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质．先根据三角形周长公式求出的长度，再利用等腰三角形顶角平分线平分底边的性质，计算得出的长度． 【详解】解：的周长是，， ； 又，平分， ． 故选：B． 【题型·5·根据等角对等边证明等腰三角形】 【典例5】一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式5-1】已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 【变式5-2】下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 【变式5-3】如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（       ）    A．1 B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据已知条件，可判断出和为等腰三角形，从而能够证明即可解决． 【详解】解：、分别平分、， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明． 【题型·6·根据等角对等边证明边相等】 【典例6】如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴的周长是， 故选：A． 【变式6-1】如图，已知，点，分别对应点，，交于点，，若，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定，由全等三角形的性质推出，，得到，因此，推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式 6-2】如图，上午8时，一艘船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达处，从，两点望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离为（   ） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．25海里 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出，再根据等角对等边即可求出，利用路程=速度×时间计算即可求出的长度，也就是海岛B与灯塔C相距的距离． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 答：海岛B与灯塔C相距30海里． 故选：C． 【变式6-3】如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，首先根据等角对等边得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【题型·7.根据等角对等边求边长】 【典例7】如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查等角对等边．根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【变式7-1】如图所示，直线，直线分别与，相交于点A，B．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则线段的长为________ ． 【答案】 【分析】由得到，根据作图步骤得到，进而得到，即可得到． 【详解】解：∵， ， 根据作图步骤可知平分， ， ， ． 【变式7-2】如图，点A，B和点C，D分别在一把直尺的两边上，连接，，平分，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形． 根据直尺两边平行可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：由已知， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-3】如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定． 根据角平分线得到，再由平行线的性质得到，然后等量代换，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵平分交于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【题型·8·格点图中画等腰三角形】 【典例8】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 【变式8-1】如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 【变式8-2】如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 【变式8-3】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 【典例9】如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，F是的中点， ． 【变式9-1】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． 【详解】（1）证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； （2）解：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 【变式9-2】如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． (1)先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得：，即可解答； (2)利用(1)的结论可得：，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式9-3】如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 【题型·10.等边三角形的判定】 【典例10】在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 【变式10-1】若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查平方的性质，等边三角形的判定，熟记平方的性质是解题的关键． 由平方和为零可得，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴，， 即且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A 【变式10-2】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． 【变式10-3】如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【题型·11.等边三角形的判定和性质】 【典例11】如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式11-1】如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求周长． 【答案】(1)证明：，点是边上的中点， 平分， 又，， ； (2) 【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质可得平分，再根据角平分线的性质即可求证； 先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， 为等边三角形， ∵点是边上的中点，， ， ， 的周长为． 【变式11-2】如图，中，，点D在边上，以为边在右侧作等边，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】（1）先得到是等边三角形，然后由是等边三角形，利用等边三角形的性质，结合即可证明； （2）根据全等得到，然后证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵等边中， ∴， ∴， ∴． 【变式11-3】如图，，，三点共线，和均为等边三角形． (1)_____，试证：； (2)如图，与交于点，与交于点，连接， 求证：； 猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)见解析； ，见解析； 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，所以，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（）可知，， 又∵， ∴， ∴； 解：猜想：，理由： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 随堂检测 【随堂检测】 1．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（     ） A．13 B．17 C．13或17 D．21 【答案】B 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算符合条件的周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为． 2．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 3．如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰，，匠人在底边中点竖立柱，便能确保立柱与横梁互相垂直．其依据是（     ） A．等边对等角 B．三线合一 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】B 【详解】解：， 是等腰三角形， 是底边的中点， 是等腰底边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质（底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合）可得， 其依据是三线合一． 4．三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，则，，由 是等边三角形得，故． 【详解】解：如图，过点A作，则， ， ， 是等边三角形， ， ． 5．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的定义得到，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴． 6．如图，，点在线段BC上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而求出，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 7．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 8．如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴，，故B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D 9．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，则此时两点之间的距离是（    ） A．8 B．12 C．18 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据题意，易得为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，为等边三角形， ∴，即两点之间的距离是18； 故选C． 10．等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 【答案】70 【分析】已知等腰的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理即可计算底角的度数． 【详解】解：∵是等腰三角形，是顶角， ∴， ∵三角形内角和为，， ∴． 11．如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． 12．如图，在中，平分，，若，，则的周长是__________． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质．根据平行线的性质和等量代换得到，则，进一步即可求出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 的周长， 故答案为：6． 13．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件___________．（只需填上一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或． 14．如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）由三角形内角和可得，然后根据（1）可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $