专题11一元一次不等式及其应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦一元一次不等式及其应用核心知识点，从现实情境中的不等关系出发，系统梳理不等式的概念、性质（含乘除负数变号规则）、一元一次不等式的判定与解法（五步解题及关键步骤），并延伸至实际问题与几何问题的应用，构建完整的知识学习支架。 该资料特色鲜明，通过重点辨析方程与不等式的运算差异培养数学思维，借助数轴表示解集发展几何直观（数学眼光），结合12种分层题型（含实际与几何应用）构建模型意识（数学语言）。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过错题分析与分层练习查漏补缺，提升学习效果。

专题11一元一次不等式及其应用精讲学案 核心立意 从现实情境中的不等关系出发，认识不等式，理解不等式的三条基本性质；掌握一元一次不等式的判定方法、求解步骤以及解集的数轴表示；建立不等关系的数学模型，运用一元一次不等式解决实际问题。重点区分方程与不等式的运算差异，发展数形结合与数学建模的思维。 不等式的基本概念 五种不等号：>、<、、、，理解各自含义，能够根据文字描述写出不等式。 不等式的解：使不等式成立的某一个未知数的值。 不等式的解集：能使不等式成立的所有解组成的范围。 在数轴上表示解集 空心圆圈：不包含该端点，对应 >、<。 实心圆点：包含该端点，对应、。 绘制规则：大于向右画，小于向左画。 不等式的基本性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 注意：不等式的两边不能同时乘以 0。 一元一次不等式的判定 必须同时满足下面 3 个条件： ① 只含有 一个 未知数； ② 未知数的次数是 1； ③ 不等号的左右两边都是 整式。 一元一次不等式的解法 解题步骤：去分母去括号 移项 合并同类项 系数化为1。 最关键的一步：进行系数化为 1时，如果乘、除的是负数，一定要改变不等号的方向。 一元一次不等式的实际应用 表示不等关系的常用词语：至多、至少、不超过、不少于、不大于、不小于。 解题流程：审题 → 设未知数 → 列出不等式 → 求解不等式 → 根据实际意义选取合适的整数解 → 规范作答。 重点辨析 1. 方程与不等式：等式两边乘、除任意非零数，等号不变；不等式两边乘、除负数，不等号必须改变方向。这是二者最核心的区别。 2. 实心点与空心圈：有等号（、）用实心点；没有等号（>,<）用空心圈。不要只机械记忆符号，要理解端点是否可取。 3. 解与解集：解是一个数值；解集是一个取值范围。不能把解集写成单一的一个数。 4. 列方程还是列不等式：出现“恰好、等于”列方程；出现“至多、至少、不超过”等描述，列不等式。 1. 不等式两边同时乘（或除以）负数，忘记改变不等号的方向。 2. 数轴表示解集时，实心点、空心圈混用；解集的左右方向画反。 3. 去分母时，不含分母的常数项漏乘最简公分母。 4. 移项时忘记变号，受到解一元一次方程的思维定式干扰。 5. 审题失误，把不等关系误认为等量关系，错误列出一元一次方程。 6. 解决实际问题时，忽略现实约束（人数、物品个数必须是正整数），直接使用解集作答，没有筛选合适的解。 题型 考察方向 难度 题型一 不等式的定义 ★★ 题型二 不等式的性质 ★★★ 题型三 一元一次不等式的定义 ★★★ 题型四 不等式的解集 ★ 题型五 求一元一次不等式的解集 ★ 题型六 求一元一次不等式的整数解 ★ 题型七 在数轴上表示不等式的解集 ★★ 题型八 求一元一次不等式解的最值 ★★ 题型九 解|x|≥a型的不等式 ★★★ 题型十 列一元一次不等式 ★★★★ 题型十一 用一元一次不等式解决实际问题 ★★★★ 题型十二 用一元一次不等式解决几何问题 ★★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：不等式的定义 解题思路：①看式子有没有不等号：>、<、、、；②有任意一个不等号就是不等式；③只有等号的是等式，不是不等式；④不等式可以没有未知数。 1．“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 2．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最低气温是，最高气温是， ． 3．下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义，判断给出的每个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用等号连接，是等式，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 因此不等式共有3个． 题型二：不等式的性质 解题思路：①两边加、减同一个数或整式，不等号方向不变；②两边乘、除以正数，不等号方向不变；③两边乘、除以负数，一定要改变不等号方向；④不要两边同时乘 0。 4．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴，A选项正确． ，B选项错误． ，C选项错误． ，D选项错误． 5．设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 【答案】A 【分析】设△、○、□的质量为、、，根据图形，可列出不等式和等式，由此可将质量从大到小排列． 【详解】解：设△、○、□的质量为a、b、c， 由图形可得，， 由①得， 由②得， ∵， ∴， ∴， 故可得， 所以这三种物体按质量从大到小的排列顺序为□△○． 6．下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴两边同除以，得，变形正确； B、∵的符号未确定，若，则，且时分式无意义，∴变形错误； C、∵当时，，∴变形错误； D、∵的符号未确定，当时，不成立，∴变形错误． 题型三：一元一次不等式的定义 解题思路：①只含一个未知数；②未知数次数是 1；③不等号两边都是整式；④未知数不能在分母里；⑤不能有 x2、|x|。 7．下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式，逐一判断选项即可． 【详解】根据一元一次不等式的定义判断： 选项A、 中没有未知数，不符合定义，A错误； 选项B、 中未知数的最高次数为2，不符合定义， B错误； 选项C、 只含有1个未知数，且的次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义， C正确； 选项D、 中含有2个未知数，不符合定义，D错误． 8．若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 9．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，可得未知数的次数为，且的系数不为，据此列关系式求解即可. 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且， ∵， ∴， 或， ∵， ∴， ， 故答案为 ：. 题型四：不等式的解集 解题思路：①解是一个满足条件的数；②解集是所有解组成的范围；③检验：把数代入不等式，看是否成立；④不要把一个解当成解集。 10．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的解的定义，推出的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴将代入不等式，得，即， ∴符合条件的值可以是．（答案不唯一） 11．若代数式有意义，则的取值范围是___________________． 【答案】 且 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的底数不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且． 12．若不等式只有三个负整数解，则的取值范围为______________． 【答案】 【分析】根据不等式只有三个负整数解，先确定出对应的三个负整数，再推导的取值范围． 【详解】解：∵不等式只有三个负整数解， ∴满足条件的三个负整数为， 若，则负整数解会包含，共四个负整数解，不符合要求； 若，则负整数解只有两个，不符合要求； 因此的取值范围是． 13．对于任意的，恒成立，则的取值范围为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】分类讨论求出不等式的解集，再根据对于任意的，恒成立，即可列出关于a的不等式，解出a即可． 【详解】解：由，得， 当时，不等式的解集为， 对于任意的，恒成立， ， 解得，； 当时，不等式无解，舍去； 当时，不等式的解集为， 对于任意的，恒成立， ， 解得，（与矛盾，舍去）； 综上，． 故选：B． 【点睛】本题考查解不等式和不等式的解集的应用．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 题型五：求一元一次不等式的解集 解题思路：①去分母：每一项都乘公分母，别漏乘常数项；②去括号：括号前是负号，里面各项都变号；③移项：移项要变号；④合并同类项；⑤系数化为 1：除以负数时，翻转不等号。 14．不等式的解集为_____________． 【答案】/ 【详解】解： 移项得， 合并同类项得． 15．若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先用表示出不等式的解集，再代入题目条件即可得到的值． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 不等式的解集为， ． 16．关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据已知解集列一元一次方程，即可求解的值． 【详解】解：， 去分母，两边同乘得：， 去括号得：， 移项整理得：， 两边同乘，不等号方向改变，得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 17．若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质先计算不等式的解集，再计算不等式得到，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， ， 去分母得，， 解得，， ∵不等式的解都能使关于x的不等式成立， ∴， 解得，． 题型六：求一元一次不等式的整数解 解题思路：①先求出不等式的解集；②看清要求：整数、正整数、非负整数等；③在解集里找出符合条件的整数；④有等号可取边界，无等号不可取；⑤不要漏找、多找整数。 18．不等式的负整数解有_____个． 【答案】2 【分析】先按一元一次不等式的解法求出解集，再找出解集范围内的负整数，统计其个数即可. 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的负整数解为，，共个. 19．不等式的最小整数解为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解： ∵大于的最小整数为， 因此不等式的最小整数解为 ． 20．不等式的非负整数解有_____个． 【答案】3 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集内的所有非负整数，统计个数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 满足条件的非负整数为 0，1，2， 因此非负整数解共有个． 21．若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的正整数解个数确定最大正整数解为6，结合不等号方向推导的取值范围． 【详解】解：解不等式，得 ， ∵该不等式的正整数解有6个， ∴正整数解为， ∴ ． 题型七：在数轴上表示不等式的解集 解题思路：①找到分界点；②画实心点（包含这个数）；③>、< 画空心圈（不包含这个数）；④大于向右画，小于向左画；⑤射线要从点向外延伸。 22．一个关于x的一元一次不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是________． 【答案】 【详解】解：根据数轴可得：该不等式组的解集是． 23．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈，进行判断即可． 【详解】解：不等式 表示 的取值在 的右侧，且不包含 . 在数轴上表示时， 处应画空心圆圈，折线向右延伸， A选项表示 ， B选项表示 ， C选项表示 ， D选项表示 ． 24．已知关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为______． 【答案】 【分析】先求解不等式，通过移项得到用表示的的解集,观察数轴给出的解集，确定该不等式的实际解集，因为两个解集表示的是同一个集合，所以两个解集的边界值相等，建立关于的方程，求解得到的值． 【详解】解：移项，可得， 观察数轴：数轴上实心点在处，线条向左延伸，说明不等式的解集为， ∴， 解得． 25．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得：， ∴这个不等式的解集在数轴上表示为： 题型八：求一元一次不等式解的最值 解题思路：①先求出解集；②实数范围内大多没有最值；③初中一般求整数最值；④边界可取，边界值就是最值；⑤边界不可取，找离它最近的整数；⑥分清求最大值还是最小值。 26．若的最小值为a，的最大值为b，则______． 【答案】 【分析】先根据不等式的取值范围，确定该范围内的最小值得到的值， 再根据不等式的取值范围，确定该范围内的最大值得到的值，最后将得到的和相乘，计算的结果． 【详解】解：∵，能取到的最小值为， ∴， ∵，能取到的最大值为， ∴， ∴． 27．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 28．现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 【答案】 【分析】根据给定的新运算规则列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：，且， ，解得， 的最大值为2． 29．已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 题型九：解|x|≥a型的不等式 解题思路：①若 a>0，则 xa 或 x-a；②若a 0，解集是全体实数；③只能用“或”，不能用“且”；④两个范围都要写全。 30．若的值小于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据题意列出绝对值不等式，再利用绝对值的性质将绝对值不等式转化为连写形式的一元一次不等式，根据不等式的基本性质求解得到的取值范围． 【详解】解：根据题意得 则， 解得， 故答案为：． 31．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 32．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 33．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 题型十：列一元一次不等式 解题思路：①圈出关键词：至少、至多、不少于、不超过；②设未知数；③把文字转成不等号；④分清 和 >、<；⑤不要写成等号。 34．“与的3倍的和不小于5”，根据题意列出的不等式是__________． 【答案】/ 【分析】拆解题目语句，先得到对应代数式，再根据“不小于”的含义列不等式． 【详解】解：由题意得． 35．如图，天平左边的苹果质量为克，右边的砝码质量为200克，则的取值范围可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据天平向左倾斜列不等式即可． 【详解】解：∵天平向左倾斜， ∴苹果质量为克大于200克，即． 36．一辆汽车在高速公路上匀速行驶，车速为，时汽车距前方的地．请添加一个条件：________，使所列不等式为． 【答案】汽车要在之前到达地 【分析】不等式中，是汽车小时行驶的路程，不等式表示汽车小时行驶路程超过，即汽车应在之前到达地． 【详解】解：已知车速为，不等式中是汽车行驶小时的路程； 从经过小时，对应时间为； 所列不等式为，即小时行驶路程超过初始距地的距离， 汽车要在之前到达地． 37．学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列不等式即可 【详解】解：∵分钟， ∴总用时需小于8分钟， ∵步行路程为米， ∴小跑路程为米， ∴小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， ∴所列不等式为 ． 题型十一：用一元一次不等式解决实际问题 解题思路：①读题，找出不等关系，别当成等量关系；②设未知数，不要带上“至少、至多”；③列出不等式；④求出解集；⑤结合实际取值（人数、物品取正整数）；⑥写出答语。 38．为进一步做好2026年我县预防学生溺水工作，贯彻落实省市防溺水多部门联动部署精神要求，维护学生生命安全，某学校准备用1000元钱购买如图所示的A，B两种海报进行预防学生溺水宣传，已知每张A种海报8元，每张B种海报10元，该学校买了60张A种海报，那么最多还可以买_________张B种海报． 【答案】 【分析】设还可以购买x张B种海报，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：设最多还可以买x张B种海报， 依题意得：， 解得：． ∴最多还可以买52张B种海报． 39．某款智能语音机器人的进价为元，商店按进价提高后标价，为让利顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率不低于，设商店将这批机器人按标价的折销售，则可列不等式__________． 【答案】 【分析】明确进价、标价、售价、利润率之间的不等关系，根据利润率不低于的要求列不等式即可． 【详解】解：进价为元，商店按进价提高后标价， 标价为元， 机器人按标价的折销售， 实际售价为元， 要求利润率不低于，即实际售价不低于进价的倍， 可列不等式． 40．某森林公园门票每张元，只能一次性使用，在保留此种方法的基础上，公园推出、、三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下： 类年票：每张元，持票入园无需再购票； 类年票：每张元，持票入园时须再购票，但每张2元； 类年票：每张元，持票入园时须再购票，但每张3元． 小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了类年票，小华选择了类年票，以下说法不正确的个数是（   ） ①小军的年入园需求可能是次； ②小华的年入园次数需求多于小军； ③小华的年入园需求可能是次；④小华的年入园次数需求少于小军． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是列出不等式求解．分类计论，设入园次数为x次，则购A类票所需费用为元；购B类票所需费用为（）元；购C类票所需费用为（）元，通过计算分别算出当x为多少时哪种购票方式更合算，再对选项逐一判断即可． 【详解】解：设入园次数为x次， 则购A类票所需费用为元； 购B类票所需费用为（）元； 购C类票所需费用为（）元， 则依题意得： 当时，即时，选A种购票方式更合算； 当时，A，B两种购票方式一样； 当且时，即时，选B种购票方式更合算； 当时，B，C两种购票方式一样； 当时，即时，选C种购票方式更合算， ∵小军选择了类年票， ∴小军的入园次一定小于等于次，故①错误； ∵小华选择了类年票， ∴小华的入园次数一定大于或等于次，故③错误； ∴小华的入园次数一定大于小军的入园次数，故②正确，④错误； ∴说法不正确的个数是3个， 故选：C． 题型十二：用一元一次不等式解决几何问题 解题思路：①找出几何规则（三边关系、边长>0等）；②根据规则写出不等关系；③设未知数，列出不等式；④求出解集；⑤舍去边长、角度为负的解；⑥写出答案。 41．如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：由三角形内角和可得：， ∵， ∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有； 当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键． 42．长方形的周长小于，长与宽都是质数，且长与宽的和是奇数，则该长方形的面积是________． 【答案】6或10 【分析】设长方形的长为，宽为，则，先求出，再根据奇数和质数的性质求出，进而可得或，利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则， 由题意得：，即， ∵长与宽的和是奇数， ∴中一定有一个是奇数，一个是偶数， 又∵长与宽都是质数，且， ∴（理由：质数中只有是偶数）， ∴， 解得， 又∵是质数， ∴或， 当时，该长方形的面积是； 当时，该长方形的面积是； 综上，该长方形的面积是或． 43．若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（     ） A．直角三角形； B．等腰三角形； C．直角三角形； D．等腰三角形； 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质判断三角形形状，再根据三角形三边关系求出周长的取值范围，最终得到正确选项 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴，， ∴是等腰三角形，排除A、C选项； 设，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得 即 三角形周长，变形得 将代入得，即 ∴是等腰三角形， 解答题 1．在通过桥洞时，我们往往会看到如图（1）所示的标志，它表示禁止车货总体外廓高度超过标志所示数值的车辆通行．在通过桥面时，我们往往会看到如图（2）所示的标志，它表示禁止装载总质量超过标志所示数值的车辆通行．请用不等式分别表示可通过该桥洞车辆的车货总体外廓高度x（单位：m）的范围，以及可通过该桥面车辆的装载总质量y（单位：t）的范围． 【答案】 车货总体外廓高度范围是，装载总质量范围是． 【分析】利用已知图表直接得出通过该桥洞的车货总体外廓高度和通过该桥面车辆的装载总质量的取值范围． 【详解】解：由题意可得：通过该桥洞的车货总体外廓高度的取值范围是． 通过该桥面车辆的装载总质量的取值范围是． 2．已知实数x，y满足． (1)因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； (2)已知实数z，k，满足，且．求证：； (3)在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得． ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得， ； (3)，， 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）根据不等式的性质进行证明即可； （3）由（2）得，且k，x均为整数，从而得出，即可得出，或，，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 在不等式两边同时乘以正数得：； （2）略 （3）解：由（2）得，且k，x均为整数， 为整数， ． ，；，． ①当，时， ， ，即， ，且z，y都是整数， ， ，故此种情况不成立，舍去； ②当，时， ， ，即， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，，，． 3．解下列不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可； （2）求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 解集在数轴上表示略． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解集在数轴上表示略． 4．已知整式的值为． (1)当取何值时，的取值范围如图所示？ (2)若的值是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图列出不等式求出取值范围即可； （2）解不等式，求出最小整数解，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得， ∴当时，P的取值范围如图所示． （2）解：解不等式，得， ∴满足条件的最小整数解为，即P的值为4， ∴当时，． 5．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金4320元，学校至少要购进多少个甲种书柜？ 【答案】(1)甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元 (2)8个 【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个； 由题意得：， 解得：， 答：学校至少要购进个甲种书柜． 6．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 【答案】(1)1 (2)①；②，， (3)，， 【分析】（1）先根据路程=速度时间求出的长度，然后利用已知条件即可求出的长度． （2）先根据的取值范围分别判断点的位置，画出，根据面积法利用即可表示出每种情况对应的面积． （3）将点分三种情况讨论，分别是到达之前，到达返回未到达点时，到达终点时，根据三种情况分别列不等式，求出对应解集即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． （2）解：①当点在上运动时，点运动的路程为， ， 四边形为长方形， ， ． ②当时，点在上，如图所示，则， 的高和的长度相等，即是4， ． 当时，点在线段上，如图所示， 则，， 是中点，为长方形，， ， ， 当时，点在线段上，如图所示， 则 ，， ． （3）解：比先出发秒，的速度为每秒3个单位， 的路程为． ①当点未到达点时，且点未到达点时，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，则， ， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ②当点到达点返回时还没有到达点，且点还没有到达点，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，，， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ③当点到达点返回到点时，且点未到达，如图所示， 由图可知，， ， ， ， ． 当点到达点返回到点时，且点到达时，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次不等式及其应用精讲学案 核心立意 从现实情境中的不等关系出发，认识不等式，理解不等式的三条基本性质；掌握一元一次不等式的判定方法、求解步骤以及解集的数轴表示；建立不等关系的数学模型，运用一元一次不等式解决实际问题。重点区分方程与不等式的运算差异，发展数形结合与数学建模的思维。 不等式的基本概念 五种不等号：>、<、、、，理解各自含义，能够根据文字描述写出不等式。 不等式的解：使不等式成立的某一个未知数的值。 不等式的解集：能使不等式成立的所有解组成的范围。 在数轴上表示解集 空心圆圈：不包含该端点，对应 >、<。 实心圆点：包含该端点，对应、。 绘制规则：大于向右画，小于向左画。 不等式的基本性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 注意：不等式的两边不能同时乘以 0。 一元一次不等式的判定 必须同时满足下面 3 个条件： ① 只含有 一个 未知数； ② 未知数的次数是 1； ③ 不等号的左右两边都是 整式。 一元一次不等式的解法 解题步骤：去分母去括号 移项 合并同类项 系数化为1。 最关键的一步：进行系数化为 1时，如果乘、除的是负数，一定要改变不等号的方向。 一元一次不等式的实际应用 表示不等关系的常用词语：至多、至少、不超过、不少于、不大于、不小于。 解题流程：审题 → 设未知数 → 列出不等式 → 求解不等式 → 根据实际意义选取合适的整数解 → 规范作答。 重点辨析 1. 方程与不等式：等式两边乘、除任意非零数，等号不变；不等式两边乘、除负数，不等号必须改变方向。这是二者最核心的区别。 2. 实心点与空心圈：有等号（、）用实心点；没有等号（>,<）用空心圈。不要只机械记忆符号，要理解端点是否可取。 3. 解与解集：解是一个数值；解集是一个取值范围。不能把解集写成单一的一个数。 4. 列方程还是列不等式：出现“恰好、等于”列方程；出现“至多、至少、不超过”等描述，列不等式。 1. 不等式两边同时乘（或除以）负数，忘记改变不等号的方向。 2. 数轴表示解集时，实心点、空心圈混用；解集的左右方向画反。 3. 去分母时，不含分母的常数项漏乘最简公分母。 4. 移项时忘记变号，受到解一元一次方程的思维定式干扰。 5. 审题失误，把不等关系误认为等量关系，错误列出一元一次方程。 6. 解决实际问题时，忽略现实约束（人数、物品个数必须是正整数），直接使用解集作答，没有筛选合适的解。 题型 考察方向 难度 题型一 不等式的定义 ★★ 题型二 不等式的性质 ★★★ 题型三 一元一次不等式的定义 ★★★ 题型四 不等式的解集 ★ 题型五 求一元一次不等式的解集 ★ 题型六 求一元一次不等式的整数解 ★ 题型七 在数轴上表示不等式的解集 ★★ 题型八 求一元一次不等式解的最值 ★★ 题型九 解|x|≥a型的不等式 ★★★ 题型十 列一元一次不等式 ★★★★ 题型十一 用一元一次不等式解决实际问题 ★★★★ 题型十二 用一元一次不等式解决几何问题 ★★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：不等式的定义 解题思路：①看式子有没有不等号：>、<、、、；②有任意一个不等号就是不等式；③只有等号的是等式，不是不等式；④不等式可以没有未知数。 1．“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 2．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 3．下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：不等式的性质 解题思路：①两边加、减同一个数或整式，不等号方向不变；②两边乘、除以正数，不等号方向不变；③两边乘、除以负数，一定要改变不等号方向；④不要两边同时乘 0。 4．若，则下列不等式中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 6．下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：一元一次不等式的定义 解题思路：①只含一个未知数；②未知数次数是 1；③不等号两边都是整式；④未知数不能在分母里；⑤不能有 x2、|x|。 7．下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 8．若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 9．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 题型四：不等式的解集 解题思路：①解是一个满足条件的数；②解集是所有解组成的范围；③检验：把数代入不等式，看是否成立；④不要把一个解当成解集。 10．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 11．若代数式有意义，则的取值范围是___________________． 12．若不等式只有三个负整数解，则的取值范围为______________． 13．对于任意的，恒成立，则的取值范围为（     ） A．或 B． C．或 D． 题型五：求一元一次不等式的解集 解题思路：①去分母：每一项都乘公分母，别漏乘常数项；②去括号：括号前是负号，里面各项都变号；③移项：移项要变号；④合并同类项；⑤系数化为 1：除以负数时，翻转不等号。 14．不等式的解集为_____________． 15．若不等式的解集为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 16．关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 17．若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 题型六：求一元一次不等式的整数解 解题思路：①先求出不等式的解集；②看清要求：整数、正整数、非负整数等；③在解集里找出符合条件的整数；④有等号可取边界，无等号不可取；⑤不要漏找、多找整数。 18．不等式的负整数解有_____个． 19．不等式的最小整数解为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 20．不等式的非负整数解有_____个． 21．若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型七：在数轴上表示不等式的解集 解题思路：①找到分界点；②画实心点（包含这个数）；③>、< 画空心圈（不包含这个数）；④大于向右画，小于向左画；⑤射线要从点向外延伸。 22．一个关于x的一元一次不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是________． 23．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A．B． C．D． 24．已知关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为______． 25．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型八：求一元一次不等式解的最值 解题思路：①先求出解集；②实数范围内大多没有最值；③初中一般求整数最值；④边界可取，边界值就是最值；⑤边界不可取，找离它最近的整数；⑥分清求最大值还是最小值。 26．若的最小值为a，的最大值为b，则______． 27．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 28．现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 29．已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 题型九：解|x|≥a型的不等式 解题思路：①若 a>0，则 xa 或 x-a；②若a 0，解集是全体实数；③只能用“或”，不能用“且”；④两个范围都要写全。 30．若的值小于，则的取值范围是________． 31．若，则（   ） A． B． C． D． 32．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 33．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 题型十：列一元一次不等式 解题思路：①圈出关键词：至少、至多、不少于、不超过；②设未知数；③把文字转成不等号；④分清 和 >、<；⑤不要写成等号。 34．“与的3倍的和不小于5”，根据题意列出的不等式是__________． 35．如图，天平左边的苹果质量为克，右边的砝码质量为200克，则的取值范围可表示为（     ） A． B． C． D． 36．一辆汽车在高速公路上匀速行驶，车速为，时汽车距前方的地．请添加一个条件：________，使所列不等式为． 37．学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 题型十一：用一元一次不等式解决实际问题 解题思路：①读题，找出不等关系，别当成等量关系；②设未知数，不要带上“至少、至多”；③列出不等式；④求出解集；⑤结合实际取值（人数、物品取正整数）；⑥写出答语。 38．为进一步做好2026年我县预防学生溺水工作，贯彻落实省市防溺水多部门联动部署精神要求，维护学生生命安全，某学校准备用1000元钱购买如图所示的A，B两种海报进行预防学生溺水宣传，已知每张A种海报8元，每张B种海报10元，该学校买了60张A种海报，那么最多还可以买_________张B种海报． 39．某款智能语音机器人的进价为元，商店按进价提高后标价，为让利顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率不低于，设商店将这批机器人按标价的折销售，则可列不等式__________． 40．某森林公园门票每张元，只能一次性使用，在保留此种方法的基础上，公园推出、、三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下： 类年票：每张元，持票入园无需再购票； 类年票：每张元，持票入园时须再购票，但每张2元； 类年票：每张元，持票入园时须再购票，但每张3元． 小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了类年票，小华选择了类年票，以下说法不正确的个数是（   ） ①小军的年入园需求可能是次； ②小华的年入园次数需求多于小军； ③小华的年入园需求可能是次；④小华的年入园次数需求少于小军． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十二：用一元一次不等式解决几何问题 解题思路：①找出几何规则（三边关系、边长>0等）；②根据规则写出不等关系；③设未知数，列出不等式；④求出解集；⑤舍去边长、角度为负的解；⑥写出答案。 41．如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 42．长方形的周长小于，长与宽都是质数，且长与宽的和是奇数，则该长方形的面积是________． 43．若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（     ） A．直角三角形； B．等腰三角形； C．直角三角形； D．等腰三角形； 解答题 1．在通过桥洞时，我们往往会看到如图（1）所示的标志，它表示禁止车货总体外廓高度超过标志所示数值的车辆通行．在通过桥面时，我们往往会看到如图（2）所示的标志，它表示禁止装载总质量超过标志所示数值的车辆通行．请用不等式分别表示可通过该桥洞车辆的车货总体外廓高度x（单位：m）的范围，以及可通过该桥面车辆的装载总质量y（单位：t）的范围． 2．已知实数x，y满足． (1)因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； (2)已知实数z，k，满足，且．求证：； (3)在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 3．解下列不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 4．已知整式的值为． (1)当取何值时，的取值范围如图所示？ (2)若的值是不等式的最小整数解，求的值． 5．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金4320元，学校至少要购进多少个甲种书柜？ 6．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $