4.4.1对数函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.1　对数函数的概念 第四章　4.4　对数函数 索引 课时精练 一、对数函数的概念 二、求对数型函数的定义域 三、对数函数模型的应用 课堂达标 内容索引 对数函数的概念 一 探究 将y=2x化为对数式得到什么结果?根据这一结果,对于区间(0,+∞)内的每一个y的值,是否都有唯一的实数x与之对应?x能否看作是关于y的函数? 提示　x=log2y, 任意y∈(0,+∞),都有唯一的x对应,x是关于y的函数. 4 一般地,函数y=_____________ (a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是________________. 知识梳理 logax (0,+∞) 5 在对数函数的定义表达式y=logax(a>0,且a≠1)中,logax前边的系数必须是1,自变量x就是真数,否则就不是对数函数. 温馨提示 6 (1)下列函数是对数函数的是 A.y=lo(-x)(x<0) B.y=2log4(x-1)(x>1) C.y=ln x(x>0) D.y=lox(x>0,a是常数) 例1 √ 对于A,真数是-x,故A不是对数函数; 对于B,2log4(x-1)的系数为2,且真数是x-1, 故B不是对数函数; 对于C,易知③是对数函数; 对于D,底数a2+a不一定大于0且可能等于1,故D不一定是对数函数. 7 (2)设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()=____________.  - 设对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1). 由f()=-,得loga=-. 即loga2=-,则a=, 所以f(x)=lox, 故f()=lo=-. 8 判断一个函数是否为对数函数的依据 (1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0,a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数; (4)定义域为(0,+∞). 思维升华 9 (1)下列函数是对数函数的是 A.y=loga(5+x)(a>0且a≠1) B.y=lox C.y=log3(-x) D.y=logx(x>0且x≠1) 训练1 √ A和C中自变量不是x,所以不是对数函数,D中底数是x,不是常数;B符合对数函数的特征,所以是对数函数. 10 (2)若函数y=logax+a2-3a+2为对数函数,则a=____________.  2 函数y=logax+a2-3a+2为对数函数, 所以a2-3a+2=0,则a=1(舍去)或a=2. 11 求对数型函数的定义域 二 12 (链接教材P130例1)求下列函数的定义域: (1)f(x)=lg(x-2)+;(2)f(x)=log(x+1)(16-4x). 例2 (1)要使函数有意义,需满足 解得x>2且x≠3. 所以函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). (2)要使函数有意义,需满足 解得-1<x<0或0<x<4.所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,4). 13 思维升华 1.求含对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1. 2.若对数出现在分母上时,真数大于0且不等于1. 14 函数y=的定义域是 A.(0,1)∪(1,2) B.[0,2) C.(0,2] D.[0,1)∪(1,2) √ 训练2 要使函数有意义,满足 解之得0≤x<2,且x≠1. 所以函数的定义域是[0,1)∪(1,2). 15 对数函数模型的应用 三 16 (链接教材P131例2)某化工厂生产一种溶液,初时含杂质为1,每过滤一次可使杂质含量减少,设过滤y次后杂质含量为x. (1)求y关于x的函数解析式. 例3 由题意得x=,y∈[0,+∞), 即x=,x∈(0,1]. 所以可得y=lox,x∈(0,1]. (2)要使产品达到市场要求,杂质含量不能超过,则至少应过滤多少次? (lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 令x=,则y=lo=≈≈11. 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求. 18 思维升华 1.解决此类问题时,应根据条件建立数学模型,先利用指数式和对数式的互化转化为对数式,再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值. 2.根据实际问题确定自变量的取值范围. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的解析式; 训练3 由题意知y= 20 (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 由题意知1.5+2log5(x-9)=5.5, 则log5(x-9)=2,∴x-9=52,得x=34. ∴老江的销售利润是34万元. 21 【课堂达标】 1.(多选)下列函数是对数函数的为 A.y=log3(x+1) B.y=logπx C.y=lox-1 D.y=-ln x √ √ 只有y=logπx与y=-ln x=lox符合对数函数的定义. 2 3 4 1 2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释,假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过y天之后,你的数学水平x与y之间的函数关系式是 A.y=log1.05x B.y=log1.005x C.y=log0.95x D.y=log0.995x √ 由题意得x=(1+5‰)y=1.005y,化为对数函数得y=log1.005x. 2 3 4 1 3.函数y=的定义域为____________.  由得x>-1. ∴函数的定义域为(-1,+∞). (-1,+∞) 2 3 4 1 4.若对数函数f(x)=logax的图象过点(2,1),则f(x)=__________,f(8)=____________.  log2x 3 依题意知1=loga2,所以a=2. 所以f(x)=log2x,故f(8)=log28=3. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.(多选)下列函数表达式中,不是对数函数的有 A.y=logx(2x) B.y=lox C.y=log4x2 D.y=log2(-x) √ √ B项中的函数是对数函数; C,D项中的真数不是x,故不是对数函数; A项中的底数不是常数,不是对数函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.若函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f= A.3 B.-3 C.-log36 D.-log38 ∴解得a=2,∴f(x)=log2x, ∴f=log2=-3.故选B. ∵函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.函数f(x)=log(x-1)(3+2x-x2)的定义域是 A.(1,2) B.(2,3) C.(1,2)∪(2,3) D.(1,3) 解得1<x<3且x≠2, 故f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.设函数f(x)=则f(f(-2))= A.3 B.4 C.6 D.8 ∵f(-2)=1+log24=3, ∴f(f(-2))=f(3)=22=4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.(多选)已知对数函数y=f(x)的图象过点(4,2),则下列结论正确的是 A.f(x)=log2x B.f(x)=lox C.f(2lg 2)=lg 2 D.f=1 √ 设f(x)=logax(a>0,且a≠1),将点(4,2)代入得,2=loga4,解得a=2, 所以f(x)=log2x. 因此f=log2=-1,f(2lg 2)=log22lg 2=lg 2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.我国的5G通信技术领先世界,5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式,香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中,计算最大信息传送速率C的公式C=W·log2,其中W是信道带宽(单位:赫兹),S是信道内所传信号的平均功率(单位:瓦),N是信道内部的高斯噪声功率(单位:瓦),其中叫做信噪比.根据此公式,在不改变W的前提下,将信噪比从99提升至λ,使得C大约增加了60%,则λ的值大约为(参考数据:100.2≈1.58) A.1 559 B.3 943 C.1 579 D.2 512 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由题意得≈60%, 则≈1.6,1+λ≈1001.6=103.2=103·100.2≈1 580, ∴λ≈1 579. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.若函数f(2x)=xln 2,且f(m)=2,则实数m= A.e B.e2 C.ln 2 D.2ln 2 √ 因为f(2x)=xln 2,所以令2x=t, 则x=log2t, 所以f(t)=ln 2·log2t=ln 2·=ln t, 所以f(x)=ln x,所以f(m)=ln m=2, 所以m=e2,故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数f(x)=logax+a2-2a-3为对数函数,则a=____________,f()=____________.  3 　 依题意有解得a=3. ∴f(x)=log3x,故f()=log3=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为____________只.  300 由题意,知100=alog2(1+1), 得a=100, 则当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知点P(16,2),Q(t,log23)都在同一个对数函数的图象上,则t=____________.  9 设对数函数为y=logax(a>0,且a≠1), 因为P(16,2)在函数的图象上, 所以loga16=2,解得a=4,则y=log4x. 因为Q(t,log23)也在该函数的图象上, 所以log4t=log23, 解得t=9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.求下列函数的定义域: (1)f(x)=+; 要使函数f(x)有意义, 则有∴ 则-1<x<0或0<x≤2, ∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)f(x)=log(x+2). 要使函数f(x)=log(x+2)有意义, 则∴ 故函数f(x)的定义域是(-2,-1)∪∪(2,+∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.2021年4月,四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物,考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定,检测出碳14年残留量约为初始量的66%,已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年,遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 11≈1.04) A.3 200年 B.3 262年 C.3 386年 D.3 438年 √ 设时间经过了x年,则=0.66,两边取对数得, lg=lg 0.66.所以x=5 730×=5 730×≈3 438. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.设函数f(x)=flg x+1,则f(10)=____________.  1 ∵f(x)=flg x+1,将式中x换成,∴f=f(x)lg+1. 由以上两式,得f(x)=, ∴f(10)==1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)=log2. (1)求f(x)的定义域; ∴(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1, 所以此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 要使函数有意义,则有>0, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)判断函数的奇偶性. 由(1)知f(x)的定义域关于原点对称, 且f(-x)=log2=log2 =-log2=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.给定函数y=f(x),设集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)}.若∀x∈A,∃x∈B,使得x+y=0成立,则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数:①y=;②y=;③y=lg x.其中,具有性质P的函数是____________(填序号).  ①③ 对于①,A=(-∞,0)∪(0,+∞), B=(-∞,0)∪(0,+∞),显然∀x∈A,∃y∈B,使得x+y=0成立,具有性质P. 对于②,A=R,B=(0,+∞),当x>0时,不存在y∈B,使得x+y=0成立,不具有性质P. 对于③,A=(0,+∞),B=R,显然∀x∈A,∃y∈B,使得x+y=0成立,具有性质P. 故具有性质P的函数是①③. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围. 设t(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴t(x)=3-ax为减函数, 则当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a<. 又a>0且a≠1,∴0<a<1或1<a<, ∴实数a的取值范围为(0,1)∪. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 依题意 $