第十六章 阅读与思考 杨辉三角 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

null杨辉三角 八（上）第十六章 整式 授课教师： 观察：根据示例，完成下列填空 1 通过资料查询、小组交流探究，类比十进制数的意义认识二进制、八进制等进位制数的意义；通过把一个进位制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，理解二进制数、八进制数等与十进制数之间的关系，通过不同进位制数之间的转换，发展运算能力，提升推理能力；通过任务单不同任务的驱动，提升发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力。 输出型目标 1.语言输出：能够口头或书面简述杨辉三角的发展史及其价值。 2.行为输出：能够用两种方法构造杨辉三角；能用 符号表示杨辉三角中的数；能归纳并用符号表达杨辉三角的至少三条性质。 3.迁移输出：能够运用杨辉三角模型解决路径计数问题. https://map.baidu.com/search/%E8%A5%BF%E5%AE%89%E5%B8%82/@12127620.315307608,4049230.344056933,15z/maplayer%3Dtrafficrealtime?querytype=s&da_src=shareurl&wd=%E8%A5%BF%E5%AE%89&c=131&src=0&pn=0&sug=0&l=10&b=(12781979.971452849,4745932.9341574125;13081910.676083652,4901786.978317661)&from=webmap&biz_forward=%7B%22scaler%22:2,%22styles%22:%22pl%22%7D&device_ratio=2 前置大任务 初级任务：用两种方法构造杨辉三角； 进阶任务：计算朱宏路立交到西安大融城有多少种走法？（从地图上只能往上或往右走） 杨辉三角是一个具有无数行的等腰三角形数阵（如下图所示，展示部分），每一行代表（a+b)n的展开式各项系数排列在一起.例如：第1行为（a+b)0的展开式的系数，第2行为（a+b)1的展开式的系数，第3行为（a+b)2的展开式的系数，以此类推，杨辉三角可以无限写下去. （a+b)0=1，所以第1行为1；（a+b)1=a+b，所以第2行为1，1；（a+b)2=a2+2ab+b2，所以第3行为1，2，1. 分解任务一 寻根溯源·初识三角 任务一：阅读杨辉三角的材料，总结杨辉三角初印象 1.杨辉三角是一个有无数行的三角数阵； 2.每行数字代表（a+b)n的展开式各项系数； 3.相邻两行的数字错位插空对齐. 分解任务二 构造杨辉三角 1.借助老师提供的杨辉三角计算小程序计算(a+b)n展开式（n= 3,4,5,6…），观察展开的多项式项数，字母次数的变化等特征. n 项数 项的次数 字母a的次数变化 字母b的次数变化 2  3 2  2~0降低  0~2升高  3  4 3  3~0降低  0~3升高  4  5 4 4~0降低  0~4升高  ……  …… ……  ……   …… n       n+1 n n~0降低 0~n升高 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务二 构造杨辉三角 展开式特点： 1.共有（n+1)项，每一项的次数都为n，叫做n次齐次多项式，简称n次齐次式； 2.按照a的降幂排列，b的升幂排列，a的次数从n开始逐渐降低，b的次数从0开始逐渐增加，每次次数变化为1. 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务二 构造杨辉三角 2.将n=3、n=4、n=5的展开式的各项系数补充到三角数阵后续行，构造杨辉三角； 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...... 水平称为行； 与腰平行称为列. 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务二 构造杨辉三角 3.观察杨辉三角中数字排列的规律，并记录下来； 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...... 1.两侧腰上数字都为1； 2.第二列是自然数列； 3.每一个数等于肩上两个数的和； 4.左右对称的数相等； …… 试一试： （1）根据规律写出n=6时展开式的系数_______________________________________ （2）根据系数写出的（a+b)6展开式_______________________________________ 1，6，15，20，15，6，1 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务三 探究杨辉三角性质 C = 6 4 2 试一试：你会用自定义符号表示杨辉三角中的数吗？ 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ...... 在每一行的位置，第1个位置为0. 所在位置的行数，第1行为0. 1.符号定义：用 表示杨辉三角中的各数，其中n表示该数所在的行数，m表示所在行的位置，（m,n均以0开始计数）如下图所示： 第0个 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务三 探索杨辉三角的性质 小组讨论 请以6人为一小组，探究杨辉三角中数字排列规律，并尝试用新定义的符号和等式来表示发现的规律. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ...... 示例1 示例2 示例3 示例4 示例5 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务三 探索杨辉三角的性质 猜想1：对称性——每行中与首末两端“等距离”之数相等. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ...... 符号表示： 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务三 探索杨辉三角的性质 猜想2：递归性——除1以外的数都等于肩上两数之和. 符号表示： 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ...... 试一试： （1）你能用这个规律构造出杨辉三角的第7行，第8行吗？ （2）结合展开式特点，你能直接写出的 展开式吗？ 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务三 探索杨辉三角的性质 猜想3：第n行数的和为 . 符号表示： 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ...... 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务三 探索杨辉三角的性质 猜想4：第n行数奇数项的和等于偶数项的和. 符号表示： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 4 4 8 8 观察：根据示例，完成下列填空 猜想5：自腰上某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数. 符号表示： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...... 分解任务三 探索杨辉三角的性质 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务四 探索路径计数 计算朱宏路立交到西安大融城有多少种走法？（从地图上只能往上或往右走） 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务四 探索路径计数 1 1 A B 1 1 1 2 A B 1 1 1 2 A 1 3 1 3 6 B 思考：从A到B有多少条路径？ 1 1 1 2 A 1 3 1 3 6 1 4 1 4 10 10 20 B 观察：根据示例，完成下列填空 分解任务四 探索路径计数 计算朱宏路立交到西安大融城有多少种走法？（从地图上只能往上和往右走） 思考1：如何把2025和八卦符号建立起联系，需要用到哪些知识？ 思考2：如何实现进位制的转换？ 思考3：如何将进位制之间建立联系？ 谈谈这节课您的收获！ 课堂总结 谢谢 $时间来到1050年，北宋人甲线首先使用甲线三角进行高次开方运算。甲线创造的开方作法本源及甲线三角，它标志着甲线已把传统方法推广到了开任意高次方程甲县完成的皇帝九章算经细草原书一诗，但其主要内容被杨辉所抄录。1261年。杨辉详解九章算法一书中载有开方作法本源图明甲线就此树，这就是著名的杨荟三角了。1303年，元朝数学家朱世杰在四元玉鉴中扩充了甲线三角，为古法七成方形，将甲线原本的七行开方图拓展成了九行。在西方16世纪之前，杨辉三角有着不同的称谓。意大利人称之为塔塔利亚三角形，印度学家把它叫做梅岭山区，在伊朗人们称其为海亚姆三角。直到1623年，法国数学家布莱斯帕斯卡，他发表了多篇关于算术级数及二项式系数的论文，发现了二项式展开式的系数规律及著名的帕斯卡三角形。它的发现影响之深远，所以绝大多数西方国家它的名字就叫做帕斯卡三角形了。帕斯塔发现这一规律比洋灰要迟三百多年，比甲线要迟600年。21世纪以来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是中国三角形。