第4章 4.3 4.3.2 对数的运算-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

2026-08-17

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摘要：

该高中数学课件聚焦对数的运算性质与换底公式，通过历史情境（如伽利略对对数的评价、中国对数著作传入）和问题导入（已知lg2求lg5），结合预习学案的知识梳理与自测，搭建从指数函数到对数运算的学习支架，帮助学生衔接前后知识。其亮点在于以核心素养为导向，通过题型分类（性质应用、换底公式、综合问题）和规律方法总结，培养学生的数学运算与逻辑推理能力。融入素数个数估计、种子数量增长等实际问题，让学生用数学语言表达现实世界，既提升学生应用意识，也为教师提供分层教学的完整资源。

内容正文：

4．3．2　对数的运算第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案课堂互动学案 01 02 随堂步步夯实 03 课后素养提升 04 第四章　指数函数与对数函数必修第一册数学下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课堂互动学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数　下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数随堂步步夯实下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课时作业下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课程标准素养解读 1.理解对数运算性质 2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 1.通过对对数运算性质的理解，培养逻辑推理和数学运算素养 2．通过对换底公式的应用，提升数学抽象素养 [情境引入] 1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e＝2.71828…为底)．对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略(1564－1642)说：“给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙”．又如十八世纪数学家拉普拉斯(1749－1827)亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”．最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯(1611－1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的．当时在lg 2＝0.3010中，2叫“真数”，0.3010叫做“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表．后来改用“假数”为“对数”．我国清代的数学家戴煦(1805－1860)发展了多种的求对数的方法，著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等.1854年，英国的数学家艾约瑟(1825－1905)看到这些著作后，大为叹服． [问题]　已知lg 2＝0.3010，你会求lg 5的值吗？提示：利用对数的运算性质． [知识梳理] [知识点一]　对数的运算性质　 1．性质若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②logaeq \f(M,N)＝　logaM－logaN　； ③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)． 2．本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算． 3．应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题． 1.你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和；商的对数等于分子的对数减去分母的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数． 2．在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． [知识点二]　换底公式　 1．公式：logab＝　eq \f(logcb,logca)　(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数． 3．应用：将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算． 3.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？提示：logab＝eq \f(lg b,lg a)，logab＝eq \f(ln b,ln a). 4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论＝eq \f(m,n)logNM吗？提示：＝eq \f(lg Mm,lg Nn)＝eq \f(mlg M,nlg N)＝eq \f(m,n)·eq \f(lg M,lg N)＝eq \f(m,n)logNM. [预习自测] 1．log3(xy)＝log3x＋log3y成立的条件是(　　) A．x＞0，y＞0　　　 B．x＞0，y＜0 C．x＜0，y＞0 D．x∈R，y∈R 答案：A 2．2log510＋log50.25＝(　　) A．0　　 B．1　　　 C．2　　 D．4 答案：C 3．lg 0.01＋log216的值是　________　. 答案：2 对数运算性质的应用 [例1] (1)eq \f(lg\r(27)＋lg 8－lg\r(1 000),lg 1.2)； (2)(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. [思路点拨]　利用对数的运算性质及运算法则求值，本着化异为同的原则，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数之间的联系，对于较复杂的真数，可以先化简再计算． [解]　(1)原式＝eq \f(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2),lg 3＋2lg 2－1) ＝eq \f(3lg 3＋6lg 2－3,2lg 3＋2lg 2－1)＝eq \f(3,2). (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(1＋lg 5) ＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. 底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论： [变式训练] 1．计算： (2)lg 14－2lgeq \f(7,3)＋lg 7－lg 18. 解：＝log3eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))－9 ＝log39－9＝2－9＝－7. (2)原式＝lg 14－lgeq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2＋lg 7－lg 18 ＝lg eq \f(14×7,\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2×18)＝lg 1＝0. 换底公式的应用 [例2] 计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． [思路点拨]　由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． [解]　解法一：原式＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))· eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝ eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22))) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55))) ＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52 ＝13log25·log52 ＝13. 解法二：原式＝ eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8))) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125))) ＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2))) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5))) ＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(13lg 5,3lg 2))) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(3lg 2,lg 5))) ＝13. 1．(1)解法一是先将括号内换底，然后将底统一． (2)解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性统一化为常用对数(当然也要以换成以其他非1的正数为底的对数)，然后化简． (3)解法三，匠心独具，值得效仿．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法． 2．利用换底公式化简求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数． (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用． (3)换底公式的正用与逆用． (4)恰当应用换底公式的两个常用结论． 3．利用换底公式计算、化简、求值的思路 4．换底公式常用推论 [变式训练] 2．已知log189＝a,18b＝5，求(1)log3645. (2)log915(用a，b表示)．解：(1)因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log185×9,log182×18) ＝eq \f(log185＋log189,log182＋log1818) ＝eq \f(a＋b,1＋log182)＝eq \f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－log189) ＝eq \f(a＋b,2－a). (2)因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝eq \f(log1815,log189)＝eq \f(log183×5,log189) ＝eq \f(log183＋log185,a) ＝eq \f(\f(1,2)log189＋b,a)＝eq \f(\f(1,2)a＋b,a)＝eq \f(a＋2b,2a). 　对数运算的综合应用 [例3] 如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)·lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，求αβ的值． [思路点拨]　解本题的关键是将lg x看成一个整体，从而原方程可以看成关于lg x的二次方程． [解]　方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．由韦达定理，得 lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg eq \f(1,35)， ∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝lg eq \f(1,35)，∴αβ＝eq \f(1,35). 只有在一元二次方程中才能应用韦达定理．α，β尽管是原方程的根，但原方程并非是关于x的一元二次方程，所以不能对α，β直接应用韦达定理．而lg α，lg β是关于lg x的二次方程的根，从而可以应用韦达定理求解． [变式训练] 3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))2的值等于(　　) A．2　　 B.eq \f(1,2)　　 C．4　　　D.eq \f(1,4) 解析：A　[由韦达定理，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝eq \f(1,2)，则eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×eq \f(1,2)＝2.] 实际问题中的对数运算 [例4] 2025年3月14日，国际数学日当天，全球数学界迎来重磅消费——华裔数学家陈景润奖得主、斯坦福大学教授林辰宣布自己完成了对黎曼猜想的最终证明，这一成果被学界视作21世纪数学领域里程碑式突破．而回溯到1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq \f(x,ln x)的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(　　) (素数即质数．lg e≈0.434 29，计算结果取整数) A．768 B．144 C．767 D．145 [思路点拨]　由题意，根据π(x)≈eq \f(x,ln x)，得到估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈eq \f(1 000,ln 1 000)，根据对数的运算，即可求解． [解析]　由题意，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)＝eq \f(x,ln x)，则估计1 000以内的素数的个数约为π(1 000)≈eq \f(1 000,ln 1 000)＝eq \f(1 000,\f(lg 1 000,lg e))≈eq \f(1 000,\f(3,0.43 429))≈145. [答案]　D 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． [变式训练] 4．生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)(　　) A．第7代种子 B．第8代种子 C．第9代种子 D．第10代种子解析：C　[设第x代种子的数量为6x－1，由题意得6x－1＞106，得(x－1)lg 6＞6，即x＞eq \f(6,lg 6)＋1.因为eq \f(6,lg 6)＋1＝eq \f(6,lg 3＋lg 2)＋1≈8.7，所以种子数量首次超过100万粒的是第9代种子．] 1．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5的值为(　　) A．4　　 B．1　　 C．6　　 D．3 答案：B 答案：B 3．若log3(log2x)＝log2(log3y)＝0，则x＝________，y＝________. 答案：2　3 4．log23×log34×log48＝　________　. 答案：3 5． $

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