4.3.2　对数的运算(二)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数换底公式，通过多种推导方法（设指数式、取对数等）展现公式来源，衔接对数定义与运算性质，结合推论、明辨是非等环节构建知识支架，帮助学生理解公式逻辑与应用脉络。 其亮点在于融合逻辑推理（多方法证明公式）、数学运算（典例与即学即练求值）和数学建模（生产工时、围棋变化数问题），通过“解题有招”总结方法，“明辨是非”辨析易错点。学生能提升运算与建模能力，教师可借助系统例题与练习优化教学效果。

4.3.2　对数的运算(二) 【学习目标】 1.理解并掌握对数的换底公式的推导过程.(逻辑推理、数学抽象) 2.能将一般对数化为常用对数或自然对数进行求值或化简.(数学运算) 3.会利用对数解决实际问题.(数学建模) 换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=. 推论:(1)lob=logab;(2)=logba. [思考] 1.你能证明logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1)吗? 提示:logab·logbc·logcd=··=logad. 2.你能用其他方法证明对数的换底公式吗? 提示:方法一:对于对数logab,a>0,且a≠1,b>0. 设a=cx,b=cy,c>0,且c≠1,x=logca,y=logcb,logab=cy=logcc=. 方法二:设对数logab=x,x≠0,a>0,且a≠1,b>0.则ax=b,a=,所以, 所以=b, 两边取以c(c>0,且c≠1)为底的对数得xlogca=logcb,所以x=,即logab=. 方法三:设对数logab=x,a>0,且a≠1,b>0. 则ax=b,a=,x≠0,则logca=logc,即logca=logcb,所以x=,即logab=. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log23·log32=1.( ) 提示:由换底公式,得log23·log32=·=1,故正确. (2)log48=log23.( ) 提示:根据对数的运算性质,log48=23=×3log22=,故错误. √ × (3)log925=log35.( ) 提示:根据对数的运算性质,log925=52=×2log35=log35,故正确. (4).( ) 提示:根据对数的运算性质,,故错误. √ × 类型1 换底公式的简单应用(数学运算) 角度1　利用换底公式求值 【典例1】(1)(一题多解)的值是(　　) A.　 B.　 C.1　 D.2 √ 【解析】选A.方法一:将分子、分母利用换底公式转化为常用对数, 即·. 方法二:将分子利用换底公式转化为以2为底的对数, 即. (2)计算:. 【解析】原式=·=lo·lo9=lo·3lo32 =-·log32·3log23=-. 【解题有招】 利用换底公式解决求值问题的方法 (1)原则:化异底为同底. (2)方法:①先利用对数运算性质进行部分运算,最后再换成同底运算;②借助换底公式,统一化为常用对数或自然对数,再化简、求值. 【即学即练】 1.=(　　). A.　 B.　 C.2　 D.4 【解析】选C.==2. √ 2.(2026·静海高一检测)计算lg 5++log23·log94+lg 2的值为　　　.  【解析】lg 5++log23·log94+lg 2=lg 5+2+log23·log32+lg 2 =lg 5+2++lg 2=lg 10+2+1=4. 答案:4 角度2　利用换底公式表示对数式 【典例2】(一题多变) [母题]已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示) 【解析】因为18b=5,所以b=log185. 所以log3645=== . [变式1]若母题中条件不变,如何求log1845(用a,b表示)? 【解析】因为18b=5,所以log185=b,所以log1845=log189+log185=a+b. [变式2]若将母题中条件“log189=a,18b=5”改为“log94=a,9b=5”,则又如何求解呢? 【解析】因为9b=5,所以log95=b.所以log3645= . 【解题有招】 利用换底公式表示对数式的方法 (1)“定底”:根据已知对数式的底数、已知的参考数据确定要换的底数. (2)“拆分”:先利用换底公式换底后,再利用同底的对数的运算性质拆分对数式,直到拆分为已知的对数式. 【即学即练】 1.若log23=a,2b=5,则用a,b表示log615=　　　　.  【解析】因为2b=5,所以b=log25,则log615=. 答案: 2.已知log95=m,log37=n,则用m,n表示log359=　　　　.  【解析】由log95=m,log37=n,可得m=log35,n=log37, 则log359=. 答案: 类型2 对数运算在实际问题中的应用(数学建模) 【典例3】(2026·南京高一检测)随着对某项新技术学习效率的提升,生产力不断提高.该技术下生产第一件产品的工时为k,生产x件产品的平均工时y=kx-α,其中α=-log 2s(s为产品工时递减速率).现有一条工时递减速率为80 %的生产线,则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为(　　) A.0.6 B.0.8 C.1.25 D.1.6 √ 【解析】选B.已知工时递减速率s=80 %=0.8,且α=-log 2s, 所以α=-log 20.8=-log 2=log 2, 由于生产前4件产品的平均工时:y4=k·4-α, 生产前2件产品的平均工时:y2=k·2-α, 所以=()-α=2-α,将α=log 2代入:2-α==0.8, 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8. 【解题有招】 对数运算在实际问题中的应用 (1)审题将相关数据代入,列方程或不等式; (2)利用对数运算性质、换底公式进行计算; (3)若所列方程或不等式是指数形式,可对指数式取对数,转化为对数运算,从而达到求解的目的. 【即学即练】 标准的围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即10 00052,下列数据最接近的是(lg 3≈0.477)(　　) A.10-37 B.10-36 C.10-35 D.10-34 √ 【解析】选B.根据题意, 对取常用对数得lg =lg 3361-lg 10 00052 =361×lg 3-52×4≈-35.8,则≈10-35.8, 选项B中的10-36与其最接近. 教材深一度 换底公式的两个推论 (链接教材习题4.3T7) (1)bm=logab;　(2)=logba. 【典例4】(1)设2a=3b=t,若+=2,则t=(　　) A.2 B.6 C.3 D. 【解析】选C.由2a=3b=t,知t>0, 且a=log2t,b=log3t,++=logt2+2logt3=logt18=2, 所以t2=18,t=3. √ (2)log381-log98·log23-+lg+lg=　　　　　　.  【解析】log381-log98·log23-+lg +lg =log334-23·log23-3+lg() =4-··-3+ =4--3+ =0. 答案:0 $