3.2.1 对数的定义 课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

数学 高一年级 第一学期 幂、指数与对数单元 3.2 对数（1） 沪教版 《普通高中教科书 数学 必修第一册》 1 对数 3.2 对数的定义 1 2 （一）创设情境 引入课题 3 幂、指数与对数 幂与指数 指数幂的拓展 对数 对数的定义 对数的运 算性质 对数的换底 （一）创设情境 引入课题 4 （一）创设情境 引入课题 5 （一）创设情境 引入课题 6 （一）创设情境 引入课题 证明： 7 （二）形成概念 理解辨析 8 （二）形成概念 理解辨析 底 幂 真数 指数 对数 9 （二）形成概念 理解辨析 10 （二）形成概念 理解辨析 11 （二）形成概念 理解辨析 12 （二）形成概念 理解辨析 13 （二）形成概念 理解辨析 14 （三）例题讲解 巩固新知 解： 15 （三）例题讲解 巩固新知 解： 16 （三）例题讲解 巩固新知 解： 17 （三）例题讲解 巩固新知 解： 18 （三）例题讲解 巩固新知 解： 19 （四）课堂练习 迁移应用 A 2 －3 20 （五）课堂小结 布置作业 对数的定义 对数 数学运算 逻辑推理 自然对数 常用对数 21 （五）课堂小结 布置作业 22 结 束 语 23 谢谢观看 24 原问题转化为：当是多少时，？ 求方程的实数解． 某人在银行存入万元，若年利率为，且按年计复利，经过多少年万元存款才能连本带利超过万元呢？ 问题的解析： 年利率为是指一年之后万元变成万元．按年计复利是指每过一年自动将连本带利作为本金再次存入银行生息． 经过年后，存款连本带利的总数是万元． [问题1] 对于“求方程的实数解”，能否将这个问题一般化？ 问题的一般化：求方程的实数解． 假设，保证对所有的实数，都有定义． [问题3]证明：当，，且时，方程的解唯一． [问题2] 当时，还要附加什么条件，才能使方程的解存在且唯一？ 在，且，只要，方程总有解． [问题3]证明：当，，且时，方程的解唯一． 若，则，由幂的基本不等式有，即，与①矛盾． （用反证法来证明该方程的解是唯一的．） 当，，且时，假设方程有两个不同的实数解、，不妨设，即且，两式相除，得┅①．由假设． 若，由幂的基本不等式有，与①矛盾； 所以假设不成立，即当，，且时，方程的解唯一． 1．对数的定义 在，，且的条件下，唯一满足的数，称为以为底的对数（logarithm），并用符号表示，而称为真数． （ 且） 1．对数的定义 真数． 1．对数的定义 [问题4] 是数值还是算式？ 符号既是个数值，也是一个算式．当把它视为算式时，它表示已知底数和在某一个指数下的幂，求指数的算式． [问题5] 为使得有意义，和应满足怎样的条件？ 对数的底且， 因为，所以． 1．对数的定义 [问题6] 当且时，下列算式有没有意义？如果有意义，请求出算式的值；如果没有意义，请说明理由． ；；；；． 零和负数没有对数． 因为，所以． 所以． 1．对数的定义 [问题7] 证明： (且)． 证明：由对数定义，对数这个记号表示满足方程的唯一确定的数，因此． [问题8] 设，，正数、满足，求证：． 证明：因为， 以10为底的对数称为常用对数（common logarithm）． 通常记为． 以无理数（的值约为）为底的对数称为自然对数（natural logarithm）．通常记为． 2．常用对数与自然对数 对数的发明者是苏格兰数学家纳皮尔，他在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明了对数．纳皮尔于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明． 在科学、工程学领域的很多问题中，都离不开对数运算．恩格斯认为对数的发明是17世纪数学的三大成就之一．从对数的发明过程中，我们可以看到社会生产、科学技术离不开数学的发展． 3．对数小知识 （2）因为， 所以． （3）因为， 所以． 例1求下列各式的值： （1）；（2）；（3）． （1）因为， 即3是方程的唯一解， 所以． 得． （3）由， 得． 例2求下列各式中的值： （1）；（2）；（3）； （1）由， 得． （2）由， 所以． 例2求下列各式中的值： （4）；（5）． （4）由，得． 又因为，，所以． （5）由，得， 解得的取值范围是． 注：要注意对数式中底与真数的限制条件． 例3求下列各式中的取值范围： （1）（且）；（2）． （1）由， 解得． （2）由 (且) (且) 例4 求下列各式的值： （1）；　　　（2）； （3）． （1）． （2）． （3）． 教材P68 练习3.2（1） (且) [基础练习] 教材P72-73习题3.2 A组1,2,3,4，B组1 [能力拓展]（选做） 1．求下列各式中的取值范围： （1）；　　　　　　（2）． 2．求下列各式的值： （1）；（2）． 给我空间、时间及对数，我就可以 创造一个宇宙． ——伽利略 $