第1章 三角形的初步知识 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版（2024）数学八年级上册期末单元复习 第1章　三角形的初步知识 题型一　三角形的有关概念 【例1】如图，锐角三角形有(　 　) (例1) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练1】如图，在△ABC中，AD，BF，CE相交于点O.若AE＝BE＝3，AF＝5，FC＝4，S△ABC＝24，则△EBO与△FCO的面积之差为(　 　) (跟踪训练1) A．1 B. C. D. 题型二　三角形的三边关系 【例2】已知线段a＝15 cm，b＝8 cm，下列线段中，能和a，b首尾顺次相接组成三角形的是(　 　) A．30 cm B．20 cm C．7 cm D．5 cm 【跟踪训练2】已知三角形三条边的长分别为3，x，9，化简：|x－2|＋|x－13|＝________． 题型三　三角形的内角和定理及推论 【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC. (1)求证：∠B＝∠EFC. (2)若∠A＝60°，∠ACB＝72°，求∠CDE的度数． (例3) 【跟踪训练3】(1)动手操作：如图①，将一把三角尺DEF放置在另一把三角尺ABC上，使△DEF的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，且BC∥EF.已知∠A＝30°，∠E＝45°，则∠ABD＋∠ACD＝_________． (2)如图②，∠BDC与∠A，∠B，∠C之间存在着怎样的关系？请说明理由． (3)灵活应用：如图③，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD.若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数． (跟踪训练3) 题型四　全等三角形的概念与性质 【例4】如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列说法中，错误的是(　 　) (例4) A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BD＝CE D．AD＝CD 【跟踪训练4】如图，已知△ABC≌△DBE，BC交DE于点F.若BE＝10，CF＝4，则BF的长为(　 　) (跟踪训练4) A．4 B．5 C．6 D．7 题型五　全等三角形的判定与性质 【例5】如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE， △DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上，连结AE. (例5) (1)求证：△ACE≌△BCD. (2)若BD＝1，CD＝3，求AD的长． 【跟踪训练5】如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC相交于点P，点C在DE上． (跟踪训练5) (1)求证：BC＝DE. (2)若∠B＝30°，∠APC＝70°. ①求∠E的度数． ②求证：CP＝CE. 【跟踪训练6】如图，BD为△ABC的角平分线，E为AB上一点，BE＝BC，连结DE. (跟踪训练6) (1)求证：△BDC≌△BDE. (2)若AB＝7，CD＝2，∠C＝90°，求△ABD的面积． 题型六　角平分线与线段垂直平分线的性质 【例6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列说法：①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④DA平分∠CDE.其中正确的是(　 　) (例6) A．① B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【跟踪训练7】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E. (跟踪训练7) (1)求证：AC＝AE. (2)若E为AB的中点，CD＝1，求BE的长． 题型七　全等三角形的应用 【例7】如图，A，B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从点B出发沿河岸画一条线段BC，再将BC延长至点D，使得BC＝CD，过点D作DE∥AB，并使点E，C，A在同一条直线上，则DE的长就等于A，B之间的距离．请说明这样做的理由． (例7) 【跟踪训练8】已知：如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB，AD的中点E，F处挂两根彩线EC，FC.求证：EC＝FC. (跟踪训练8) 题型八　尺规作图 【例8】如图，已知线段a，c，∠α. 求作：△ABC，使两边BC＝a，AB＝c，其夹角∠ABC＝∠α. (1)用尺规作满足条件的△ABC(保留作图痕迹，不写作法)． (2)请你根据所学的知识，说明尺规作图作出∠ABC＝∠α，用到的是三角形全等判定定理中的_________，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的_________． 　　　　　　　　　　 (例8) 【跟踪训练9】用尺规作∠ABC的平分线，步骤如下：①以点B为圆心，以m为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以n为半径作弧，两弧在∠ABC内部相交于点P；③作射线BP，则射线BP即为所求．下列关于m，n的说法中，正确的是(　 　) A．m＞0，n＞m B．m＞0，n＜m C．m＞0，n＞DE D．m＞0，n＜DE 【巩固练习】 1．如图，△ABC≌△AEF，则∠EAC等于(　 　) 　　　　　　　　　 (第1题) A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC 2．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，则下列说法中，错误的是(　 　) A．若添加条件AC＝A′C′，则△ABC≌△A′B′C′ B．若添加条件BC＝B′C′，则△ABC≌△A′B′C′ C．若添加条件∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ D．若添加条件∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′ 3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数为(　 　) (第3题) A．30° B．40° C．60° D．70° 4． 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别为(2，0)， (4，2)，若在x轴下方有一点P，使△OAP与△OAB全等，则满足条件的点P的坐标为(　 　) A．(4，－2) B．(－4，－2) C．(4，－2)或(－2，－2) D．(4，－2)或(－4，－2) 5．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简－的结果为(　 　) A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0 6．如图，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是(　 　) (第6题) A．图①和图② B．图①和图③ C．图②和图③ D．图① 7．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为“友好角”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为__________________________________． 8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高线．若AB＋AC＝16，S△ABC＝32，∠EDF＝120°，则AD的长为_________． (第8题) 9．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且BE＝BF. (1)求证：△ABE≌△CBF. (2)若∠ACF＝75°，求∠EAC的度数． (第9题) 10．证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等． 已知：如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM＝DN.求证：△ABC≌△DEF. (第10题) 11．如图，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD. (第11题) (1)求证：AB∥CD. (2)直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，问OE与OF是否相等？请并说明理由． 12．在△ABC中，点D，F分别在线段AC，AB上，连结BD，CF相交于点E. (1)如图①，若BD⊥AC，CF⊥AB.求证：∠A＋∠BEC＝180°. (2)如图②，若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，请写出∠A与∠BEC的数量关系． (3)在(2)的条件下，若∠A＝60°，求证：EF＝ED. (第12题) 【参考答案】 第1章　三角形的初步知识 题型一　三角形的有关概念 【例1】如图，锐角三角形有(　B　) (例1) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【方法指导】数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，可以与线段外的一点组成个三角形． 【跟踪训练1】如图，在△ABC中，AD，BF，CE相交于点O.若AE＝BE＝3，AF＝5，FC＝4，S△ABC＝24，则△EBO与△FCO的面积之差为(　B　) (跟踪训练1) A．1 B. D. D. 【解析】 易知S△BCE＝12，S△BFC＝×24＝，∴S△EBO－S△FCO＝S△BCE－S△BFC＝. 题型二　三角形的三边关系 【例2】已知线段a＝15 cm，b＝8 cm，下列线段中，能和a，b首尾顺次相接组成三角形的是(　B　) A．30 cm B．20 cm C．7 cm D．5 cm 【方法指导】已知三角形的两边长，可根据三边关系确定第三边的取值范围：两边之差的绝对值<第三边<两边之和． 【跟踪训练2】已知三角形三条边的长分别为3，x，9，化简：|x－2|＋|x－13|＝__11__． 题型三　三角形的内角和定理及推论 【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC. (1)求证：∠B＝∠EFC. (2)若∠A＝60°，∠ACB＝72°，求∠CDE的度数． (例3) 解：(1)∵CD⊥AB，EF⊥CD，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC. (2)由(1)可知，∠B＝∠EFC. 又∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠ADE. ∵∠A＝60°，∠ACB＝72°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝48°， ∴∠ADE＝∠B＝48°. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠CDE＝180°－∠CDB－∠ADE＝42°. 【方法指导】三角形的内角和等于180°与三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和是解决三角形的角度问题的基本依据． 【跟踪训练3】(1)动手操作：如图①，将一把三角尺DEF放置在另一把三角尺ABC上，使△DEF的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，且BC∥EF.已知∠A＝30°，∠E＝45°，则∠ABD＋∠ACD＝__60°__． (2)如图②，∠BDC与∠A，∠B，∠C之间存在着怎样的关系？请说明理由． (3)灵活应用：如图③，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD.若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数． (跟踪训练3) 解：(1)∵BC∥EF，∴∠DBC＝∠E＝∠F＝∠DCB＝45°， ∴∠ABD＝90°－45°＝45°，∠ACD＝180°－90°－30°－45°＝15°， ∴∠ABD＋∠ACD＝60°. (2)∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC.理由如下： 如答图，连结BC. (跟踪训练3答图) 在△DBC中，∵∠DBC＋∠DCB＋∠BDC＝180°， ∴∠DBC＋∠DCB＝180°－∠BDC. 在△ABC中， ∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°， 即∠ABD＋∠DBC＋∠DCB＋∠ACD＋∠A＝180°， ∴∠A＋∠ABD＋∠ACD＝180°－(180°－∠BDC)＝∠BDC. (3)同(2)得，∠A＋∠ABD＋∠ACD＝∠BDC，∠A＋∠ABE＋∠ACE＝∠BEC. ∵∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，∴∠ABD＋∠ACD＝120°－40°＝80°. ∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴∠ABE＋∠ACE＝(∠ABD＋∠ACD)＝40°， ∴∠BEC＝40°＋40°＝80°. 题型四　全等三角形的概念与性质 【例4】如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列说法中，错误的是(　D　) (例4) A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BD＝CE D．AD＝CD 【方法指导】全等三角形的对应边相等，对应角相等；注意找对应元素不要找错． 【跟踪训练4】如图，已知△ABC≌△DBE，BC交DE于点F.若BE＝10，CF＝4，则BF的长为(　C　) (跟踪训练4) A．4 B．5 C．6 D．7 题型五　全等三角形的判定与性质 【例5】如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE， △DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上，连结AE. (例5) (1)求证：△ACE≌△BCD. (2)若BD＝1，CD＝3，求AD的长． 解：(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中，∵∴△ACE≌△BCD(SAS)． (2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝1，∠CBD＝∠CAE＝45°. ∵∠CAB＝45°，∴∠DAE＝∠CAB＋∠CAE＝90°. 在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2. 在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝2CD2＝18， ∴AD＝＝. 【方法指导】(1)全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS，HL.SSA，AAA不能判定两个三角形全等． (2)证明三角形全等时，有的条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角相等，公共边、公共角等． 【跟踪训练5】如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC相交于点P，点C在DE上． (跟踪训练5) (1)求证：BC＝DE. (2)若∠B＝30°，∠APC＝70°. ①求∠E的度数． ②求证：CP＝CE. 解：(1)∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE. 在△BAC和△DAE中， ∵∴△BAC≌△DAE(ASA)，∴BC＝DE. (2)①∵∠B＝30°，∠APC＝70°，∴∠CAE＝∠BAP＝∠APC－∠B＝40°. ∵△BAC≌△DAE，∴AC＝AE，∴∠E＝∠ACE＝×(180°－∠CAE)＝70°. ②∵△BAC≌△DAE，∴∠ACB＝∠E＝70°. 由①得，∠ACE＝∠E＝70°，∴∠APC＝∠E＝∠ACP＝∠ACE＝70°. 在△ACP和△ACE中，∵ ∴△ACP≌△ACE(AAS)，∴CP＝CE. 【跟踪训练6】如图，BD为△ABC的角平分线，E为AB上一点，BE＝BC，连结DE. (跟踪训练6) (1)求证：△BDC≌△BDE. (2)若AB＝7，CD＝2，∠C＝90°，求△ABD的面积． 解：(1)∵BD为△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD. 在△BDC和△BDE中，∵∴△BDC≌△BDE(SAS)． (2)∵△BDC≌△BDE，∴∠BED＝∠C＝90°，DE＝DC＝2， ∴S△ABD＝AB·DE＝×7×2＝7. 题型六　角平分线与线段垂直平分线的性质 【例6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列说法：①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④DA平分∠CDE.其中正确的是(　D　) (例6) A．① B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【方法指导】由角的平分线的性质或线段垂直平分线的性质可得到线段相等，结合三角形全等可以证明有关结论． 【跟踪训练7】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E. (跟踪训练7) (1)求证：AC＝AE. (2)若E为AB的中点，CD＝1，求BE的长． 解：(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DC＝DE，∠AED＝∠C＝90°，∠CAD＝∠EAD. ∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE. (2)∵DE⊥AB，E为AB的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB＝∠CAD. ∵∠C＝90°，∴3∠B＝180°－∠C＝90°，∴∠B＝30°. ∵DE＝CD＝1，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2，∴BE＝＝. 题型七　全等三角形的应用 【例7】如图，A，B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从点B出发沿河岸画一条线段BC，再将BC延长至点D，使得BC＝CD，过点D作DE∥AB，并使点E，C，A在同一条直线上，则DE的长就等于A，B之间的距离．请说明这样做的理由． (例7) 解：理由如下： ∵DE∥AB，∴∠A＝∠E. 在△ABC和△EDC中，∵∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴ED＝AB， 即DE的长就等于A，B之间的距离． 【跟踪训练8】已知：如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB，AD的中点E，F处挂两根彩线EC，FC.求证：EC＝FC. (跟踪训练8) 证明：如答图，连结AC. (跟踪训练8答图) 在△ABC与△ADC中， ∵ ∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠EAC＝∠FAC. ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴AE＝AB，AF＝AD. 又∵AB＝AD，∴AE＝AF. 在△AEC与△AFC中， ∵ ∴△AEC≌△AFC(SAS)， ∴EC＝FC. 题型八　尺规作图 【例8】如图，已知线段a，c，∠α. 求作：△ABC，使两边BC＝a，AB＝c，其夹角∠ABC＝∠α. (1)用尺规作满足条件的△ABC(保留作图痕迹，不写作法)． (2)请你根据所学的知识，说明尺规作图作出∠ABC＝∠α，用到的是三角形全等判定定理中的__SSS__，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的__SAS__． 　　　　　　　　　　 (例8) 解：(1)如答图，△ABC即为所求． (例8答图) 【方法指导】本题考查了作图(复杂作图)：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．本题也考查了全等三角形的判定． 【跟踪训练9】用尺规作∠ABC的平分线，步骤如下：①以点B为圆心，以m为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以n为半径作弧，两弧在∠ABC内部相交于点P；③作射线BP，则射线BP即为所求．下列关于m，n的说法中，正确的是(　C　) A．m＞0，n＞m B．m＞0，n＜m C．m＞0，n＞DE D．m＞0，n＜DE 【巩固练习】 1．如图，△ABC≌△AEF，则∠EAC等于(　C　) 　　　　　　　　　 (第1题) A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC 2．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，则下列说法中，错误的是(　B　) A．若添加条件AC＝A′C′，则△ABC≌△A′B′C′ B．若添加条件BC＝B′C′，则△ABC≌△A′B′C′ C．若添加条件∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ D．若添加条件∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′ 3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数为(　A　) (第3题) A．30° B．40° C．60° D．70° 5． 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别为(2，0)， (4，2)，若在x轴下方有一点P，使△OAP与△OAB全等，则满足条件的点P的坐标为(　C　) A．(4，－2) B．(－4，－2) C．(4，－2)或(－2，－2) D．(4，－2)或(－4，－2) 5．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简－的结果为(　D　) A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0 6．如图，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是(　A　) (第6题) A．图①和图② B．图①和图③ C．图②和图③ D．图① 7．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为“友好角”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为__54°或84°或108°__． 【解析】 分三种情况讨论： ①54°角是α，即“友好角”的度数为54°； ②54°角是β，则α＝β＝54°，∴α＝108°； ③54°角既不是α，也不是β，则α＋β＋54°＝180°，∴α＋α＋54°＝180°，解得α＝84°. 综上所述，“友好角”α的度数为54°或84°或108°. 8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高线．若AB＋AC＝16，S△ABC＝32，∠EDF＝120°，则AD的长为__8__． (第8题) 【解析】 ∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF， 又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(AAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF， ∴S△ABC＝AB·DE＋AC·DF＝DE·(AB＋AC)＝32. ∵AB＋AC＝16，∴DE＝4. ∵∠EDF＝120°，∴∠ADE＝∠ADF＝∠EDF＝60°， ∴∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝30°，∴AD＝2DE＝8. 9．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且BE＝BF. (1)求证：△ABE≌△CBF. (2)若∠ACF＝75°，求∠EAC的度数． (第9题) 解：(1)∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°. 在△ABE与△BCF中， ∵ ∴△ABE≌△CBF(SAS)． (2)∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°. 又∵∠ACF＝75°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝30°. ∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠FCB＝30°，∴∠EAC＝15°. 10．证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等． 已知：如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM＝DN.求证：△ABC≌△DEF. (第10题) 证明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，∴BM＝EN. 在△ABM和△DEN中，∵ ∴△ABM≌△DEN(SSS)，∴∠B＝∠E. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF(SAS)． 11．如图，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD. (第11题) (1)求证：AB∥CD. (2)直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，问OE与OF是否相等？请并说明理由． 解：(1)在△OAB与△OCD中， ∵ ∴△OAB≌△OCD(SAS)，∴∠A＝∠C，∴AB∥CD. (2)OE＝OF.理由如下： 由(1)可知，△OAB≌△OCD，∴∠B＝∠D. 在△EOB与△FOD中， ∵ ∴△EOB≌△FOD(ASA)，∴OE＝OF. 12．在△ABC中，点D，F分别在线段AC，AB上，连结BD，CF相交于点E. (1)如图①，若BD⊥AC，CF⊥AB.求证：∠A＋∠BEC＝180°. (2)如图②，若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，请写出∠A与∠BEC的数量关系． (3)在(2)的条件下，若∠A＝60°，求证：EF＝ED. (第12题) 解：(1)∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE＋∠DEC＝∠DCE＋∠A＝90°，∴∠DEC＝∠A. ∵∠DEC＋∠BEC＝180°，∴∠A＋∠BEC＝180°. (2)∠BEC＝90°＋∠A.理由如下： ∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB， ∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A. (3)如答图，作∠BEC的平分线EM交BC于点M. (第12题答图) ∵∠A＝60°，∴∠BEC＝90°＋∠A＝120°，∴∠FEB＝∠DEC＝180°－∠BEC＝60°. ∵EM平分∠BEC，∴∠BEM＝∠BEC＝60°＝∠FEB. 在△FBE与△MBE中， ∵ ∴△FBE≌△MBE(ASA)，∴EF＝EM. 同理可证△CDE≌△CME， ∴DE＝EM，∴EF＝DE. 学科网（北京）股份有限公司 $