第2章 特殊三角形单元卷2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 浙教版八年级数学特殊三角形单元卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）覆盖直角三角形、等腰三角形等核心知识，注重几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理分类讨论、等腰三角形内角计算、折叠问题|基础巩固，如第1题分斜边情况考查分类思想| |填空题|6/18|实际应用（旗杆问题）、轴对称性质|联系生活，如第12题用勾股定理解决测量问题| |解答题|8/72|探究性问题（等腰直角三角形关系）、综合证明|能力提升，如第23题三问递进考查推理与创新|

2026-2027学年浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、 单选题（共30分） 1.(本题3分)若直角三角形的三边长分别为6,8，x,则x的值为() A.10或27 B.10或14 C.2或14 D.2或10 2.(本题3分)已知一个等腰三角形的顶角为100°，则它的底角的度数为() A.35° B.40 C.45 D.50° 3.(本题3分)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,AD垂直BC交于D,则BD的长为() B 15 12 B.5 c. A.7 D.5 4.(本题3分)如图，四边形ABDC中，∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=114°，∠CBD=66°，则∠BCD 的度数为() D A.40° B.44° C.460 D.48° 5.(本题3分)将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是() 60 )45° A.15° B.20° C.25 D.30° 6.(本题3分)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,折叠△ABC的一角，使点B 第1页，共3页 与点A重合，展开后得折痕DE,则BD的长是() 3V5 3 A.2 B.2 C.35 D.4 7.(本题3分)如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC,DE垂直平分AB,垂足为点D,连接 CE,∠B=50°，则∠BCE的度数为() A.10° B.15o C.20° D.25 8.(本题3分)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N,②作直线MN交AB于点 D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°，则LACB的度数为() A.90° B.95o C.100° D.105° 9.(本题3分)如图，在△ABC中，AB=AC,在AB,AC上分别截取AP,A犯，使AP=A0,再分别以点 P,Q为圆心，以大于2P吧的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R'作射线AR'交BC于点D:若 BC=8,则BD的长为() 第2页，共3页 A.2 B.3 C.4 D.5 10.(本题3分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，连接 AP,两边PE,PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF,过点F作FH⊥BC于点H,在线段CP上截取 HG=HC,连接FG.现给出以下三个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③当BP=BE时， FA-CF=2FH,上述结论中正确的个数是() B G A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题（共18分） 11.(本题3分)如图，已知AD是△ABC的中线，AB⊥AD,垂足为点A,若AB=5,AC=13,则BC 的长为 B D 12.(本题3分)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉 开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 13.(本题3分)如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠BC0=30°， 则∠AOC= 第3页，共3页 14.(本题3分)如图Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D 重合，折痕为MN，则线段AN的长为一· C M D A--. I5.(本题3分)如图，BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为E,交BD于P点，PE=3,AB=8, 则△ABP的面积是 16.(本题3分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点E是BC边上的一点，过点B作 BF⊥AE交AE的延长线于点F,延长FB至点G,使得FG=AF,连接CG交AF于点H,若AF=6, BF=2,则△ACH的面积为 B E 三、解答题（共72分） 17.(本题8分)如图∠C=90°，AC=3,BC=4,AD=12,BD=13,试判断△ABD的形状，并说明 理由. 第4页，共3页 I8.(本题8分)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB,AT平分∠CAB,交CH于D, DE I AB CT=BE ,求证： 19,（本题8分)已知a,b分别是△1BC的其中两边的长，且a,b满足关系式lQ-4+(b-8=0 (1)求a,b的值. (2)若△ABC是等腰三角形，请计算△ABC的周长. 20.(本题8分)在四边形ABCD中，ADI‖BC,连接AC,且AC=BC,在对角线AC上取点E,使 CE=AD,连接BE D B (I)求证：△DAC≌△ECB, (2)若CA平分∠BCD,且AD=3,AC=5,求△BEC的周长. 2L.(本题9分)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，连接CD,过点C作CE⊥BC,过点A作 第5页，共3页 EF∥CD,CE、EF交于点E,连接DF、BE,BE交CD于点G. E B (I)求∠DCE的大小： (2)求证：aCEG是等边三角形. 22.(本题9分)如图，在△ABC中，AB<AC<BC,以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC 边交于点D,连接AD,过点D作DE⊥AD,交AC于点E. (1)若∠ABC=50°，∠C=28°，求∠AED度数： (②)若点F是BD的中点，连接AF,请说明∠BAF=∠EDC. 23.(本题10分)探究图像中线段之间的关系，并完成以下问题 D E B 图1 图2 图3 (1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°.则线段AE、BD的 数量关系为 一，AE、BD所在直线的位置关系为 (2)深入探究：在(I)的条件下，若点A,E,D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断 第6页，共3页 ∠ADB的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系，并说明理由： (3)解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7,BC=3,∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD, ∠CAD=90°，AC=AD,连接BD,则BD的长为 24.(本题12分)己知AB∥CD,点M在直线AB上，点NO在直线CD上，点P在直线ABCD之间， ∠AMP=∠PQN=aPQ,∠MPN 平分 M 6 O D 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠MP2的度数（用含α的式子表示）； (②)如图2，过点Q作QE‖PN交PM的延长线于点E,过E作EF平分∠PEO交P巴于点F.请你判断EF 与PQ的位置关系，并说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，连接EN,若NE平分∠PN№，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说 明理由. 第7页，共3页 第8页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B D B A D A D C A 1.A 【分析】直角三角形斜边未明确，需分x为斜边、8为斜边两种情况，结合勾股定理求解即可. 【详解】解：当x为斜边长时：x2-62+82=36+64=100, 解得：x=±10 x>0, .x=10: 当8为斜边长时：x2=82-62=64-36=28, x=2√万 解得： x>0 ∴x=2√7 综上所述，的值为10或27 2.B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可. 【详解】解：，等腰三角形顶角为100°， 底角度数为2×(180°-100)=40 3.D 【分析】根据勾股定理求出C-5,根据等面积法得到D- 5，进而根据勾股定理计算即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4, :.BC=VAB2+AC2=V32+42=5 :AD⊥BC, .∴.∠ADB=90° ∠BAC=90°， 答案第1页，共2页 .Smw-xAxC-xBCxAD 即2×3x4=)x5×D 2 解得：AD=12 5, BD=AB-AD 4.B 【分析】作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,根据角平分线的性质定理得到 DF:DE=DG,可知CD平分∠BCF,印∠BCD-BCF,根据三角形外角的性质求出∠BC的值即可。 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G, F D G B ∠DAB=∠DAC=20°， ∴.AD平分∠BAC, .DE⊥AB,DF⊥AC, ..DF=DE. .∠ABD=114°， .∠EBD=180°-∠ABD=66° ∴.∠EBD=∠CBD, ∴.BD平分∠CBE, DE⊥AB,DG⊥BC, .DG=DE :DG=DF, ,DF⊥AC,DG⊥BC, ∴.CD平分LBCF, 答案第2页，共2页 &∠BCD=2BCF, .∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=114°，∠CBD=66° .∠BAC=∠DAB+∠DAC=40°，∠ABC=∠ABD-∠CBD=114°-66°=48°， ∴.∠BCF=∠BAC+∠ABC=40°+48°=88°， :∠BCD=)∠BCF=4o 5.A 【详解】解：如图， D A 60° 45 根据三角板的度数可知：∠ABC=∠ACB=45°，∠DBC=90°-∠D=30°， .∠a=∠ABC-∠DBC=45°-30°=15°」 6.D 【分析】连接AD,根据折叠的性质，设AD=BD=x,则CD=8-x,再根据勾股定理，列出方程求解即 可 【详解】解：连接AD, E 设BD=x,则CD=BC-BD=8-x, 由折叠知，AD=BD=x, 在RtAACD中，∠C=90°，AC=6, 4C2+CD=AD2,则6+(8-x=2 4， 25 则BD的长是4， 答案第3页，共2页 7.A 【分析】连接BE,根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出EB=EC及∠ABE的度数， 进而求解 【详解】解：连接BE, C,AB=AC∠ABC=50° .∠ACB=∠ABC=50°，∠BAC=180°-50°-50°=80°， :AE平分∠BAC, ZBAE∠BAC=40 :DE垂直平分AB, ∴.EA=EB ∠ABE=∠BAE=40° :AB=AC,AE平分∠BAC, ∴AE垂直平分BC, .EB=EC, ∴.∠BCE=∠CBE ∠CBE=∠ABC-∠ABE=50°-40°=10°， ∴.∠BCE=10° 8.D 【分析】根据作图步骤得出MN垂直平分BC,利用线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出∠ACD和 ∠DCB的度数，进而求解 【详解】解：，CD=AC,∠A=50, ∴.∠CDA=∠A=50° .∠ACD=180°-2×50°=80° 由作图步骤可知，MN垂直平分BC, .DB=DC, .∠B=∠DCB. 答案第4页，共2页 .∠CDA=∠B+∠DCB, :∠DCB=)∠CDA=250 .∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105° 9.C 【详解】解：由作图可知：AD平分∠BAC, .AB=AC.BC=8. -ac=4 10.A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB, ∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF,证得9 海△MPE≌aCPF(ASA）,推出E=CF,BP=PF,即可 判断①②：由AE=CF,AB=AC,得到BE=AF,进而推出AF=AP,求得 ∠APF=∠4P80-45)-67.5°，∠CPF-225,由m1BC,得到∠FGC=∠C=45, ∠PFG=∠FGC-∠FPG=22.5°，从而得到PG=FG=FC,即可判断③. 【详解】解：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P是BC的中点， .∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB,∠APC=∠EPF=90°， ∴.∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF, .∠APE=∠CPF, 在△APE和△CPF中 ∠EAP=∠C AP=CP ∠APE=∠CPF' △APE≌ACPF(ASA) .AE=CF,EP=PF, ∴，△EPF是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意： AE=CF,AB=AC, ∴.BE=AF, 答案第5页，共2页 AP=PC=PB,BP=BE, .AF=AP, ∠APF=∠AP=080-45)=67.5, .∠CPF=22.5°， .FH⊥BC, ..FG=FC, .∠FGC=∠C=45°， .∠PFG=∠FGC-∠FPG=22.5°， .PG=FG=FC. .'FA-CF=PC-PG=CG=2FH, 故③正确，符合题意， 11 2v67 【分析】延长AD到E使DE=AD,连结BE,先根据SAS证明△ADC≌△EDB,则可得 BE=AC=13,在Rt△ABE中根据勾股定理可得AE=I2,进而可得AD=DE=6,再在Rt△ABD中根据勾 BD=61 BC=2BD=2√61 股定理求得 ,进而可得 【详解】解：延长AD到E使DE=AD,连接BE, :AD是BC的中线， .BD=DC, 又：∠CDA=∠BDE, △ADC≌AEDB(SAS) .AC=BE, AC=13, .BE=13, AB⊥AD, .∠BAD=90°， 又AB=5, 答案第6页，共2页 AE=VBE2-AB2=V132-52=12 .'AD=DE=6. BD=VAB+AD=52+6=J61 ,BC=2BD=2√6I A B C D E 12. 12m/12米 【分析】旗杆垂直地面，绳子拉开后形成直角三角形，直角边分别为旗杆高和水平拉开的距离，斜边为绳 长，已知绳长比旗杆高多1m,水平距离为5m,设旗杆的高为m,用勾股定理列方程即可求解. 【详解】解：设旗杆的高为m,则绳子的长度为 x+1)m ,旗杆垂直于地面， 绳子、旗杆、地面构成直角三角形， x2+52=(x+1)2 由勾股定理可得： 解得：x=12, 即旗杆的高为12m, 13.115°/115度 【分析】先由轴对称性质得到∠AC0=∠BC0=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：由轴对称性质得∠ACO=∠BCO=30°」 .∠A=35° .∠A0C=180°-∠A-∠AC0=180°-35°-30°=115° 14.5 【分析】设AN=x,由翻折的性质可知DN=AN=x,则BN=9-x,在Rt△DBN中利用勾股定理列方程 求解即可. 答案第7页，共2页 【详解】解：设AW=x,由翻折的性质可知DN=AN=x,则BN=AB-AN=9-x, D是BC的中点， D-号c=3 在Rt△DBN中，由勾股定理，得ND2=NB+BD, 即=(9-x+3 解得x=5. 即AN=5. 15.12 【分析】过点P作PM⊥AB于点M,由垂直平分线的性质得AB=CB,由等腰三角形三线合一，得 ∠ABD=∠DBC,由角平分线的性质得PM=PE=3，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】解：过点P作PM⊥AB于点M, B D :BD垂直平分线段AC, .AB=CB, ,∠ABD=∠DBC,即BD为角平分线， 又PM⊥AB,AE⊥BC, ∴.PM=PE=3 又，AB=8, 1 .S=24B-PM=2×8x3=l2 16.12 【分析】过点C作CM⊥AF于M,根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠ABF=∠CAF,进而证明 △ABF≌ACAM(AAS ,得出CM=AF=6,AM=BF=2,FM=4,根据FG=AF得出GF=CM，,进而 答案第8页，共2页 证明△GFH≌aCMH(AAS),得出FH=MH,进而得出AH=4,根据三角形面积公式即可得出答案. 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AF于M, G B E :∠BAC=90°，BF⊥AE, .∠BAF+∠CAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°， ∴.∠ABF=∠CAF 在△ABF和△CAM中， ∠F=∠AMC=909 ∠ABF=∠CAM AB=AC △ABF≌aCAM(AAS) AF=6,BF=2, ∴.CM=AF=6,AM=BF=2, .FM=AF-AM=6-2=4. .FG=AF. ..GF=CM, 在△GFH和△CMH中， I∠GHF=∠CHM ∠F=∠CMH=90° GF=CM .△GFH≌aCMH(AAS). .FH MH :MH=2FM=2, ∴.AH=AM+MH=4, 答案第9页，共2页 8m-4M-CM=x4x6=12】 1 17.解：△ABD是直角三角形，理由如下： .∠C=90°，AC=3,BC=4 4B=VAC2+BC=5 .AD=12,BD=13 ∴.AB2+AD2=BD2, .△ABD是直角三角形 【分析】根据4B=VAC2+BC 求出AB,即可得出AB+AD=BD,从而可判断三角形的形状。 【详解】略 18.证明：如图，过点T作TF⊥AB于点F, D :AT平分∠BAC,∠ACB=90°， .CT=FT, .∠ACB=90°，CH⊥AB ∴，∠DAH+∠ADH=90°，∠ATC+∠CAT=90°， :AT平分∠BAC, .∠CAT=∠DAH, .∠ADH=∠ATC, .∠ADH=∠CDT, .∠CDT=∠ATC, .'.CD=CT, 又：CT=FT, .CD=FT, 答案第10页，共2页 :CH⊥AB,DEI‖AB ∴.∠CDE=90°，∠B=∠CED」 在△CDE和△TFB中， ∠B=∠CED ∠CDE=∠TFB=90° CD=TF ACDE≌2ATFB(AAS) .'CE=TB .'CE-TE=TB-TE, 即CT=BE 【分析】过点T作TF⊥AB于点F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得CT=FT,再根据角平 分线的定义和等角的余角相等的性质得到∠CDT=∠ATC,所以CD=CT,再证明△CDE和△TFB全等， 然后根据全等三角形对应边相等可以得到CE=TB,都减去TE即可得到CT=BE. 【详解】略 19.(1)a=4,b=8 (2)20 【分析】(1)根据非负数的性质，求得a,b的值： (2)根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解， 【详解】()解：由题意，得a-4=0.b-8=0 .a=4,b=8 (2)解：△ABC是等腰三角形，有两种情况： ①当a是腰时，有4、4、8三边，不能构成三角形，故此种情况不成立. ②当b是腰时，有8、8、4三边，能构成三角形，故此种情况成立，则8+8+4=20 .等腰△ABC的周长为20 20.(1)证明：AD‖BC, ∴.∠DAC=∠ECB 在△DAC和△ECB中， 答案第11页，共2页 AD=CE ∠DAC=∠ECB AC=BC .△DAC≌aECB(SAS) (2)11 【分析】(1)根据题意找出全等条件即可： (2)根据平行及角的关系说明CD=DA,进而求出CE,即可得到△BEC的周长. 【详解】(1)略： (2)解：CA平分∠BCD .∠ECB=∠DCA」 由(1)可知∠DAC=∠ECB. .∠DAC=∠DCA, :.CD=DA=3, ·ADAC≌△ECB」 ∴.BE=CD=3 .AC=BC=5,CE=AD=3. ∴.△BEC的周长=BE+EC+BC=3+3+5=11, 即△BEC的周长是11. 21.(1)60° (2)证明：：△ABC是等边三角形，D为AB中点， CD⊥AB, ∠BCD=∠ACD)∠ACB,∠ACB=∠ABC=60,AB=BC, .∠BCD=∠ACD=30°， CE⊥BC, ∴.∠BCE=90°. ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°，∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°， .EF∥CD,∠ACD=30° ∴.∠CAE=∠ACD=30°=∠ACE, .AE=CE, 在△BAE和△BCE中， 答案第12页，共2页 BA=BC BE=BE AE=CE' ,∴.△BAE≌△BCE(SSS) ∴∠CBE=∠ABE. :∠ABC=60°， .∠CBE=30°， ∠BCD=30°， .∠BGC=180°-∠CBE-∠BCD=120°， ∠CGE+∠BGC=180°， .∴.∠CGE=60° .∠DCE=60° ∴.aCEG中，∠CGE=∠DCE=60° ..EG=CE .∠DCE=60°， △CEG是等边三角形， 【分析】(1)利用等边三角形三线合一求出∠BCD=30°，结合CE⊥BC得到∠BCE=90°，通过角的差 计算∠DCE. (2)先沿用(1)的结论得到∠DCE=60°， △BAE≌△BCE(SSS),∠CBE=∠ABE 证明 得到 算出 ∠CBE=30°=∠BCD,利用三角形内角与邻补角求出∠CGE=60°，结合∠DCE=60°判定CG=CE,最终 证明△CEG为等边三角形.， 【详解】(I)解：△ABC是等边三角形，D为AB中点， ∠BCD=。∠ACB ∴.CD⊥AB, 2 ∠ACB=60°， .∠BCD=30° CE⊥BC, ..∠BCE=90° .∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°： (2)略 答案第13页，共2页 22.(1)68° (2)证明：，AB=AD,点F是BD的中点， .AF⊥BD,∠BAF=∠DAF. ∴.∠DAF+∠ADF=90° :DE⊥AD, .∠ADE=90° .∠ADF+∠EDC=90° ∴.∠DAF=∠EDC ∴.∠BAF=∠EDC 【分析】(I)由题意可得AB=AD,求得∠ADB=∠ABC=50°，根据平角的定义求出∠EDC,根据三角 形内角和可求出∠CED,最后根据邻补角可求出∠AED的度数： (2)根据等腰三角形的性质得到AF⊥BD,∠BAF=∠DAF,由三角形的内角和得到 ∠DAF+∠ADB=90°，由平角的定义得到∠ADF+∠EDC=90°，等量代换即可得证. 【详解】(I)解：由题意可得AB=AD, .∠ADB=∠ABC=50° ,DE⊥AD, .∠ADE=90° ∴.∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-50°-90°=40° ∠C=28°， .∠CED=180°-∠C-∠EDC=180°-28°-40°=112° .∠AED=180°-∠CED=180°-112°=68° (2)略 23.(1)AE=BD,AE⊥BD (2)解：∠ADB=90°，2CM+BD=AD;理由如下： ,△CDE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， “CM为△DCE中DE边上的中线，∠CED=LCDE=45°， :CM=DE,即DE=2CM △ACE≌ABCD(SAS) 由(1)知， 答案第14页，共2页 ∴.AE=BD,∠AEC=∠BDC=180°-∠CED=135° .∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°， 点A,E,D在同一直线上， .AE+DE AD .2CM+BD=AD 6)107或7V2-3 或 【分折】q)先证明△MCB2BCD(SMS）,得出4E=D,∠CME=∠CBD,延长AE交BD于点H,交 BC于点O,证明∠ACB=∠OHB=90°，得出AE⊥BD: (2)先证明DE=2CM,∠CED=∠CDE=45°，根据 △ACE≌ABCD(SAS) 得出 AE=BD,∠AEC=∠BDC=135° ,进而得出结论： (3)分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可： 【详解】(1)解：：△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴.CA=CB,CE=CD,∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE ∴.∠ACE=∠BCD ∴.△ACE≌△BCD(SAS) .AE=BD,∠CAE=∠CBD 延长AE交BD于点H,交BC于点O, C E 9 A B 图1 .∠COA=∠HOB .180°-∠CAE-∠COA=180°-∠CBD-∠HOB,即∠ACB=∠OHB=90°， AE⊥BD: (2)略 答案第15页，共2页 (3)解：分两种情况： 情况1：如下图：在△ABC外部，以点A为直角顶点作△ABE,且∠BAE=90°，AB=AE,连接EC, E ,等腰直角△ACD,∠CAD=90°，AC=AD, .∠BAE=∠CAD=90°， ∴.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, .∠EAC=∠BAD. AE=AB,AC=AD ∴.△EAC≌△BAD(SAS) :BD=CE, AB=AE=7, .BE=V72+72=7√2，∠ABE=∠AEB=45° .∠ABC=45° ∴，∠EBC=∠ABE+∠ABC=90° ∴CE=VBC2+BE2=32+(72=V107, .BD=CE=√107 情况2：如下图：作AE⊥AB,交BC延长线于点E,则∠BAE=90°， 刀 B E∠ABC=45° .∠ABC=45°=∠E, 答案第16页，共2页 :AB=AE, ,等腰直角△ACD,∠CAD=90°，AC=AD, .∠CAD=∠BAE=90°， .∠CAD-∠BAC=∠BAE-∠BAC, ∠DAB=∠CAE, .ADAB≌△CAE(SAS) .BD=CE, AB=AE=7, :.BE=V7+72=7N2 .BD=CE BE-BC=2-3 综上所述， BD的长为i07或72-3 或 24.(1)∠MP0=2a (2)解：EF1P,理由如下： 由(1)知，∠MPg=2a, .PO平分∠MPN, .∠MPN=2∠MPg=4a, 即∠EPN=4a, :QE∥PN .∠PEQ=180°-∠EPN=180°-4a 'EF平分∠PEQ 1 ∴.∠PEF=。∠PEQ=90°-2a 2 ∴.在aEPF中，∠EPg+∠PEF=2a+90°-2a=90°， 答案第17页，共2页 .∠EFP=90°， EF⊥PQ O￥，∠NF=AMP.山红下： 由(1)知，∠MP2=2a. :P平分∠MPN, .∠NPg=∠MPg=2a, QE∥PW .∠EQP=∠NPQ=2a ·∠PQN=a, .∠EQN=∠EQP+∠PQW=3a. .NE ∠PNQ 平分 .∠PNE=∠ENQ :∠PNE=∠NE2, .∠NEQ=∠ENQ. &2Neg=0wr-∠oNy=0a 由(2)知，∠EF0=90° .∠FEQ=90°-∠EQF=90°-2a, 1 WEF=∠NE9-☑FE9=90°3a-(90°-2a)=a 2 .∠AMP=a, &∠NEF=)∠AM 2 答案第18页，共2页 【分析】(1)过点P作平行线平行于AB,因为AB‖CD,所以所作平行线也平行于CD,利用平行线的 内错角相等性质，结合已知∠AMP=∠PQN=a,即可得到∠MPO的表达式. (2)由角平分线定义可得∠MPN与∠MPO的关系，由QE‖PN,利用平行线的同旁内角互补性质，得到 PD与∠MPN的数量关系：结合F平分 ∠PEO ∠MPO ,以及(1)中得到的 的数值，推导△PEF 两个 角的和，进而判断EF与PO的位置关系。 (3)由平行线性质和∠P2N=a,可得∠EQN=3a,根据平行线性质和角平分线定义可得 ∠NBQ=∠BN0,根据三角形内角和定理得∠NBQ=90°-3& “，由直角三角形两锐角关系得 ∠FEQ=90°-2a ∠NEF ∠AMP ∠AMP ,即可求出 的度数表达式，和 的度数表达式比较，即可得与 的关 系 【详解】(1)解：如图①，过点P作PR‖AB, M B P -R 图① ABII CD .ABII CDII PR. .∠AMP=∠MPR=a,∠P2N=∠RPQ=a, .∠MPO=∠MPR+∠RPQ=2a: (2)略 (3)略 答案第19页，共2页 迎7并‘迎07患嵩品