专题4.2 等差数列的概念与通项公式（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题4.2 等差数列的概念与通项公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等差中项】 2 【题型2 等差数列的判定与证明】 3 【题型3 利用等差数列的性质计算】 6 【题型4 等差数列的单调性】 7 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 9 【题型6 等差数列的应用】 11 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 13 【题型8 等差数列的通项公式】 14 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 16 考点1 等差数列的概念 知识点1 等差数列的概念 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【题型1 等差中项】 【例1】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知是方程的两个根，则的等差中项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】A 【解题思路】由韦达定理和等差中项的概念可得. 【解答过程】由韦达定理可得， 所以的等差中项为1. 故选：A. 【变式1.1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若三个数成等差数列，则 （   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解题思路】根据题意得解出即可求解. 【解答过程】由题意有：， 故选：D. 【变式1.2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等差中项求解. 【解答过程】， 的等差中项为， 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【解题思路】运用等差中项概念及性质可解. 【解答过程】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【解答过程】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立， 若数列是等差数列,设其公差为，则,， ， 所以， ， 所以，即必要性成立， 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【解答过程】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 【变式2.2】（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 【解答过程】（1）证明：因为 ， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以. 【变式2.3】（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【解答过程】（1）因为， 所以， ； （2）证明：因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 考点2 等差数列的性质 知识点2 等差数列的性质 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型3 利用等差数列的性质计算】 【例3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知为等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出指定项. 【解答过程】等差数列中，，则， 又，则，因此数列的公差， 所以. 故选：B. 【变式3.1】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列是等差数列，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】根据等差数列下标和的性质求解. 【解答过程】因为为等差数列，所以，又， 所以，解得， 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【解题思路】根据韦达定理求得，由等差数列的性质可得的值. 【解答过程】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 【变式3.3】（2026·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【解答过程】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 【题型4 等差数列的单调性】 【例4】（25-26高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【解答过程】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 【变式4.1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【解答过程】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C. 【变式4.2】（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【解答过程】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 【变式4.3】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【解答过程】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【解答过程】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为：. 【变式5.1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________． 【答案】4 【解题思路】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值. 【解答过程】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差， 故为正整数，关于d单减， ，则当时，故取得最小值为4， 故答案为：4. 【变式5.2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝___________． 【答案】16 【解题思路】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【解答过程】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为：. 【变式5.3】（2026·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________． 【答案】196 【解题思路】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【解答过程】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 【题型6 等差数列的应用】 【例6】（25-26高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【解题思路】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【解答过程】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故， 故选：B. 【变式6.1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A 【解题思路】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案. 【解答过程】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A. 【变式6.2】（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【答案】A 【解题思路】由题意得7个尺码最适合的人的体重成等差数列，结合等差数列的定义即可求解. 【解答过程】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列， ，， 所以该数列的公差， 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg. 故选：A. 【变式6.3】（25-26高二上·贵州毕节·期中）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（    ） A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5 【答案】D 【解题思路】记该等差数列为，设其公差为，根据题中条件，列出等式求解，即可得出结果. 【解答过程】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 记该等差数列为，设其公差为， 因为冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺， 所以，即，即，则， 所以，因此， 故选：D. 考点3 等差数列的通项公式 知识点3 等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 【例7】（25-26高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【解答过程】设该等差数列的公差为. 因为， 所以，即，解得. 故选：C. 【变式7.1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的公差，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】根据等差数列通项公式求解. 【解答过程】由题知. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·云南昭通·期末）在等差数列中，已知，，若，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的性质，结合通项公式的基本量求法求解即可 【解答过程】由等差数列的性质得，，则， 所以公差，由等差数列的通项公式得，， 解得. 故选：C. 【变式7.3】（25-26高二上·湖北荆州·期末）设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由等差数列基本量的计算，可得方程组，再解方程组即可． 【解答过程】等差数列的公差为，， 则，解得． 故选：B． 【题型8 等差数列的通项公式】 【例8】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【解答过程】若数列公差为，因为， 所以， 又，解得， 所以. 故选：C. 【变式8.1】（25-26高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 【变式8.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件列出首项和公差的方程组，求解出结果即可求的通项公式； （2）根据求解出的范围，则结果可求. 【解答过程】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 【变式8.3】（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【解答过程】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述：. 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 【例9】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式列方程，求出公差，再根据通项公式即可求得答案. 【解答过程】在等差数列中，记公差为，由于， 则，即， 所以. 故选：B. 【变式9.1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【答案】D 【解题思路】设公差为d，根据条件，联立求得，代入公式，即可得答案. 【解答过程】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D. 【变式9.2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【解答过程】由题得， 即，则， 故选：A. 【变式9.3】（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知数列是等差数列，且，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的公式计算即可. 【解答过程】由等差数列公式得：， 所以， 所以. 故选：A. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 等差数列的概念与通项公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等差中项】 2 【题型2 等差数列的判定与证明】 2 【题型3 利用等差数列的性质计算】 4 【题型4 等差数列的单调性】 4 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 5 【题型6 等差数列的应用】 5 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 6 【题型8 等差数列的通项公式】 7 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 7 考点1 等差数列的概念 知识点1 等差数列的概念 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【题型1 等差中项】 【例1】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知是方程的两个根，则的等差中项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【变式1.1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若三个数成等差数列，则 （   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1.2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【变式2.3】（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 考点2 等差数列的性质 知识点2 等差数列的性质 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型3 利用等差数列的性质计算】 【例3】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知为等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3.1】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列是等差数列，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3.2】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 【变式3.3】（2026·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【题型4 等差数列的单调性】 【例4】（25-26高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4.1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4.3】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为___________． 【变式5.1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________． 【变式5.2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝___________． 【变式5.3】（2026·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________． 【题型6 等差数列的应用】 【例6】（25-26高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式6.1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式6.2】（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【变式6.3】（25-26高二上·贵州毕节·期中）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（    ） A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5 考点3 等差数列的通项公式 知识点3 等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 【例7】（25-26高二上·山西朔州·期末）已知为等差数列，，则的公差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式7.1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的公差，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式7-2】（25-26高二上·云南昭通·期末）在等差数列中，已知，，若，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【变式7.3】（25-26高二上·湖北荆州·期末）设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 等差数列的通项公式】 【例8】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【变式8.3】（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 【例9】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C．8 D．10 【变式9.1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【变式9.2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式9.3】（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知数列是等差数列，且，则（    ） A．0 B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $