第4章 4.2.2 等差数列的通项公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学等差数列的通项公式，从等差数列定义出发，通过递推公式用归纳法和累加法推导通项公式，联系一元一次函数性质，构建“定义-推导-应用”学习支架，涵盖公式运算、判定证明及实际问题解决。 资料以问题驱动设计，通过奥运会年份、利润亏损等实例抽象数列模型，培养数学眼光，用定义法、累加法推导公式发展数学思维，课中例题与跟踪训练助理解，课后分层习题帮学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

4.2.2　等差数列的通项公式 学习目标　1.掌握等差数列的通项公式， 体会等差数列与一元一次函数的关系，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算. 2.掌握等差中项的概念及其应用.3.掌握等差数列判断与证明的方法.4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 导语 同学们，前面我们学习过数列的通项公式及其求法，那等差数列有没有通项公式？如果有，怎样去求出它的通项公式呢？今天我们一起来探讨等差数列的通项公式. 一、等差数列的通项公式及应用 问题　请根据等差数列的定义写出它的递推公式，并推导它的通项公式. 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 当n＝1时，同样成立， 故an＝a1＋(n－1)d. 知识梳理 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 注意点： (1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d体现了a1，d，n，an四个量之间的关系，若已知其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，即“知三求一”. (3)将等差数列{an}的通项公式整理成an＝nd＋(a1－d)，可简记为an＝pn＋q的形式；从函数的角度看，若公差d≠0，则an是关于n的“一次函数”. 例1　(课本例4)在等差数列{an}中， (1)已知a1＝3，公差d＝－2，求a6； (2)已知a3＝10，a9＝28，求an. 解　(1)由等差数列的通项公式，得 a6＝3＋(6－1)(－2)＝－7. (2)设等差数列的公差为d，那么 解得所以an＝4＋(n－1)·3＝3n＋1. 例1　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 解　(1)由题意知 解得 (2)设等差数列的公差为d，由题意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d ＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*. 反思感悟　等差数列通项公式的求法与应用技巧 等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. 跟踪训练1　在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝　　　　.  (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝　　　　.  (3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝　　　　.  答案　(1)10　(2)－　(3)58 解析　(1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×， 故a1＝10. (2)设首项为a1，公差为d， 则 解得 (3)由题意得，d＝6－2＝4， 把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 所以a15＝4×15－2＝58. 二、等差数列的判定与证明 例2　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)证明：数列为等差数列； (2)求an. (1)证明　由题意an≠0， ∵a1＝2，an＋1＝， ∴， ∴， 即是首项，公差d＝的等差数列. (2)解　由(1)可知＋(n－1)d＝， ∴an＝，n∈N*. 反思感悟　判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 跟踪训练2　数列满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.证明：数列是等差数列. 证明　∵nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)， ∴＋1，∴＝1， ∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列. 三、等差数列的实际应用 例3　(课本例5)第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算.按此规则，问：2050年举行奥运会吗？ 解　由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an＝1 896＋4(n－1)＝1 892＋4n(n∈N*). 假设an＝2 050，则2 050＝1 892＋4n， 解得n＝39.5. 所以an＝2 050无正整数解. 答按此规则，2050年不举行奥运会. 例3　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解　设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n<0，解得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 反思感悟　(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列. (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 跟踪训练3　一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知离地前一秒滑行了58 m，则这架飞机起飞所用的时间为　　秒.  答案　15 解析　飞机起飞前每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，所以n＝15(秒). 1.知识清单： (1)等差数列的通项公式及应用. (2)等差数列的判定与证明. (3)等差数列的实际应用. 2.方法归纳：定义法、累加法、公式法. 3.常见误区：实际问题中项数判断错误. 1.在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，则a10等于(　　) A.25 B.28 C.31 D.34 答案　B 解析　因为在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4， 所以2a1＋10d＝32，a1＋d＝4， 解得a1＝1，d＝3， 所以a10＝a1＋9d＝28. 2.2 028是以2为首项，2为公差的等差数列的(　　) A.第1 012项 B.第1 013项 C.第1 014项 D.第2 028项 答案　C 解析　设等差数列为{an}，其首项为2，公差为2，则通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n，令2n＝2 028，得n＝1 014. 3.设{an}是公差为正数的等差数列，若a2＝5，a1a3＝16，则数列{an}的通项公式为(　　) A.－3n＋1 B.3n－1 C.－2n＋9 D.2n＋1 答案　B 解析　设公差为d，d>0， 则 解得a1＝2，d＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费　　　　元.  答案　23.2 解析　根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.数列中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是(　　) A.an＝3n－1 B.an＝3n＋2 C.an＝3n－2 D.an＝3n＋1 答案　B 解析　因为an＋1－an＝3，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列， 则an＝5＋3＝3n＋2，n∈N*. 2.已知在等差数列中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于(　　) A.90 B.96 C.98 D.100 答案　D 解析　由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100. 3.《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金杖由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是(　　) A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 答案　B 解析　依题意，得金杖由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－. 4.(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝，则公差d等于(　　) A.0 B. C.1 D.2 答案　AB 解析　根据题意知，a4＋a8＝，即a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2. 又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2， 解得d＝或d＝0. 5.在数列{an}中，若，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) 答案　A 解析　由题意得，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2(n－1)＝n＋， 故an＝2(n＋1)2. 6.已知在数列中，a1＝1，a2＝2，对∀n∈N*都有2，则a10等于(　　) A.10 B. C.64 D.4 答案　D 解析　对∀n∈N*都有2，由等差中项法可知，数列为等差数列， 由于a1＝1，a2＝2，则数列的公差为d＝＝7， 所以＋9d＝1＋9×7＝64，因此，a10＝4. 7.(5分)在等差数列中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝　　　　.  答案　0 解析　由题意知， 解得 ∴a6＝a1＋5d＝0. 8.(5分)体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有　　人.  答案　20 解析　由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150， 设末项为第n项，则17＋7(n－1)＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人. 9.(10分)在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(5分) (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.(5分) 解　(1)a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. 10.(10分)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项；(3分) (2)112是数列{an}的第几项？(3分) (3)在80到110之间有多少项？(4分) 解　设数列{an}的公差为d， 则解得 (1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5， 解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. (3)由80<3n－5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38， 即在80到110之间有10项. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*， 由解得<d≤3. 12.(多选)下列命题中正确的有(　　) A.若b是a与c的等差中项，则b2一定是a2与c2的等差中项 B.若b是a与c的等差中项，则2b可能是2a与2c的等差中项 C.若b是a与c的等差中项，则kb＋2一定是ka＋2与kc＋2的等差中项 D.若b是a与c的等差中项，则可能是与的等差中项 答案　BCD 解析　对于A，取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错误； 对于B，取a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，B正确； 对于C，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b. 所以ka＋2＋kc＋2＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确； 对于D，取a＝b＝c≠0⇒，D正确. 13.在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　对an＋1＝取倒数得＋3， ∴＝3， ∴是以为首项，3为公差的等差数列. ∴＋(n－1)·3 ＝3n－， ∴an＝， ∴a20＝. 14.(5分)若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an＝2n－(n∈N*) 解析　方法一　由题意得an＋1＋an＝4n－3， ① an＋2＋an＋1＝4n＋1， ② 由②－①得an＋2－an＝4. ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴a1＋(n＋1)d－[a1＋(n－1)d]＝4，∴d＝2. ∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－. ∴an＝－＋(n－1)×2＝2n－(n∈N*). 方法二　设an＝pn＋q，则an＋1＋an＝p(n＋1)＋q＋pn＋q＝2pn＋p＋2q＝4n－3， ∴2p＝4，p＋2q＝－3， 解得p＝2，q＝－， ∴an＝2n－(n∈N*). 15.(5分)在数列{an}中，a1＝1，且，则an＝　　　　　.  答案　－1 解析　因为，则＋1， 可知是首项为＝1，公差为1的等差数列， 可得＝1＋n－1＝n，所以an＝－1. 16.(13分)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图，如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息回答问题. (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(7分) (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.(6分) 解　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 ∴得a2＝1.2. 由b1＝30，b6＝10，得 ∴得b2＝26. ∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. (2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. 学科网（北京）股份有限公司 $