4.3.1 等比数列的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学等比数列概念这一核心知识点，通过《孙子算经》“出门望九堤”等古代问题导入，类比等差数列抽象出等比数列定义，结合实例探究公比性质，辅以例题与跟踪训练构建“概念理解-判断计算-证明应用”的学习支架。 该资料以数学眼光挖掘古代问题中的数量关系，通过类比推理培养数学思维，分层检测设计助教师教学与学生查漏补缺，例题强调项与公比非零等细节，体现数学语言的严谨性与精确性。

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 新课导入 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问:各几何？”构成数列：9,，，，，，，.这个数列有何特点？ 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念. 2.熟练掌握等比数列的判断方法. 新知学习 探究 一 等比数列的定义 观察下面几个问题中的数列，回答问题. （1）细胞分裂个数可以组成数列：1，2，4，8， ； （2）《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：1,，，，，， ； （3）的次幂按1次幂、2次幂、3次幂 ，依次排成一列数：-，，，， . 思考．类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？ 提示 对于（1），，，， ，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2；对于（2）,,， ；对于（3）,，， ；也有相同的取值规律（从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数）. ［知识梳理］ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于①_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的②_ _ ，公比通常用字母表示. 【答案】同一个常数； 公比 ［例1］ （对接教材例1）判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． （1） 1，，，，， ； （2） 10,10,10,10,10， ； （3） ，，，， ； （4） 1，,16，,256， . 【答案】（1） 【解】不是等比数列； （2） 是等比数列，公比为1； （3） 是等比数列，公比为； （4） 是等比数列，公比为. 要判断一个数列是否为等比数列，其依据是（是非零常数）对一切且恒成立，或（是非零常数）对一切恒成立. ［跟踪训练1］．以下数列中是等比数列的是（ ） A. 数列1,2,6,18， B. 数列中，已知， C. 常数列，， ，， D. 数列中，，其中 【答案】D 【解析】选.对于，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； 对于，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； 对于，当 时，不是等比数列； 对于，该数列符合等比数列的定义，是等比数列． 二 等比数列中的基本计算 ［例2］ （1） 在等比数列中，已知,，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 （2） 已知在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则公差为_ _ _ _ _ _ ． 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 因为数列 为等比数列,所以,,成等比数列,所以，所以，同理,所以.故选. （2） 设等差数列 的公差为，由，，，成等比数列，得，即，整理得，解得 或（舍去），即数列 的公差. （1）回归定义：若几个数成等比数列，严格按照等比数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量． （2）等比中项应用：若，，成等比数列，则称为和的等比中项；对于数，的等比中项，一定成立，但的符号不一定，正负都可取． ［跟踪训练2］． （1） 等比数列，，， 的第4项为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 24 （2） 若数列是等比数列，且是与的等差中项，则_ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 2 【解析】 （1） 选.由，，成等比数列得，， 解得 或（不合题意，舍去），第2项为，第3项为，公比为，故数列的第4项为. （2） 设数列 的公比为，因为 是 与 的等差中项，数列 是等比数列，所以，又，所以，，即，解得，所以. 三 等比数列的判定与证明 ［例3］ 已知数列满足,,设. （1） 求，，； （2） 判断数列是否为等比数列，并说明理由. 【答案】 （1） 【解】因为数列 满足， ，可得,， 又因为，可得，，. （2） 数列 为等比数列.理由如下：由数列 满足，且， 可得，又因为，可得， 因为，所以数列 是以1为首项，为公比的等比数列. 证明等比数列的常用方法 （1）定义法：若数列满足（是非零常数）或（,，是非零常数），则数列是等比数列. （2）等比中项法：. ［跟踪训练3］． （1） 下列数列是等比数列的是（ ） A. 10,,, B. 1，,4， C. 1,5,25， D. ,,, （2） 若数列的通项公式为，则 （ ） A. 数列是首项为，公比为的等比数列 B. 数列是首项为，公比为的等比数列 C. 数列是首项为，公比为的等比数列 D. 数列是首项为，公比为的等比数列 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 选.由等比数列的定义可知，只有 满足题意，其余均不满足． （2） 选.因为，,, 所以 是首项为，公比为 的等比数列．故选. 课堂巩固 自测 1．（教材P157T1改编）下列数列是等比数列的是（ ） A. 10，100，， B. 4，6，9，12 C. ，0，1，2 D. ,,, 【答案】A 2．（多选）已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则（ ） A. 6 B. C. D. 12 【答案】AB 【解析】选.由题意知， ，解得， 所以 或. 3．（多选）下列说法正确的有（ ） A. 等比数列中的项不能为0 B. 等比数列的公比的取值范围是 C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1 D. ,,,， 是等比数列 【答案】AC 【解析】选 显然正确；等比数列的公比不能为0，故 错误；显然正确；由于，故 不是等比数列，故 错误． 4．在由正数组成的等比数列中,，，则_ _ _ _ . 【答案】8 【解析】由等比数列的性质可知，是 和 的等比中项,所以,则，故. 1.已学习：等比数列的概念. 2.须贯通：（1）基本量法求等比数列. （2）等比数列的证明 ①利用定义：（为与无关的非零常数）. ②利用等比中项：. 3.应注意：两个同号的实数，才有等比中项，而且等比中项有两个，为. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ） A. 9 B. C. 9或 D. 0 【答案】C 【解析】选.由于3,,27成等比数列， 所以， 解得 或. 故选. 2．已知数列是等比数列，公比为，则数列（ ） A. 是等差数列，公差为 B. 是等差数列，公差为 C. 是等比数列，公比为 D. 既不是等差数列，也不是等比数列 【答案】A 【解析】选.因为数列 是等比数列， 所以,且， 所以（常数）， 所以数列 是等差数列，公差为. 3．已知数列和满足，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】选.若数列 为等比数列，公比为， 则， 所以 为等比数列，充分性成立， 若 为等比数列，设公比， 令数列 为2,4,8，，， ，满足，但 不是等比数列，必要性不成立， 所以“数列 为等比数列”是“数列 为等比数列”的充分不必要条件． 4．在3和一个未知数中间插入一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是（ ） A. 3或27 B. 36 C. 9 D. 15 【答案】A 【解析】选.设这三个数为3，,，其中 为未知数， 则 解得 或 所以这个未知数为3或27. 5．（多选）已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.由题意可设三角形的三边分别为，，. 因为三角形的任意两边之和大于第三边，所以①当 时，，即，解得；②当 时，，即，解得；③当 时，，此时三角形为等边三角形，符合题意. 综上，的取值范围是， 则 可能的值是 与. 6．（多选）设等比数列的公比为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. 数列是公比为的等比数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为的等比数列 【答案】AD 【解析】选.对于，由 知数列 是公比为 的等比数列，故 正确；对于，若，数列 各项均为0，不是等比数列，故 错误；对于，若，数列 各项均为0，不是等比数列，故 错误；对于，，所以数列 是公比为 的等比数列，故 正确.故选. 7．若为等比数列，且,,则公比_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】1或 【解析】由 得,,又，，所以，解得 或. 8．若,,既成等差数列，又成等比数列，则公比_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】由已知得 所以, 即, 所以, 所以, 所以. 9．已知在中，若,,成公比为的等比数列，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,,成公比为 的等比数列，所以由正弦定理可知,,成公比为 的等比数列，设,,,则. 10．（13分）已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列． （1） ；（3分） （2） ；（3分） （3） ；（3分） （4） .（4分） 【答案】10．解：由等比数列的定义可知，若，，是一个与 无关的常数且不为0，则数列 是等比数列． （1） ，不是常数，故不是等比数列. （2） ，是等比数列. （3） ，不是常数，故不是等比数列. （4） ，是等比数列． B 能力提升 11．已知三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ） A. 49 B. 36 C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】选.设原来的三个数为9，，， 由题意可知，，，，且， 所以，即，解得 或. 则 的所有取值中的最小值是. 故选. 12．（多选）等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.由题意，数列 为等比数列，设其公比为，则. 对于，，则， 所以，所以数列 是公比为 的等比数列，故 正确； 对于，当 为奇数时，不为整数，无意义，故 错误； 对于，，则， 所以数列 是公比为 的等比数列，故 正确； 对于，，则，因为 不为常数，故 错误. 故选. 13．现有一根节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为，最下面的三节长度之和为，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则． 【答案】16 【解析】设此根 节的竹竿自上而下每节的长度依次构成等差数列为，公差为． 由题意可知,，，． 联立可得 解得 14．（13分）在中，，，的对边分别是，，，若，，成等比数列，且.求： （1） 的大小;（6分） （2） 的值．（7分） 【答案】 （1） 解：因为，，成等比数列，所以， 又，所以，即， 在 中，由余弦定理得，所以 . （2） 在 中，由正弦定理得 ， 因为， ， 所以. C 素养拓展 15．（15分）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列. 证明：由题可得， ， 则，， 所以， ，由于，，所以，故，则， 所以数列 是以 为首项，为公比的等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $