精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2026-2027学年高一上学期10月学情检测数学试题

2026秋学期金坛一中高一数学十月学情检测 （10.13） 一、单选题（8*5=40） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】“”的否定是. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合自然数集的表示方法、集合交集运算的定义进行求解即可. 【详解】由， 又因为，所以. 因此. 4. 已知命题，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当成立，即时，根据不等式的同向可加性，可得，即一定成立，因此是的充分条件； 当成立，即时，无法推出成立，举例：取，此时，满足，但不满足，因此不是的必要条件； 综上，是的充分不必要条件. 5. 命题“都有”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】该全称命题为真，等价于对所有实数，不等式恒成立 因为，所以，即的最小值为，因此. 6. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，利用文氏图辅助解答. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人， 结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人， 只参加田径比赛的有人， 故，解得， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故选：B 7. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式可得的解集，再由题意得关于的不等式组求解即可. 【详解】由不等式，得， ∵不等式成立的一个充分不必要条件是， ∴⫋， 则且与的等号不同时成立，解得， ∴的取值范围为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 8. 已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数配方得的最小值，再由基本不等式得到关于ab的范围，将所求平方即可代入求解 【详解】由题意不等式对任意恒成立 又∴a+b≤6则 当且仅当 成立 故 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成立的问题一般与最值有关． 二、多选题（3*6=18） 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据自然数集的定义判断A，根据交集、并集的定义判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，根据全称量词命题的否定判断D； 【详解】解：对于A：因为，所以且，故A正确； 对于B：根据，所以且，所以，故B正确； 对于C：由，即，即，即， 当时，，，，所以，即，故必要性成立， 由不一定得到，如时也成立，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：命题“，”的否定是“，”，故D错误； 故选：ABC 10. 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】由二次函数的两个零点求出对称轴，写出交点式，用表示和；逐个代入选项判断符号、求解不等式. 【详解】A选项：因为二次函数（，，为常数）的图象经过点，，所以关于的一元二次方程的两根为和，由根与系数的关系得，，即，由图可知，二次函数的图象开口向上，所以，则，，故选项A正确； B选项：由图可知，当时，，即，故选项B错误； C选项：由得，，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，故选项C正确； D选项：由得，，因为，所以，即，解得，则不等式的解集为，故选项D错误. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 三、填空题（3*5=15） 12. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，集合，故分两种情况讨论： 若，则，此时集合，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，解得或， 当时，集合，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，集合，符合题意. 综上，. 13. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式和方程的关系可求出之间的关系，代入不等式求解即可. 【详解】由的解集为可得，且时，， 根据韦达定理可得即，即， 代入可得化简得，解得. 14. 若，为假命题，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】写出命题的否定，可转化为不等式恒成立问题，分离参数可得，根据基本不等式可得参数范围. 【详解】，为假命题， 则，为真命题， 即， 又，恒成立， 所以， 设， 则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 四、解答题（共77分其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15. 已知集合． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据集合的运算进行计算即可． 【小问1详解】 由可得，解得；故； 由可得，解得；故； 解得； 【小问2详解】 由（1）可得，则或; 故． 16. 已知命题，，命题，. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 17. （1）已知，，且，求的最小值． （2）若实数x，y满足，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】利用乘“1”法求最值. 【详解】（1）由可得，又，， 则 ， 当且仅当即时取等， 所以的最小值为. （2）设，则且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取等， 所以的最小值为. 18. 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）人； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【小问1详解】 调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. 【小问2详解】 由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 19. 若二次函数和2是函数的两个零点，且. （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） ，， （2） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）由1和2是的零点，且，代入解析式，求解系数； （2）代入化简不等式，按参数的取值分类讨论求解含参一元二次不等式. 【小问1详解】 因为1和2是的零点，且， 所以，解得，，； 【小问2详解】 由（1）得， 由，得  ，得， 所以， ① 当时，不等式两边同除以，不等号方向改变，得， 由于，故不等式的解集为； ② 当时，不等式化为，解得，故解集为； ③ 当时，不等式两边同除以，不等号方向不变，得： 若，则，不等式的解集为； 若，则不等式化为，无实根，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋学期金坛一中高一数学十月学情检测 （10.13） 一、单选题（8*5=40） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 命题“都有”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 二、多选题（3*6=18） 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三、填空题（3*5=15） 12. 已知集合，，则______. 13. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 14. 若，为假命题，则实数的取值范围为_________． 四、解答题（共77分其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15. 已知集合． （1）求； （2）求． 16. 已知命题，，命题，. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 17. （1）已知，，且，求的最小值． （2）若实数x，y满足，且，求的最小值． 18. 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 若二次函数和2是函数的两个零点，且. （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $